COLEGIO DISTRITAL EL SILENCIO Esp. CARLOS PEÑA TEOREMAS DEL COSENO Y DEL SENO COLEGIO DISTRITAL EL SILENCIO Esp. CARLOS PEÑA
Dado el siguiente triángulo suponga que conoce el valor de los lados a, b y c. α β φ y x b-x M b B 1.- Escoger el triángulo rectángulo formado por los puntos: B, M y C. Usamos el teorema de Pitágoras: c² = y² + (b-x)² c² = y² + b² - 2bx + x² c² = y² + x² + b² - 2bx (1) 2.- Escoger el triángulo formado por los puntos: A, M y C. Usamos el teorema de Pitágoras: a² = y² + x² (2) cos α= x/a, entonces x = a cosα (3) 3.- Reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene : c² = a² + b² - 2bx c² = a² + b² - 2a·b·cosα
La Ley del Coseno sirve para analizar y resolver triángulos que NO necesariamente son triángulos rectángulos. Es decir que la Ley del Coseno permite encontrar el valor de uno de los lados de un triángulo conociendo de antemano el ángulo opuesto a dicho lado y los valores de los otros dos lados. Obteniendo entonces las siguientes ecuaciones: c² = a² + b² - 2a·b·cos α a² = b² + c² - 2b·c·cos β b² = a² + c² - 2a·c·cos φ LEY DEL COSENO
LEY DEL SENO y = a·sen α y = c·sen β La Ley del Seno relaciona 3 igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera. 1.- Se escoge el triángulo formado por los puntos: A, M y C obteniendo: sen α= y/a y = a·sen α A a c C α β φ y x b-x M b B 2.- Se escoge el triángulo formado por los puntos: M, B y C obteniendo: sen β= y/c y = c·sen β 3.- Igualando las 2 ecuaciones se tiene: a·sen α = c·sen β
Obteniendo entonces las siguientes ecuaciones:
ACTIVIDAD 1. Resuelve el triángulo oblicuángulo cuyos lados miden: a = 80, b = 65, c = 74. 2. Resuelve el triángulo oblicuángulo con datos: a = 50, b= 40, C= 76°42’ 3. Un túnel se va a construir a través de una montaña. Se fija un punto de referencia que se observa desde los puntos de entrada y de salida. La distancia de este punto al de entrada es de 253 m y al de salida es de 462 m. El ángulo formado por estas distancias con vértice en el punto de referencia es de 75° 30’. Calcula la longitud del túnel. A B 253 462 C c