MÉTODOS NUMÉRICOS 2.3 Búsqueda de varias raíces Gustavo Rocha 2005-2

BÚSQUEDA DE VARIAS RAÍCES Las ecuaciones tienen una o varias raíces y es menester localizar cada una de ellas. La posible existencia de raíces múltiples complica el problema.

ECUACIONES CON VARIAS RAÍCES Las ecuaciones tienen una o varias raíces y es menester localizar cada una de ellas. La posible existencia de raíces múltiples complica el problema. En la vecindad de la raíz, tanto la función como su derivada se acercan a cero. Las ecuaciones con un número par de raíces múltiples son tangentes al eje x y no lo cruzan. Las ecuaciones con un número impar de raíces múltiples cruzan al eje x en un punto de inflexión. En caso de raíces múltiples, al no haber cambio de signo, los métodos cerrados no son confiables.

MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL La búsqueda consiste en empezar en un extremo del intervalo de interés y evaluar la función con pequeños incrementos a lo largo del intervalo. Si la longitud del incremento no es lo suficientemente pequeña, algunas raíces pueden pasar inadvertidas. f(x) 3 raíces 2 raíces 2 raíces x x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x x x x x x x x x

MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL El método de búsqueda incremental se utiliza para identificar todas las raíces de una ecuación, considerando: La manera como se presenta físicamente el fenómeno. El número de raíces reales y/o complejas que se espera tenga la ecuación, especialmente cuando se trata de polinomios. Es conveniente utilizar tamaños de incremento acordes con el fenómeno analizado y el número esperado de raíces. Ante la sospecha de que la ecuación algebraica o trascendente tenga más raíces de las encontradas con cierto tamaño de incremento, se recomienda: Obtener las tangentes en los extremos de cada incremento para identificar cambios de signo y, en su caso, analizar el subintervalo de incremento más minuciosamente. Reducir a la mitad el tamaño de los incrementos. Se ha de tener especial cuidado al hacer el bosquejo de una gráfica, cuando no se dispone de dispositivos que grafiquen de manera confiable, porque el trazado a base de incrementos, puede ser sumamente engañoso.

MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL Trazado con incrementos de 0.50, parece que hay solo 2 raíces

MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL x f(x) f'(x) raíces revisar 3.00 -1.899161886 0.306159043   3.50 -0.903719597 -6.397834771 1 4.00 1.588967119 -5.059661863 4.50 1.445824188 2.841866609 5.00 -1.022062767 7.698796764 Trazado con incrementos de 0.50, parece que hay solo 2 raíces Necesario revisar en 2 subintervalo de incremento más

MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL Trazado con incrementos de 0.20, parece que hay solo 2 raíces

MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL x f(x) f'(x) raíces revisar 3.00 -1.899161886 0.306159043   3.20 -0.433261175 8.865213949 3.40 -0.185182966 -6.386078685 1 3.60 -1.18610876 1.663171794 3.80 0.689859445 12.30872202 4.00 1.588967119 -5.059661863 4.20 0.082913038 -4.100722292 4.40 0.823585883 8.222212542 4.60 1.232603226 -7.152866457 4.80 -1.028072018 -9.298416724 5.00 -1.022062767 7.698796764 Trazado con incrementos de 0.20, parece que hay solo 2 raíces Necesario revisar en 6 subintervalos de incremento más

MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL Trazado con incrementos de 0.10, parece que hay solo 4 raíces

MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL x f(x) f'(x) raíces revisar 3.00 -1.899161886 0.306159043   4.00 1.588967119 -5.059661863 3.10 -1.396262971 8.774060308 4.10 0.806109949 -9.083697401 3.20 -0.433261175 8.865213949 4.20 0.082913038 -4.100722292 3.30 0.110720707 1.239840209 1 4.30 0.113085296 4.568709698 3.40 -0.185182966 -6.386078685 4.40 0.823585883 8.222212542 3.50 -0.903719597 -6.397834771 4.50 1.445824188 2.841866609 3.60 -1.18610876 1.663171794 4.60 1.232603226 -7.152866457 3.70 -0.539302106 10.63779828 4.70 0.160731508 -12.92128286 3.80 0.689859445 12.30872202 4.80 -1.028072018 -9.298416724 3.90 1.611391725 4.952380075 4.90 -1.487337039 0.468684944 5.00 -1.022062767 7.698796764 Trazado con incrementos de 0.10, parece que hay solo 4 raíces Necesario revisar en 6 subintervalos de incremento más

MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00 4.10 4.20 4.30 4.40 4.50 4.60 4.70 4.80 4.90 5.00 Trazado con incrementos de 0.05, se ve que hay 6 raíces

MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL detalle

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO f(x) x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO f(x) x1 x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz. Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO f’(x1) f ’(x) f ”(x) f(x) x1 x f(x1) f”(x1)

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz. Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto. Establecer la función (x) = f(x)/f’(x) y obtener el valor de la misma en el punto inicial.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO (x) x1 x (x1)

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz. Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto. Establecer la función (x) = f(x)/f’(x) y obtener el valor de la misma en el punto inicial. Trazar una recta tangente a la función (x) por ese punto.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO (x) x1 x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO Para deducir la fórmula de recurrencia:

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz. Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto. Establecer la función (x) = f(x)/f’(x) y obtener el valor de la misma en el punto inicial. Trazar una recta tangente a la función (x) por ese punto. El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO (x) (x2) x1 x2 x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz. Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto. Establecer la función (x) = f(x)/f’(x) y obtener el valor de la misma en el punto inicial. Trazar una recta tangente a la función (x) por ese punto. El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz. El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección xn coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO f(x) x1 x2 x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON f(X) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3 triple raíz

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3 iteración Xi f(Xi) f'(Xi) f"(Xi) m(Xi) m'(Xi) e(%) e*(%) 1 3 -10 24 -0.3 0.28 100.00   2 1.07142857 -0.00070283 -0.02915452 -0.79591837 0.02410714 0.341875 7.14 1.00091408 -1.5268E-09 -5.0102E-06 -0.01095889 0.00030474 0.33343478 0.09 7.05 4 1.00000014 -1.1191E-13 -1.6623E-06 0.00 5 x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1 Recurrencia Función

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON TRADICIONAL f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3 iteración Xi f(Xi) f'(Xi) e(%) e*(%) 1 3 -10 100.00   2 0.3 0.9261 -4.312 70.00 0.51477273 0.28392375 -1.86965136 48.52 41.72 4 0.66663192 0.08644807 -0.81500014 33.34 22.78 5 0.77270315 0.02615522 -0.35695527 22.73 13.73 6 0.84597625 0.0078707 -0.15695571 15.40 8.66 7 0.89612227 0.00235824 -0.06922711 10.39 5.60 8 0.93018753 0.00070426 -0.03060369 6.98 3.66 9 0.95319963 0.00020981 -0.01355167 4.68 2.41 10 0.96868175 6.2398E-05 -0.00600787 3.13 1.60 11 0.97906779 1.8535E-05 -0.00266563 2.09 1.06 12 0.98602119 5.5013E-06 -0.00118337 1.40 0.71 13 0.99067004 1.6319E-06 -0.00052554 0.93 0.47 14 0.99377522 4.839E-07 -0.00023345 0.62 0.31 15 0.995848 1.4345E-07 -0.00010372 0.42 0.21 16 0.99723105 4.2519E-08 -4.6088E-05 0.28 0.14 17 0.99815361 1.2601E-08 -2.048E-05 0.18 0.09 18 0.99876888 3.7342E-09 -9.1014E-06 0.12 0.06 19 0.99917917 1.1065E-09 -4.0448E-06 0.08 0.04 20 0.99945274 3.2789E-10 -1.7976E-06 0.05 0.03 21 0.99963515 9.7155E-11 -7.9891E-07 0.02 22 0.99975675 2.8788E-11 -3.5507E-07 0.01 x1 = 1 x2 = 1 x3 = 1

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON TRADICIONAL f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3 iteración Xi f(Xi) f'(Xi) e(%) e*(%) 1 3.4 5.5296 20.736 240.00   2 3.13333333 1.29453827 11.5294815 213.33 8.51 3 3.02105263 0.17379579 8.51327832 202.11 3.72 4 3.00063796 0.00510855 8.01531833 200.06 0.68 5 3.00000061 4.8777E-06 8.00001463 200.00 0.02 6 4.4444E-12 8 0.00 X4 = 3 Recurrencia Función

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3 iteración Xi f(Xi) f'(Xi) f"(Xi) m(Xi) m'(Xi) e(%) e*(%) 1 3.4 5.5296 20.736 40.32 0.26666667 0.48148148 240.00   2 2.84615385 -0.96803333 4.71916249 18.7455621 -0.20512821 1.81481481 184.62 19.46 3 2.95918367 -0.30694416 7.05012367 22.5506039 -0.04353741 1.13925926 195.92 3.82 4 2.99739922 -0.02072518 7.93770296 23.9064531 -0.00261098 1.00786364 199.74 1.27 5 2.99998983 -8.1379E-05 7.99975586 23.9996338 -1.0173E-05 1.00003052 200.00 0.09 6 -1.2418E-09 8 24 -1.5522E-10 0.00 x4 = 3 Recurrencia Función

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON El método de Newton Raphson tradicional, en la búsqueda de raíces múltiples, converge linealmente, en vez de hacerlo cuadráticamente, como sucede en la búsqueda de una raíz simple. El método de Newton Raphson modificado, en la búsqueda de raíces múltiples, converge cudráticamente, al igual que en la búsqueda de una raíz simple. La lentitud en la convergencia del método de Newton Raphson tradicional es un claro indicativo de la presencia de raíces múltiples. A mayor número de raíces múltiples, menor es la velocidad de convergencia del método tradicional.