Capítulo 3 Geometría: Figuras 2D y 3D

RECTAS

¿Qué es una recta? Es un conjunto infinito de puntos que se extienden en una dimensión y en ambos sentidos. Una recta tiene sólo longitud, no tiene ancho ni alto. Se simboliza AB

¿Qué es una recta? Observa que la recta se forma por un conjunto de infinitos puntos. La recta se extiende infinitamente en ambos sentidos, es decir que no termina nunca. Por eso lleva flechas en ambos extremos. Podemos elegir dos puntos de la recta para nombrarla. Por ejemplo, a esta recta podríamos ponerle AD AD

Clasificación de las rectas

Rectas paralelas Las rectas paralelas son aquellas que no se intersectan por más que se prolonguen. Es decir que, nunca se cruzan ni se tocarán. Se simboliza AZ // GP AZ GP

Una ayuda… Para saber si dos rectas son paralelas, extiende o prolonga las rectas para verificar si se cruzan o no. Por ejemplo: Como puedes ver, aunque prolonguemos las rectas éstas no se tocan ni se cruzan. Por lo tanto, son rectas paralelas.

Algunos ejemplos de la vida real

Rectas Secantes Las rectas secantes son aquellas que se intersectan o cruzan en un punto. La recta LR es secante con JQ Se intersectan en el punto M LRJQM

Una ayuda… Para saber si estas rectas son secantes, las puedes prolongar y ver si se cruzan o no. Como puedes ver, si prolongamos estas rectas hacia ambos lados vemos que SÍ se cruzan. Por lo tanto, son rectas secantes.

Algunos ejemplos de la vida real

Las rectas secantes pueden clasificarse en: Rectas perpendiculares: se intersectan formando 4 ángulos rectos. Rectas oblicuas: se intersectan, pero no forman ángulos rectos.

Clasificación de las rectas RECTAS PARALELAS SECANTES PERPENDICULARES OBLICUAS NO se intersectan SÍ se intersectan Forman ángulos rectos NO forman ángulos rectos

¿Qué es un segmento? Es una porción o pedazo de recta que está limitada por dos puntos. Por ejemplo: Esta es la recta AZ Como es una recta, es infinita. AZ Ahora tomaremos un pedazo de esta recta, delimitado por los puntos C y X CX A esta porción de la recta le llamaremos segmento CX

¿Qué es un rayo o semirrecta? Es una línea con un punto de inicio u origen que se prolonga infinitamente en una dirección. Por ejemplo: Este rayo comienza en el punto C y se prolonga infinitamente sólo en una dirección. C Para nombrar el rayo se elige otro punto cualquiera del rayo. Por ejemplo, elegimos el punto M. M Por lo tanto, este sería el rayo CM

ÁNGULOS

¿Qué es un ángulo? Es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas o rayos que tienen un mismo punto de origen o vértice. A

Algunos ejemplos de la vida real

El ángulo recto Es un ángulo que mide 90º

El ángulo recto Para comprobar si un ángulo es recto, se puede usar una escuadra. Por ejemplo: Comprobaremos si el ángulo es recto haciendo coincidir la escuadra con el vértice del ángulo. Podemos observar que la escuadra sí coincide con el ángulo. Por lo tanto, SÍ es un ángulo recto. Podemos observar que la escuadra no coincide con el ángulo. Por lo tanto, NO es un ángulo recto. Ahora comprobaremos si este ángulo es recto haciendo coincidir la escuadra con el vértice del ángulo.

¿Cómo saber cuánto mide un ángulo? Para medir ángulos utilizaremos una herramienta que se llama transportador.

¿Cómo se usa el transportador? Para medir un ángulo haremos coincidir el vértice del ángulo con el centro del transportador marcado con una cruz. También haremos coincidir el 0 con una de las semirrectas. Ahora observa hasta qué número llega la otra semirrecta. Vemos que el ángulo mide 40º OJO: la medida del ángulo será siempre el número que está en la misma fila del 0. Por ejemplo, en este ángulo vemos que la semirrecta llega al 140º y al 40º. La fila del 0 es la que llega al 40º. Por lo tanto, este ángulo mide 40º.

Una ayuda… Si tienes que medir un ángulo cuyas semirrectas son muy cortas y no logras saber cuánto mide, las puedes prolongar de manera que lleguen al transportador. Después de prolongar los rayos puedes observar que la semirrecta de abajo coincide con el 0 y la semirrecta de arriba coincide con 70º. Por lo tanto, este ángulo mide 70º

Una ayuda… Dependiendo de la posición y tamaño del ángulo, puedes poner el transportador de distintas formas para medir. Recuerda siempre que la medida del ángulo estará en la fila del 0. En este caso, el 0 coincide con la semirrecta de abajo. La semirrecta de arriba llega al 50º y al 130º. La fila del 0 es la interior, por lo que el ángulo mide 50º.

CLASIFICAR ÁNGULOS

El ángulo recto Es un ángulo que mide 90º

El ángulo agudo Es un ángulo que mide entre 0º y 90º Es menor que un ángulo recto Puede ser un ángulo que mida desde 0º a 89º

El ángulo obtuso Es un ángulo que mide entre 90º y 180º. Es mayor que el ángulo recto. Puede ser un ángulo que mida desde 91º a 179º

El ángulo extendido Es un ángulo que mide 180º.

Clasificación de los ángulos ÁNGULOS AGUDO EXTENDIDO RECTO OBTUSO Mide menos de 90º Mide 90º Mide más de 90º y menos de 180º Mide 180º

POLÍGONOS

¿Qué es un polígono? Es una figura 2D, cerrada y formada por líneas rectas. Se pueden clasificar según la cantidad de lados que tienen.

Observa las siguientes figuras, ¿cuáles son polígonos? ¿por qué?

Elementos de un polígono LADOS VÉRTICES ÁNGULOS DIAGONALES

Clasificación de los polígonos

Triángulo Polígono de tres lados.

Clasificación de los triángulos según la medida de sus lados

Clasificación de los triángulos según la medida de sus ángulos

Cuadrilátero Polígono de cuatro lados.

Clasificación de los cuadriláteros Cuadrado RectánguloRomboRomboide ParalelogramosTrapecios Trapezoides Tienen 2 pares de lados paralelos Tienen sólo 1 par de lados paralelos No tienen lados paralelos 2 pares de lados // 4 lados congruentes 4 ángulos rectos 2 pares de lados // 2 pares de lados congruentes 4 ángulos rectos 2 pares de lados // 4 lados congruentes 2 pares de ángulos congruentes 2 pares de lados // 2 pares de lados congruentes 2 pares de ángulos congruentes

Cuadrado Polígono de cuatro lados congruentes (miden lo mismo). Dos pares de lados paralelos (nunca se intersectan, por más que se prolonguen). 4 ángulos rectos Los dos lados amarillos son paralelos. Los dos lados verdes son paralelos.

Rectángulo Polígono de 4 lados 2 pares de lados congruentes (miden lo mismo) 2 pares de lados paralelos (nunca se intersectan por más que se prolonguen). 4 ángulos rectos. Los dos lados verdes son congruentes y paralelos. Los dos lados naranjos son congruentes y paralelos.

Rombo Polígono de 4 lados congruentes (miden lo mismo). 2 pares de lados paralelos (nunca se intersectan por más que se prolonguen). No tiene ángulos rectos Tiene dos pares de ángulos congruentes (miden lo mismo) Los dos lados amarillos son congruentes y paralelos Los dos lados verdes son congruentes y paralelos Los dos ángulos rojos son congruentes Los s ángulos naranjos son congruentes

Romboide Polígono de 4 lados 2 pares de lados congruentes (miden lo mismo) 2 pares de lados paralelos (por más que se prolonguen no se intersectan) No tiene ángulos rectos 2 pares de ángulos congruentes (miden lo mismo) Los dos lados verdes son congruentes y paralelos Los dos lados naranjos son congruentes y paralelos Los dos ángulos rojos son congruentes Los dos ángulos amarillos son congruentes

Pentágono Polígono de cinco lados.

Hexágono Polígono de seis lados.

Heptágono Polígono de siete lados.

Octógono Polígono de ocho lados.

Eneágono Polígono de nueve lados.

Decágono Polígono de diez lados.

FIGURAS CONGRUENTES

Problema Jacinta quiere colgar dos cuadros iguales detrás del sillón. Es decir, que tengan la misma forma y el mismo tamaño. Cuando llega a la tienda se encuentra con todos estos cuadros. ¿Qué par de cuadros cumplen con las dos condiciones? Estos dos cuadros cumplen con las dos condiciones: Tienen el mismo tamaño y la misma forma.

Figuras congruentes Son dos o más figuras que tienen: El mismo tamaño La misma forma

¿Son o no son congruentes? Sí son congruentes porque tienen el mismo tamaño y la misma forma

¿Son o no son congruentes? No son congruentes porque la misma forma, pero no tienen el mismo tamaño

¿Son o no son congruentes? No son congruentes porque tienen el mismo tamaño, pero no tienen la misma forma.

SIMETRÍA

¿Qué significa que una figura sea simétrica? Una figura es simétrica si al doblarla se forman dos figuras congruentes que coinciden completamente. Es decir, tienen la misma forma y el mismo tamaño. La línea que la divide se llama eje de simetría

Por ejemplo… Estas figuras están divididas por un eje de simetría y, como puedes ver, las dos mitades son congruentes.

Por ejemplo… Estas figuras NO son simétricas con respecto a la línea o eje porque las dos mitades que se forman NO son congruentes.

ACTIVIDAD Observa las siguientes imágenes e indica si la figura es simétrica o no. Si es simétrica, busca cuántos ejes de simetría tiene.

¿La figura es simétrica? Si es simétrica, ¿cuántos ejes de simetría puedes encontrar?

Error común: Las diagonales del rectángulo NO son ejes de simetría. Compruébalo tomando una hoja rectangular y dóblala diagonalmente. Verás que las dos mitades que se forman NO calzan. Error común: Las diagonales del rectángulo NO son ejes de simetría. Compruébalo tomando una hoja rectangular y dóblala diagonalmente. Verás que las dos mitades que se forman NO calzan. ¿La figura es simétrica? Si es simétrica, ¿cuántos ejes de simetría puedes encontrar?

MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN

Movimiento de traslación La figura se desplaza dentro del plano en distintas direcciones: arriba, abajo, derecha o izquierda.

Movimiento de traslación El triángulo se trasladará 5 unidades a la derecha A B C A’ B’C´

Movimiento de traslación

MOVIMIENTO DE REFLEXIÓN

Movimiento de reflexión La figura se refleja sobre un eje vertical u horizontal.

Movimiento de reflexión El triángulo se reflejó manteniendo la misma distancia del eje.

Movimiento de reflexión

MOVIMIENTO DE ROTACIÓN

Movimiento de rotación La figura gira o rota dentro de un plano o alrededor de un punto. Se pueden usar grados para describir cuánto gira una figura La figura gira o rota dentro de un plano o alrededor de un punto. Se pueden usar grados para describir cuánto gira una figura

Movimiento de rotación El triángulo rotó 90° a la derecha

Movimiento de rotación El triángulo rotó 180° a la derecha

Movimiento de rotación El pentágono rotó 90° a la izquierda

Movimiento de rotación El pentágono rotó 180° a la izquierda

Movimiento de rotación

Para practicar En el siguiente juego debes observar el movimiento que hace la figura e indicar cuál es: turns/ *Los nombres de los movimientos están en inglés. Flip = Reflexión Slide = Traslación Turn = Rotación

CUERPOS GEOMÉTRICOS

CUERPOS GEOMÉTRICOS O FIGURAS 3D Tienen 3 dimensiones: largo, ancho y alto. Ocupan un lugar en el espacio.

Figuras 3D o Cuerpos Geométricos Características de las figuras 3D Tienen caras Planas Curvas Algunas tienen vértices (donde se encuentran tres o más aristas) Algunas tienen aristas (segmento de línea donde se encuentran dos caras planas) Tienen volumen

Redondos (tienen al menos una cara curva) Clasificación de las figuras 3D Prismas (2 caras basales) Pirámides (1 cara basal) Clasificación según la cantidad de caras basales Poliedros (tienen todas sus caras planas ) Figuras 3D o Cuerpos Geométricos Regulares (todas las caras congruentes) Irregulares (no tiene todas las caras congruentes) Clasificación según la forma y tamaño de sus caras