Matemáticas II Ecuaciones exponenciales prof. Carlos Montiel Rentería cmontiel@ipn.mx

Ecuaciones exponenciales Recuerda las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece en algún exponente. Enseguida trataremos tres casos distintos, en cada uno de ellos hay ejemplos resueltos, posteriormente una sección de practica interactiva y finalmente algunos ejercicios a resolver (a lápiz y papel). Caso I. Ejemplo #1 3 x+2 = 81 Siendo “x” la incógnita, como 1er. Paso reemplazamos al 81 por su potencia equivalente, es decir 3 elevado a la cuarta: (3)(3)(3)(3) = 81 3 x+2 = 3 4 2o. Paso, como se trata de una igualdad, igualamos los exponentes contenidos en ambos miembros de la igualdad. x + 2 = 4 Finalmente, como 3er Paso, despejamos a la incógnita, simplificando términos semejantes. x = 4 - 2 Te sugiero realices la comprobación correspondiente. x = 2

Ecuaciones exponenciales Como ya te estarás dando cuenta, en la resolución de este tipo de problemas consiste en igualar las bases de las potencias involucradas, por ello el 81 se reemplaza por 3 elevado a la cuarta. El siguiente ejercicio se emplea la factorización, pero no la tradicional, en este caso se factorizan potencias de la misma base. Caso I. Ejemplo #2 3 x+1 − 3 x = 18 Siendo “x” la incógnita, como 1er. Paso factorizamos a la potencia de base 3. 3 x 3 1 − 1 = 18 Como 2o. Paso, simplificamos términos semejantes. 3 x 2 = 18, 3 x = 18 2 , 3 x = 9 Como 3er Paso, reemplazamos el 9 por 3 elevado al cuadrado. 3 x = 3 2 Como 4to. Paso, tratándose de una igualdad, entonces igualamos los exponentes. x = 2 Y listo hemos terminado, te sugiero hagas la comprobación correspondiente.

Ecuaciones exponenciales En este caso I, la intención es reemplazar todas las potencias por potencias que contengan la misma base, como observaremos en el siguiente ejercicio. Caso I. Ejemplo #3 3 4 x−1 = 4 16 9 Como 1er. Paso, trabajaremos con el lado derecho de la ecuación, es decir transformaremos los 16/9 en ¾, paulatinamente, observa con mucho detenimiento. 4 16 9 = 4 (4) 2 3 2 = 4 (3) −2 4 −2 = 4 3 4 −2 = 3 4 −2 4 = 3 4 −1 2 Como 2o. Paso, reemplazo paulatino (dale clic al mismo botón). Finalmente, volvemos a la igualdad inicial, ya con la nueva potencia: 3 4 x−1 = 3 4 −1 2 x − 1 = −1 2 Como 3er Paso, de la ecuación previa, igualamos los exponentes. Como 4to. Paso, despejamos a “x” y simplificamos términos semejantes y hemos terminado, te sugiero realices la comprobación correspondiente. x = −1 2 +1, x = 1 2

Ecuaciones exponenciales En este caso I, la intención es reemplazar todas las potencias por potencias que contengan la misma base, como observaremos en el siguiente ejercicio. Caso I. Ejemplo #4 0.4 x+1 = 3 2.5 Como 1er. Paso, reemplazaremos el 0.4 por 4/10 (reduciendo: 2/5) y al 2.5 por 5/2 2 5 x+1 = 3 5 2 , 5 −1 2 −1 x+1 = 5 2 1 3 , Como 2o. Paso, simplificación paulatina (dale clic al mismo botón). 5 2 − x+1 = 5 2 1 3 Finalmente, se obtiene: 𝟓 𝟐 −𝟏 x+1 = 5 2 1 3 , Y procedemos a igualar los exponentes − (x + 1) = 1 3 , − x − 1 = 1 3 , Como 3er Paso, despejamos a “x” y simplificamos términos semejantes. − x = 1 3 +𝟏, − 𝒙 = 𝟒 𝟑 , x = − 4 3 Finalmente, te sugiero realices la comprobación correspondiente.

Ecuaciones exponenciales En este caso I, la intención es reemplazar todas las potencias por potencias que contengan la misma base, como observaremos en el siguiente ejercicio, la base de la potencia debe ser 5. Caso I. Ejemplo #5 2−x 25 2x+1 2 = 1 5 Como 1er. Paso, reemplazaremos el 25 por 5 elevado al cuadrado. Como 2o. Paso, simplificación paulatina (dale clic al mismo botón). 2−x 5 2 2x+1 2 = 5 −1 , 2−x 5 2(2x+1) 2 = 5 −1 , 5 2x+1 2−x = 5 −1 Finalmente, se obtiene: 2−x 5 2x+1 = 5 −1 , Y procedemos a igualar los exponentes 2x+1 2−x = −1 , 2x+1=−(2−x) x = −𝟑 Como 3er Paso, despejamos a “x” y simplificamos términos semejantes. Finalmente, te sugiero realices la comprobación correspondiente.