Estimación por intervalos de confianza. En este caso, en lugar de indicar simplemente un único valor como estimación del parámetro poblacional , lo que haremos es ofrecer un intervalo de valores en el que se tiene cierta probabilidad (confianza) de que se encuentre el verdadero valor de . Intervalo de confianza: Es el intervalo de las estimaciones (probables) sobre el parámetro. Límites de los intervalos de confianza: Son los dos valores extremos del intervalo de confianza. Amplitud del intervalo o margen de error...

Ahora bien, ¿cuán grande debe de ser el intervalo de confianza Ahora bien, ¿cuán grande debe de ser el intervalo de confianza? Evidentemente, si decimos que el intervalo de confianza va de menos infinito a más infinito, seguro que acertamos...Pero eso no es muy útil. El caso extremo contrario es la estimación puntual, donde la amplitud del intervalo es nula. La idea es crear unos intervalos de confianza de manera que sepamos en qué porcentaje de casos el valor del parámetro poblacional estará dentro del intervalo crítico. Es decir, dar una medida de bondad de la estimación, la probabilidad de que el valor real  se encuentre dentro del intervalo. Coeficiente o grado de confianza Nivel de significación (N. S.)

¿Y cómo fijamos tal probabilidad ¿Y cómo fijamos tal probabilidad? Usualmente se asume un porcentaje del 95%. Al calcular un intervalo de confianza al 95%, ello quiere decir que el 95% de las veces que repitamos el proceso de muestreo (y calculemos el estadístico), el valor del parámetro poblacional estará dentro de tal intervalo. A ese usual nivel de significación se le denomina confianza casi significativa. Otros casos usuales son: confianza significativa: 99%. confianza muy significativa: 99.5%

Intervalos de confianza para la media: Supongamos que la población sigue una distribución normal, con cierta media  y cierta desviación típica . Utilizaremos como estimador puntual para la media poblacional la media muestral . Sabemos que: (1). La media de la distribución muestral de medias es la media poblacional . (2). La varianza de la distribución muestral de medias es 2/n. O lo que es lo mismo, la desviación típica de la distribución muestral de medias es  /n. Veremos dos casos para calcular intervalos de confianza: (1) Conocemos la desviación típica  y (2) no la conocemos.

(1) La población es normal y conocemos  : Sabemos cómo se distribuye la variable aleatoria muestral y a partir de esa distribución podemos determinar el intervalo de confianza. Tipificamos la variable: Supongamos que deseamos tener un nivel de significación .

/2 /2 1- -z/2 z/2

Así, una estimación puntual de la media poblacional  se obtendría de una muestra de n elementos haciendo la media muestral. Mientras que un intervalo de confianza con nivel de significación  sería: Nota: Observa que podemos determinar el tamaño necesario de una muestra para obtener una amplitud del intervalo de confianza determinada. Semiamplitud del intervalo

Buscamos en las tablas N(0,1) los valores de z que Ejemplo: n = 100   = 0.05 Confianza = 0.95 Buscamos en las tablas N(0,1) los valores de z que dejan 0.05 / 2 = 0.025 de probabilidad por abajo y 0.05 / 2 = 0.025 de probabilidad por arriba: 

Observemos cómo a medida que el tamaño muestral aumenta, la amplitud del intervalo disminuye. (Evidentemente, esto es general, no sólo para la media.) Veamos, un ejemplo. Supongamos que deseamos 1 -  = 0.95: Caso 1. Media muestral =10, varianza poblacional = 4, tamaño muestral =12. Caso 2. Media muestral =10, varianza poblacional = 4, tamaño muestral = 20.

Supongamos ahora que deseamos que 1 -  = 0. 99 Supongamos ahora que deseamos que 1 -  = 0.99. En tal caso, tendremos más seguridad de que el parámetro de interés se halle en los límites del intervalo. El problema es que incrementar la confianza aumenta la amplitud del intervalo. Caso 1. Media muestral = 10, varianza poblacional = 4, tamaño muestral = 12. Intervalo al 95% Caso 2. Media muestral = 10, varianza poblacional =4, tamaño muestral = 12. Intervalo al 99%

(2) Población normal y desconocemos  : Por el tema anterior sabemos que la distribución muestral del estadístico: no es una distribución normal, sino una distribución t de Student con n -1 grados de libertad.

En definitiva, para la media (cuando conocemos la varianza poblacional), tenemos : Pero si no conocemos la varianza poblacional (el caso realista), tenemos como intervalo:

Distribución de la población desconocida y n > 30 Si n es grande (n > 30), la distribución del estadístico será prácticamente una distribución normal N(0,1). Y el intervalo de confianza será: Nota: Observa, en particular, que para n > 30 la distribución t de Student es prácticamente una normal.

Intervalo de confianza para las varianzas:

Si se desea estimar s = s2  3.20  s  5.35 Ejemplo:  = 0.05 n = 31  n -1 = 30  Si se desea estimar s = s2  3.20  s  5.35

Resumen: Procedimiento para determinar el intervalo de confianza 1. Fijar el nivel de significación  a 2. Conociendo la distribución en el muestreo de y poseyendo una estimación puntual, hallar los percentiles x a/2 y x 1- a/2 de LCi LCs Si es simétrica el intervalo de confianza es simétrico en x y en probabilidad. Si es asimétrica el intervalo de confianza es simétrico en probabilidad solamente.

Intervalo de confianza para diferencia de medias Mirar en capítulo 13: Intervalo de confianza para diferencia de medias Intervalo de confianza para 12/22. Intervalo de confianza para la proporción poblaional.