MÉTODOS NUMÉRICOS 1.2 Aproximación Numérica Gustavo Rocha 2005-2

1.2 Aproximaciones Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y, ocasionalmente, son la única opción posible de solución. Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es resuelto usando solamente operaciones aritméticas, … tediosos cálculos aritméticos. Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del verdadero valor que asume la variable de interés; la repetición consistente de la técnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez más al valor buscado.

1.2 Aproximaciones

1.2.1 Aproximación numérica Se entiende por aproximación numérica X* una cifra que representa a un número cuyo valor exacto es X. En la medida en que la cifra X* se acerca más al valor exacto X, será una mejor aproximación de ese número Ejemplos: 3.1416 es una aproximación numérica de , 2.7183 es una aproximación numérica de e, 1.4142 es una aproximación numérica de 2, y 0.333333 es una aproximación numérica de 1/3.

1.2.2 Cifras significativas Las mediciones se realizan normalmente a través de instrumentos; por ejemplo, un velocímetro para medir la velocidad de un automóvil, o un odómetro para medir el kilometraje recorrido. El número de cifras significativas es el número de dígitos t, que se pueden usar, con confianza, al medir una variable; por ejemplo, 3 cifras significativas en el velocímetro y 7 cifras significativas en el odómetro. Los ceros incluidos en un número no siempre son cifras significativas; por ejemplo, los números 0.00001845, 0.001845, 1845 y 184500 aparentemente tienen 4 cifras significativas, pero habría que conocer el contexto en el que se está trabajando en cada caso, para identificar cuántos y cuáles ceros deben ser considerados como cifras significativas. El manejo de cifras significativas permite desarrollar criterios para detectar qué tan precisos son los resultados obtenidos, así como evaluar los niveles de exactitud y precisión con que son expresados algunos números tales como , e ó 2. Alternativamente al número de cifras significativas, está el número n de dígitos en la mantisa, que indica el número de cifras a considerar, después del punto decimal. En operaciones manuales, el número de dígitos en la mantisa sigue teniendo vigencia, aunque ha sido desplazado poco a poco por el número de cifras significativas que, por diseño, manejan calculadoras y computadoras.

1.2.3 Exactitud y precisión. La precisión se refiere al número de cifras significativas que representa una cantidad. La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor numérico que se supone representa. Ejemplo:  es un número irracional, constituido por un número infinito de dígitos; 3.141592653589793... es una aproximación tan buena de , que tal podría considerarse que es su valor exacto. Al considerar las siguientes aproximaciones de :  = 3.15 es impreciso e inexacto.  = 3.14 es exacto pero impreciso.  = 3.151692 es preciso pero inexacto.  = 3.141593 es exacto y preciso. Los métodos numéricos deben ofrecer soluciones suficientemente exactas y precisas. El término error se usa tanto para representar la inexactitud como para medir la imprecisión en las predicciones.

1.2.4 Convergencia y estabilidad Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al realizar un “buen número” de iteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado. En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número de iteraciones que otro, para acercarse al valor deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia. Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, por el contrario, divergen; esto es, se alejan cada vez más del resultado deseado. En la medida en la que un método numérico, ante una muy amplia gama de posibilidades de modelado matemático, es más seguro que converja que otro, se dice que tiene una mayor estabilidad. Es común encontrar métodos que convergen rápidamente, pero que son muy inestables y, en contraparte, modelos muy estables, pero de lenta convergencia.

1.2.5 Selección de alternativas El uso de los métodos numéricos en ingeniería no es trivial, pues se requiere elegir entre: Varios métodos numéricos alternativos para cada tipo de problema Varias herramientas tecnológicas Existen diferentes maneras de abordar los problemas entre una persona y otra, que depende de: El nivel de participación en el modelado matemático del problema Ingenio y creatividad para enfrentarlo y resolverlo La habilidad para elegir, conforme a criterio y experiencia

1.2.5 Selección de alternativas Tipo de problema a resolver: Raíces de ecuaciones Sistemas de ecuaciones lineales simultáneas Interpolación, diferenciación e integración Ecuaciones diferenciales ordinarias Ecuaciones diferenciales parciales Otros (no contemplados en este curso; vistos en otras asignaturas) Equipo: Supercomputadora Computadora personal Calculadora graficadora Calculadora científica de bolsillo Regla de calculo Las herramientas de cómputo son máquinas “tontas” que sólo hacen lo que se le ordena; sin embargo, los tediosos cálculos numéricos los hacen muy rápido y muy bien, sin fastidiarse.

Tipo de problema

Modelo matemático

Método numérico

Equipo Computadora Calculadora

1.2.5 Selección de alternativas Es altamente recomendable que el ingeniero sepa programar en por lo menos un lenguaje, sepa utilizar algún software matemático, y manejar muy eficientemente una hoja de cálculo y una calculadora graficadora “Software” Desarrollo de programas: lenguaje “C” “Basic” “Fortran” Otro. Utilización de software matemático: “Maple”, “MatLab”, “MathCad”, “Mathematica”. El manejo de hojas de cálculo en PC: Excel Lotus Manejo expedito de una calculadora graficadora

Software Desarrollo de programas Software matemático Hoja de cálculo Calculadora graficadora

1.2.5 Selección de alternativas Método numérico: no existe el mejor, pero si los favoritos Amplitud de aplicación Amigabilidad Estabilidad Rapidez de convergencia Número de valores iniciales requeridos Se ha de tomar en cuenta, además Complejidad del modelo Turbulencia de los datos Ingenio y creatividad