2. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD FENÓMENO O EXPERIMENTO ALEATORIO Consideremos un fenómeno o experimento dado, y sea S el conjunto no vacío de posibles resultados de dicho fenómeno o experimento. TIPOS DE EXPERIMENTOS: ALEATORIO DETERMINISTICO

EJEMPLOS: Consideremos el rendimiento académico de un estudiante desde el punto de, vista del resultado, constituye un fenómeno o experimento aleatorio, así los posibles resultados serán: Buen B, Regular R , Malo M Se lanzan simultáneamente 2 monedas al aire y se observa los resultados , el conjunto de resultados será: (sale: 0 cara; sale 1 cara, sale 2 caras). Se examina la vida útil de un foco de luz . El foco dura 30 horas El foco dura 1500.5 horas El foco dura 1000 horas El conjunto de resultados es infinito no numerable

ESPACIO MUESTRAL: Sea E un experimento aleatorio, y sea S el conjunto de resultados de dicho experimento, entonces S es el espacio muestral Ejemplo: Sea el ejemplo 1). Entonces: S= es un espacio muestral Bueno B Regular NB Malo NB

S2= es un espacio muestral Bueno B Regular R Malo M Como puede verse, existen diferentes espacios muestrales asociados a un mismo experimento aleatorio E, por lo tanto, en la elección de un espacio muestal se debe tener en cuenta que característica del fenómeno que se desea estudiar. Así por ejemplo, sí se desea saber si rendimiento académico es bueno o no , el espacio S1, es el adecuado. Sí se desea estudiar la posibilidad de que el el rendimiento académico es Bueno, Regular o Malo el espacio muestral adecuado será S2.

NUMERO DE ELEMENTOS DEL ESPACIO MUESTRAL Esta dado por la siguiente fórmula S# = kn Donde: K : número de posibilidades n : número de veces que se repite el experimento Ejemplo . se lanza una moneda 3 veces, hallar el número de elementos o resultado del espacio muestral. Solución S#. = kn ; k = 2 cada moneda tiene dos posibilidades, cara o sello n = 3 porque son tres monedas S# = 23 = 8 elementos del espacio muestral

2.1. SUCESOS Y OPERACIONES 2.2.1 DEFINICION Es todo subconjunto de S en particular, ø y S son sucesos, además ø se llama suceso imposible y S se llama suceso seguro. Si w S, ´{ w} es un suceso, y a veces se llama suceso elemental. Por consiguiente con los sucesos o eventos se pueden realizar las mismas operaciones que con conjuntos.

2.2 DEFINICIÓN Sea (S, @) un espacio de probabilidad sea: P : @ R Talque: 1). P(A) > 0 A @ 2). disjunta talque An entonces: P 3). P ( s ) = 1 Entonces se dice que P es una función de probabilidad o bien medida de probabilidad

2.3 TEOREMAS A). P B). Sean A mutuamente excluyentes. y A = C). Sean A1 y A2 que pertenecen a @ talque A1 < A2 entonces P( A1 ) < P( A 2 )

Si A y B son sucesos complementarios entonces: P ( A` ) = 1 – P(A) P (S) = 1 Sea A y A Entonces P= si y solo si A1 y A2 son complementarios / 0

2.5 DEFINICIÓN CLASICA DE PROBABILIDAD Según Laplace , la probabilidad de un evento A esta dado por: P(A) = Ejemplo: En un Colegio Estatal el 30% de los profesores son de Tacna , el 10% son egresadas de la Universidad Nacional de San Marcos, el 1% son de Tacna y egresadas de San Marcos . Si se selecciona a lazar un profesor del Colegio Estatal ¿ Cuál es la probabilidad de que no sea de Tacna?. ¿ Cuál es la probabilidad que sea de Tacna o sea egresada de San Marcos ¿ ¿ Cuál es la probabilidad que no sea de Tacna ni egresada de San Marcos?

Solución P (T) = 0.30 P ( E SM) = 0.10 P (T  ESM) = 0.01 P (T´) = 1- P (T) = 1 – 0.30 = 0.70 P ( T  ESM) = P (T) +P (ESM) – P ( T  ESM) = 0.30 + 0.10 - 0.01= 0.39 P( T´ ESM´) = 1 - P(TESM) = 1 - 0.39 = 0.61

Sea A, un evento cualesquiera, talque la P(B)> 0 entonces 2.2.11 PROBABILIDAD CONDICIONAL Sea A, un evento cualesquiera, talque la P(B)> 0 entonces La probabilidad condicional de A dado B, denotado P se define: Donde P es la probabilidad de ocurrencia de A dado que ha ocurrido B. P también se puede interpretar como la probabilidad de ocurrencia del evento A en el espacio muestral restringido a B. Análogamente P

Ejemplo: Un experimento consiste en extraer aleatoriamente 2 computadoras uno a uno sin reposición de un embarque que contiene 500 computadoras. Si se sabe que el 5% de estas computadoras son defectuosos ¿ Cuál es la probabilidad de extraer 2 computadoras defectuosas? Sea A = (Extraer dos computadoras defectuosas) = (Extraer una computadora defectuosa en la primera sacada y extraer otra computadora defectuosa en la segunda sacada) Sea A1 (Extraer una computadora defectuosa en la 1ra. sacada) A 2 (Extraer una computadora defectuosa en la segúnda. sacada). P(A) = P Computadoras defectuosas: 5% de 500 = 0.05x 500 = 25 P

P= ( Extraer una computadora defectuosa en la segunda sacada dado que se extrajo una computadora defectuosa en la primera sacada). P= P(A) =P = = 0.0024

2.2. 13 EVENTOS INDEPENDIENTES: DEFINICIÓN. A y B son eventos independientes o mutuamente independientes si solo si A es independiente de B (ó B es independiente de A) TEOREMA. Si A y B son independientes P (A CONSECUENCIA. Sí A son independientes p

Ejemplo. Sea E el experimento de lanzar una moneda dos veces consecutivos o lanzar dos monedas a la vez.¿ Cuál es la probabilidad de obtener dos caras? SOLUCIÓN: P(obtener dos cosas) = P (obtener cara en el primer lanzamiento y cara en el segundo lanzamiento). Sea A = {obtener 2 caras} A1 = (Obtener cara en el primer lanzamiento). A2= (Obtener cara en el segundo lanzamiento) ; P(A) = P(A1 Si A1 y A2 son independientes P(A) =

2.6 TEOREMA DE LA PARTICIÓN DE ESPACIO MUESTRAL Sea B y sea Ai S i=1,2,....n talque a) b) P (B) = Se conoce con el nombre de probabilidad total del evento B.

2.6 TEOREMA DE BAYES Sea el conjunto de eventos A1 , A2 , A3 ………An una partición del espacio muestral S, donde P (Ai) entonces: para cualquier evento B para el que P(B) 0 para i P

EJEMPLO 1: Un Centro Educativo aplica tres métodos de enseñanza que incluye 60% de tipo I, 30% de Tipo II y 10% de tipo III y que la probabilidad de que un estudiante apruebe , es 0.75 para el tipo I, 0.50 para el tipo II y 0.25 para el tipo III. A)¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante apruebe ? B)¿Si se elige aleatoriamente un estudiante y resulta estar aprobado ¿Cuál es la probabilidad que se haya acogido el método de enseñanza del tipo II?. Solución: Sea A1 = {El método de enseñanza sea del tipo I} A2 = { El método de enseñanza sea del tipo II} A3 ={ El método de enseñanza sea de tipo III} P (A1) = 0.6 ; P(A2) = 0.30 , P(A3 )= 0.10

A) D = {Que el estudiante elegido este aprobado} P(D) = D = P(D) = P P P P P P(D) = 0.750 + 0.15 + 0.076 = 0.6 25 probabilidad de que un estudiante APRUEBE

B) Si se elige aleatoriamente un estudiante y resulta estar aprobado B) Si se elige aleatoriamente un estudiante y resulta estar aprobado . cuál es la probabilidad de que se haya acogido al método de enseñanza de tipo II .?

FIN -II

3.0 VARIABLES ALEATORIAS Es una función que va del espacio muestral al conjunto de los número reales y lo denotamos por una letra mayúscula; y una minúscula para sus valores. EJEMPLO : Se lanza tres monedas sobre una mesa. S R X

3.1 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Si X es la variable aleatoria que determina el # de caras en el experimento entonces . X (CCC) = 3 X(CSC) = 2 X(SSC) = 1 X(CSS) = 1 X (CCS) = 2 X(SCC) = 2 X(SCS) = 1 X(SSS) = 0 Por lo tanto x toma los valores x : 0, 1, 2, 3 3.1 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Si un espacio muestral es finito (discreto) la variable aleatoria definida sobre este espacio será discreto. Representado la mayoría de las veces por datos discretos.

3.2 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Es aquella que está definida en un espacio muestral continuo, representando en la mayoría de los casos datos referente medidas tales como: tallas, pesos, temperaturas, distancias, etc. 3.3 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD. Se dice que f(x) es una función o distribución de probabilidad (función de cuantía) de la variable discreta aleatoria X. Si para cada x resulta posible que: 1). f(x) 2). 3). P(X=x) = f(x)

EJEMPLO: Sea el experimento de verificar el rendimiento académico de 3 estudiantes , hallar la función de cuantía o probabilidad del número de desaprobados. Solución Los valores que toma la variable aleatoria X, que cuenta el número de desaprobados en este experimento será: X : 0, 1, 2, 3 cuyas probabilidades son: f(x) = P(X=x) , f(3) = P(X=3) = 1/8; f(2) = P(X=2) = 3/8 ; f(1) = P( X=1) = 3/8 f(0 ) = P( X = 0) = 1/8 , donde la suma de todas las probabilidades deben dar 1

La distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta f(x) está dada por F(x). donde F(x) = P X 0 1 2 3 f(x)

EJEMPLO : Hallar la función de distribución acumulativa F(x) del ejemplo anterior: 0 si si <1 F(x) = si 1 si 1 x

3.11 ESPERANZA MATEMÁTICA Dado una variable aleatoria con distribución de cuantía o probabilidad f(x), el valor esperado o la esperanza matemática de x esta dado por: EJEMPLO : En un juego de apuesta, un estudiante debe ganar $ 5, si al tirar 3 monedas obtiene todas cara o todas sello y paga $3 si sale 1 o 2 caras , conviene participar en la apuesta .? x: 5 , -3 P(x=5) = ¼ P(x=-3) = ¾ por el resultado obtenido no conviene participar en la apuesta

3.12 VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA La varianza de una variable aleatoria x esta dada por EJEMPLO : Calcular la varianza de x donde x es el número de químicos de un comité de tres personas seleccionadas al azar entre un grupo de 4 químicos y 3 biólogos x= 0, x = 1, x = 2, x = 3 :

Def: Si x variable aleatoria y b usa constante entonces Def: Si x variable aleatoria y a una constante cualquiera . entonces Def: Si x e y son variables aleatorias independientes, entonces