FP: INVOLUCIONES FP_8 Prof. José Juan Aliaga Maraver Universidad Politécnica de Madrid

Involución Una transformación convierte un elemento P1 en P2. Si al aplicar la transformación a P2= Q1 (perteneciente Q1 al primer conjunto) se obtiene P1 diremos que es involutiva. F P1 = Q2 P2 = Q1 Q2 F F INVOLUCIÓN NO INVOLUCIÓN

Centro y Potencia de involución El punto límite de una involución es el centro de involución Equidista de los puntos dobles en las involuciones hiperbólicas

Involuciones rectangulares Es una involución elíptica, no tiene elementos dobles a a’ b b’

Centro de involución Cuatro puntos A, B, C y D, del plano pueden relacionarse mediante tres involuciones diferentes, de centros los puntos diagonales E, F y G, del cuadrivértice que determinan A A’ B’ B e E F G En la figura se ha establecido una involución sobre una circunferencia, determinándose el eje proyectivo e y el centro de involución E. Cada punto A y su homólogo A’ se encuentran alineados con el centro E

Involución FP_8P_01 Determinar los puntos dobles de la involución establecida entre las series superpuestas s y s’ . Enunciar el problema dual A B’ B A’

Involución FP_8P_02 Determinar los puntos dobles de la involución establecida entre las series superpuestas de segundo orden . Enunciar el problema dual A A’ B’ B

Involución FP_8P_03 Determinar el centro de involución establecido entre las series superpuestas de segundo orden . Enunciar el problema dual A B’ A’ B

Involución FP_8P_04 Determinar los puntos dobles de la involución establecida entre las series superpuestas s y s’ . Enunciar el problema dual A B’ B A’

Proyectividad FP_8P_05 Sea la recta (s), paralela al plano de proyección, dada por las proyecciones en sistema central de dos de sus puntos, obtener el punto principal V”. (V) (B) (A) (s) B A B” A” s=s” P FIGURA DE ANÁLISIS B A B” A” s=s”

Proyectividad FP_8P_06 Sea la recta (s) dada por las proyecciones en sistema central de dos de sus puntos, obtener el punto I de intersección de dicha recta. (V) (B) (A) (s) A B V” B” A” s=s” P FIGURA DE ANÁLISIS A B V” B” A” s=s”

Proyectividad FP_8P_07 Sea la recta (s) dada por las proyecciones de tres de sus puntos, obtener el punto de intersección de dicha recta y el V” del sistema central en el que está representada. (V) (C) (B) (A) (s) A B C C” B” A” s=s” P FIGURA DE ANÁLISIS A B C C” B” A” s=s”

Involución FP_8P_08 En proyección cilíndrica tenemos dos pares de direcciones coplanarias y perpendiculares entre sí, a-a’ y b-b’. Obtener la dirección, también coplanaria, que sea perpendicular a r. Sistema axonométrico Perspectiva caballera b’ b’ a b a’ r a b r a’ FIGURA DE ANÁLISIS

Involución FP_8P_09 En proyección cónica tenemos los puntos de fuga de dos pares de direcciones coplanarias y perpendiculares entre sí, Fa-Fa’ y Fb-Fb’. Obtener el punto principal, V”, alineado con los anteriores y la potencia de la involución. (V) (a) (b) r (a’) (b’) Fa Fb V” Fa’ Fb’ P FIGURA DE ANÁLISIS Fa Fb Fa’ Fb’

Polo y polar Q T1 (ABPP’)=-1 R P P’ B A T2