UNIDAD No. 3 Aplicaciones de la integral definida Trabajo y presión hidrostática

TRABAJO MECÁNICO En física, cuando una fuerza constante F desplaza un objeto una distancia d, en la misma dirección de la fuerza, el trabajo (mecánico) realizado se define como el producto W=Fd.

TRABAJO MECÁNICO… Supóngase que P es la partición a = x o < x 1 < x 2 <… < x n = b y que  x k es la longitud del k-ésimo subintervalo [ x k-1, x k ].

TRABAJO MECÁNICO… Supóngase que P es la partición a = x o < x 1 < x 2 <… < x n = b y que  x k es la longitud del k-ésimo subintervalo [ x k-1, x k ]. Sea x* k elegido arbitrariamente en cada subintervalo. Si los números  x k son pequeños, se puede considerar como constante la fuerza que actúa sobre cada subintervalo. Por consiguiente el trabajo realizado de x k-1 a x k está dado por la aproximación:  W k = F(x* k )  x k

TRABAJO MECÁNICO… Así que, una aproximación al trabajo realizado desde a hasta b es: F(x* 1 )  x 1 + F(x* 2 )  x 2 + …+ F(x* n )  x n Es decir: Es natural suponer que el trabajo exacto realizado por F sobre el intervalo es:

TRABAJO MECÁNICO… Sea F continua en el intervalo [a,b] y supóngase que F(x) representa la fuerza en un valor x del intervalo. Entonces el trabajo W realizado por la fuerza al mover un objeto desde a hasta b es:

PROBLEMA Se requiere una fuerza de 130 N para estirar un resorte de 50 cms. Determinar el trabajo realizado al estirar el resorte 20 cms más allá de su longitud natural (sin estirar). La ley de Hooke establece que cuando un resorte se estira (o se comprime) más allá de su longitud natural, la fuerza restauradora elástica ejercida por el resorte es directamente proporcional a la magnitud del alargamiento (o acortamiento) F(x) = kx.

PROBLEMA… Cuando la fuerza se mide en N, la distancia se mide en mts. Puesto que x= 0.5 mts. cuando F=130 N entonces: F=kx nos determina que k=260 N/m. El trabajo realizado al estirar 20 cms el resorte será:

PRESIÓN HIDROSTÁTICA Supongamos que una lámina de área A está sumergida en posición horizontal en un líquido de densidad  (Kg/m 3 ) a una profundidad de x mts. bajo la superficie del líquido. A x

PRESIÓN HIDROSTÁTICA… La columna de líquido por encima de la lámina tiene un volúmen V=Ax Su masa está dada por: m=  V=  Ax La fuerza que ejerce sobre la lámina es: F=mg=  gAx A x

PRESIÓN HIDROSTÁTICA… Por otra parte, la presión ejercida por la columna de líquido es: Utilizando la fórmula de la fuerza obtenida anteriormente: Simplificando: Esto quiere decir que la presión sobre la lámina depende sólo de la profundidad (es proporcional a la profundidad).

PRESIÓN HIDROSTÁTICA… Este resultado está relacionado con el “Principio de Pascal” que además de establecer lo anterior, afirma que la fuerza ejercida por la columna del líquido sobre la lámina es perpendicular a ésta y se propaga en todas las direcciones con la misma intensidad a la misma profundidad. F F F F F

PRESIÓN HIDROSTÁTICA… El principio de Pascal ayudará a determinar la fuerza debida a la presión sobre una pared vertical de un recipiente que contiene a un líquido. Para ello, consideraremos una sección de área A que se encuentra en una de las caras del recipiente. A F

PRESIÓN HIDROSTÁTICA… Nuestro objetivo será calcular la fuerza debida a la presión sobre dicha sección. No todos los puntos de la sección se encuentran a la misma profundidad, así que la presión ejercida sobre ellos NO siempre es la misma. Determinaremos la fuerza ejercida en un elemento diferencial de área.

PRESIÓN HIDROSTÁTICA… Consideraremos la siguiente representación: x dx L(x) dA

Problema: Supóngase que la cortina vertical de una presa, la cual está llena a su máxima capacidad, tiene la forma indicada. 10 mts 6 mts 8 mts Cuál es la fuerza total que ejerce el agua contra la cortina?