MÉTODO DE MüLLER Raíces de Polinomios Prof. Ing. Marvin Hernández C.

Agenda Comparación entre el Método de Müller con el Método de la Secante. Procedimiento para desarrollar el Método de Müller. Ventajas y Desventajas del método. Estrategias para desarrollar el método. Desarrollo de ejemplos. Presentación del Método Müller en Matlab.

Método de Müller vs. Método de la Secante Método de la Secante: usa una línea recta hasta el eje X con 2 valores de la función. Método de Müller: se hace con una parábola de 3 puntos. Consiste en obtener coeficientes de la parábola que pasa por los puntos, estos se sustituyen en la fórmula y se obtiene el valor donde la parábola interseca el eje X.

Método de Müller vs. Método de la Secante

Procedimiento Se determina un X0, X1 y un X2. Segundo paso : h0 = X1 – X0 h1 = X2 – X1 Tercer paso: δ0 = F (X1) - F (X0) h0 δ1 = F (X2) - F (X1) h1

Procedimiento Cuarto paso: Se obtienen: Quinto paso: X3 = X2 + - 2 * c h1 + h0 b = a * h1 + δ0 c = F (X2) Quinto paso: X3 = X2 + - 2 * c b ±

Procedimiento Sexto paso: Si | b + | > | b - | Calculo del Error. Se escoge: b + Si no, se escoge : b - Calculo del Error. Єa = X3 – X2 * 100% X3

Ventajas Por medio de este método se encuentran tanto raíces reales como complejas.

Desventajas En el Método de Müller se escoge el signo que coincida en el signo de “b”, esta elección proporciona como resultado el denominador mas grande, lo que dará la raíz estimada mas cercana a X2. Una vez q se determino X3 el proceso se repite, esto trae de que un valor es descartado.

Estrategias Comúnmente Usadas Si sólo se localizan raíces reales, elegimos los 2 valores originales más cercanos a la nueva raíz. Si tenemos raíces reales y complejas, se usa un método secuencial. Ej. X1, X2, X3 = X0, X1, X2

Ejemplo 7.2 F(x) = x^3 – 13x -12 X0 = 4.5 X1 = 5.5 X2 = 5 Iteraciones Ea (%) 5 --------------- 1 3.9765 25.7391 2 4.0011 0.6139 3 4.0000 0.0262 4 1.7631 * 10 ^ - 5 X0 = 4.5 X1 = 5.5 X2 = 5

Problema 7.3 Parte A. F(x) = x^3 + x^2 – 4x - 4 X0 = 1 X1 = 1.5 Iteraciones X3 Ea (%) 1.75 --------------- 1 2.0112 12.9863 2 1.999882423 0.5648 3 1.99999997 0.0059 4 1.3686 * 10 ^ - 6 X0 = 1 X1 = 1.5 X2 = 1.75

Problema 7.3 Parte B. F(x) = x^3 – 0.5x^2 + 4x - 2 X0 = 0.4 X1 = 0.6 Iteraciones X3 Ea (%) 0.8 --------------- 1 0.5007 59.7750 2 0.49999 0.141817 3 0.500000 0.00100 X0 = 0.4 X1 = 0.6 X2 = 0.8

Problema 7.4 (Incluye raíces complejas) Parte A. F(x) = x^3 – x^2 + 2x - 2 Iteraciones X3 Ea (%) 0.75 --------------- 1 1.0402 27.8979 2 0.9983 4.1995 3 0.9999942 0.17249 4 0.9999999 5.7776 * 10 ^ - 4 X0 = 0.25 X1 = 0.50 X2 = 0.75

Problema 7.4 (Incluye raíces complejas) Parte B. F(x) = 2x^4 + 6x^2 + 8 Iteraciones X3 Ea 2.25 ----------------- 1 1.1778 – 0.71168i 93.51 2 0.9186 – 0.93051i 25.94 3 0.6845 – 1.1251i 23.11 4 0.5381 – 1.2720i 15.05 5 0.5030 – 1.3176i 4.03 6 0.5000 – 1.3228i 0.43 7 0.4999 – 1.3229i 0.005 8 0.4999 – 1.322876i 1.52 * 10 ^ - 6 X0 = 1.75 X1 = 2 X2 = 2.25

Problema 7.4 (Incluye raíces complejas) Parte C. F(x) = x^4 - 2x^3 + 6x^2 – 2x +5 Iteraciones X3 Ea 2.75 ----------------- 1 1.488 – 0.8219i 88.51 2 1.2052 – 1.1174i 24.92 3 0.8931 – 1.44559i 26.65 4 0.7503 – 1.9344i 24.54 5 1.0207 – 2.0602i 12.97 6 0.99658 – 1.9977i 2.996 7 0.999969 – 2.0000i 0.1819 8 0.999999 – 2.0000i 0.001366 X0 = 2 X1 = 2.5 X2 = 2.75

Problema 7.17 R/ La presión es cero en 0.524 s h1 = 0.54 – 0.55 = -0.01 d1 = 44 – 58 = 1400 0.54 – 0.55 = 3671.85 ho = 0.55 – 0.53 = 0.02 d0 = 58 – 19 = 1950 0.55 – 0.53 a = d1– d0 = -55000 h1 + ho b = a h1 + d1 = 1950 c = 44 R/ La presión es cero en 0.524 s

Desarrollo del Método de Müller en Matlab