M.I. Ricardo Garibay Jiménez La Transformada Z M.I. Ricardo Garibay Jiménez

8.1 DEFINICIÓN Y RELACIÓN CON LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO. Una generalización de la Transformada de Fourier es la transformada Z. Ventajas de la Transformada Z La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias La transformada Z tiene la ventaja de que, en problemas analíticos, el manejo de su notación, expresiones y álgebra es con frecuencia más conveniente El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de ellas mantiene su relación correspondiente con la transformada de Fourier.

Transformada de Fourier La transformada de la misma secuencia tambien se define como Segun la variable compleja continua z La correspondencia entre una secuencia y su transformada se denota como: Arreglar tamaño en texto y fórmulas La transformada de Fourier es simplemente con La transformada de Fourier es la transformada Z tomando

Si tomamos La transformada evaluada en los puntos de dicha circunferencia es la transformada de Fourier .

8.2 REGION DE CONVERGENCIA La convergencia de la transformada Z depende solamente de entonces: Los valores sobre la circunferencia definida como están dentro de la región de convergencia. La región en donde se cumple la desigualdad es la región de convergencia. La transformada Z es una función analítica en todos los puntos de la región de convergencia; de aquí que la transformada Z y todas sus derivadas con respecto a son funciones continuas en dicha región.

8.3 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z La transformada Z posee propiedades que facilitan la solución de ecuaciones en diferencias lineales usando simplemente manipulaciones algebraicas. SUPERPOSICIÓN Se compone de las características de: 1)Homogeneidad: 2)Aditividad:

si: la transformada Z es: Arreglar tamaño en texto y fórmulas b) CORRIMIENTO A LA DERECHA (RETRASO) La respuesta del sistema se define por: La transformada de la salida y(k) se define a su vez como:

Desarrollando: Arreglar tamaño en texto y fórmulas La representación en diagrama de bloques para la propiedad de corrimiento a la derecha se muestra abajo:

C) PROPIEDAD DE CONVOLUCIÓN A demostrar Arreglar tamaño en texto y fórmulas Para el siguiente sistema: Su salida se define como una suma de convolución: Quedando: Factorizando: La transformada queda: Factorizando

D) PROPIEDAD DE “SUMACIÓN” Sean las secuencias y si entre ellas es posible establecer la relación: para queda con Arreglar tamaño en texto y fórmulas

E) PROPIEDAD DE MULTIPLICACIÓN POR Sean las secuencias y Si entre ellas se establece la siguiente relación: entonces la transformada se determina como sigue: para

F) PROPIEDAD DE DERIVACIÓN Derivando para Multiplicando por -z , Arreglar tamaño en texto y fórmulas

G) TEOREMA DEL VALOR INICIAL Es posible determinar el término inicial, , de una secuencia , a partir de la transformada correspondiente. Si entonces Arreglar tamaño en texto y fórmulas H) TEOREMA DEL VALOR FINAL Para f(k) donde sea analítica para

8.4 TRANSFORMADAS COMUNES: 1) Impulso unitario (delta de Kronecker). Definiendo la secuencia impulso unitario para , su transformada se determina de la siguiente forma: 2) Retraso

3) Escalón unitario Definido por La transformada es: para 4) Serie geométrica Si se tiene una serie divergente y Si se tiene una magnitud unitaria y Si se tiene una serie convergente a cero y Multiplicando y dividiendo por a Arreglar tamaño en texto y fórmulas

5) Rampa discreta unitaria Multiplicando la ecuación anterior por y considerando , se obtiene : Para una secuencia geométrica se tiene: Derivando con respecto a z: Arreglar tamaño en texto y fórmulas

8.4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS SISTEMAS DISCRETOS LINEALES. Dicha representación emplea tres elementos básicos: 1) Unidad de retraso. 2) Unidad multiplicadora. 3) Unidad de suma. UNIDAD DE RETRASO La relación característica para esta unidad es Obtención de un retraso de dos unidades de tiempo discreto

2) UNIDAD MULTIPLICADORA La relación característica para esta unidad es 3) UNIDAD DE SUMA La relación característica para esta unidad es

8.5 OBTENCIÓN DE LA RESPUESTA DE UN SISTEMA DISCRETO MEDIANTE TRANSFORMADA Z: LA ANTITRANSFORMADA Z. 8.5.1 MÉTODO DE EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES. Considérese una función Factorizando Cuando todos los polos de en la ecuación son diferentes Arreglar tamaño en texto y fórmulas

El cálculo de los coeficientes es como sigue: Arreglar tamaño en texto y fórmulas La secuencia resulta: Con polos múltiples queda La expansión de F(z), en este caso, tiene la forma:

TABLA 8.II PARES DE TRANSFORMADAS Z PARA RAÍCES MÚLTIPLES 8.6 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS DISCRETOS El concepto de función de transferencia ; la cual se define como la relación de la transformada Z de la salida, , de un sistema entre la transformada Z de su entrada, Arreglar tamaño en texto y fórmulas

La expresión general aplicable a la función de transferencia es: Algunos sistemas tipicos: 1. Sistema en cascada

2. Sistema inverso Arreglar tamaño en texto y fórmulas La convolución en este caso resulta:

3. Sistema realimentado 8.7 ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS Un sistema discreto es estable cuando produce una salida acotada al aplicársele una entrada acotada Los sistemas discretos estables se caracterizan porque todos sus polos se ubican en el plano complejo z , dentro de un círculo centrado en el origen de radio unitario

8.7.1 POLOS DE H(z) Y RESPUESTA TRANSITORIA La localización de los polos de H(z) en el plano z permite caracterizar efectivamente las propiedades de la respuesta para un sistema discreto lineal. A.- Polo real en . La respuesta característica es de la forma Donde A y Φ son constantes obtenidas de la expansión en fracciones parciales y: Cambiar dibujo

Casos: 1- . Sistema inestable.La respuesta a impulso es una oscilación creciente en magnitud. 2- . Sistema inestable.La respuesta es una oscilación parecida a un senoide con magnitud constante. 3-. Sistema estable. El resultado es una oscilación parecida a una senoide decreciente en magnitud. Cambiar dibujo

8.7.2. POLOS DOMINANTES Son los que tienen una influencia de mayor importancia sobre la respuesta transitoria.Son los polos que están más cerca del circulo unitario. Ej p1 y p2. 8.8 RESPUESTA SENOIDAL PERMANENTE DE SISTEMAS LINEALES (FILTROS DIGITALES) Se asume que la entrada a un sistema es una señal senoidal pura.

Arreglar tamaño en texto y fórmulas Si consideramos que todos los polos son distintos Se tiene 2.- 1.-

Por ser complejas y De ahi: Antitransformando: Finalmente

Suprime la frecuencia Amplifica la frecuencia Factor de angulo fase 8.8.1 PERIODICIDAD DE Una característica particular en los sistemas discretos, es que los factores de ganancia y ángulo son periódicos en relación con la frecuencia.

8.8.2 INTRODUCCIÓN A FILTROS DISCRETOS. La característica de ganancia de un filtro paso bajas ideal se muestra abajo: 2.- Filtro pasa altas:

3.- Filtro pasa banda: Arreglar tamaño en texto y fórmulas Filtro paso bajas :el sistema caracterizado por la ecuación en diferencias y función de transferencia para que la magnitud sea unitaria: Así pues, la función de transferencia resulta:

El ancho de banda de un filtro pasa bajas se define como el rango de valores de frecuencia dentro del cual se cumple : Arreglar tamaño en texto y fórmulas