Probabilidad, Funciones de onda y la interpretacion de Copenague Si las partículas son ondas … ¿ qué es lo que ondula ? Probabilidad La funcion de onda permite establecer la probabilidad de encontrar una partícula en un dado momento y un dado lugar del espacio. La probabilidad de encontrar la particula en “alguna parte” tiene que ser 1. La función de onda debe ser normalizada.

La ecuación de Schrödinger La ecuacion de onda de Schrödinger para una particula de masa m en un entorno de energía potencial V en una dimension es: i es la unidad imaginaria. La ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo es la ecuación fundamental de la Mecánica Cuántica. Donde V = V(x,t)

La ecuación de autovalores de Schrödinger El potencial a veces no depende del tiempo, y la dependencia de y en el tiempo y el espacio se puede separar. Entonces queda: ahora dividimos por la función y(x) f(t): El lado izquierdo depende solo de t, y el derecho solo de x. Por lo tanto, cada lado tiene que ser constante !!

La ecuación de autovalores de Schrödinger Integramos en ambos lados: donde C es la constante de integracion (ponemos cero). Por lo tanto: Si recordamos la solución de la partícula libre: en que f(t) = e -iw t, asi que: w = B / ħ, lo que significa que B = E ! Entonces, multiplicando por y(x), la ecuación de Schrödinger solo dependiente del espacio (no del tiempo) queda:

La ecuación de autovalores de Schrödinger Esta ecuacion se llama de “autovalores” o la “ecuacion de Schrödinger independiente del tiempo” Es tan fundamental como la otra, pero ha generado errores en muchos cursos de cuántica: Esta ecuación solo aplica en casos estacionarios. Para simplificar, se escribe asi: donde: Es el operador Hamiltoniano.

H Es el operador Hamiltoniano. ¿ que es un “operador” ? Un operador “opera” sobre una funcion y da como resultado otra funcion. Los operadores útiles son cosas que uno puede medir, “observables”. Ejemplo: Este operador, deriva una funcion respecto de t, divide por la misma funcion y multiplica por ih Este es el operador hamiltoniano.

Valor medio Si medimos una magnitud repetidas veces, o medimos un conjunto grande de partículas, obtenemos el promedio de esa magnitud. Llamado “valor medio o “expectation value” en ingles. El valor medio de la posición x es: Eso era para x discreto, si x es continua, hay que integrar: Y esto da: Para cualquier funcion de x, por ejemplo g(x):

La partícula en la caja La particula en la caja consiste en un electron o algo así que está encerrado en una caja de paredes indestructibles y durísimas. La energía potencial dentro de la caja es cero, y en la pared sube a infinito punto rojo: La función y debe caer a cero donde el potencial es . Dentro de la caja V=0 y la funcion de Schrödinger vale: La solución general es: pero ... L x donde

hay ciertas restricciones Las condiciones de borde del potencial V hacen que y tiene que ser cero a x = 0 y a x = L. Esto hace que solo valgan las soluciones con n entero, como kL = np. La funcion de onda es: La normalizamos: y la y normalizada es: L x

La Energía esta cuantizada Los valores de k válidos en estado estacionario son: Si se calcula la Energía da: La energía depende del valor de n y no puede ser cero. El caso especial de n = 1 recibe el nombre de “estado basal”.

De la partícula cuántica a la partícula clásica que se mueve de un lado al otro Se debe usar la ecuacion de Schrödinger completa, la que depende del tiempo (ya que queremos que la partícula se mueva de un lado a otro). La resolución da una superposi ción de ondas, que se vuelve las grande donde hay mayor probabilidad de encontrar la partícula a un determinado t.

El principio de incertidumbre de Heisemberg Dx es la indeterminación en la posición x Dp es la indeterminación en el momento p=mv No se puede conocer la posición y el momento de una partícula simultáneamente y con la máxima precisión en ambas magnitudes.

De nuevo la paradoja EPR

Caja con paredes fragiles. El pozo de potencial finito es: La ecuacion de Schrödinger fuera del pozo, en las regiones I y III es: haciendo: Da: Considerando que la funcion debe ser cero en el infinito, las soluciones son:

Pozo de potencial finito (caja fragil) Adentro del pozo, donde el potencial V=0, la funcion vale: donde La solución aca es: Las condiciones de borde requieren que asi la funcion es suave donde las regiones se encuentran. Fijarse que la funcion no es cero fuera de la caja !!!

Profundidad de penetración Es la distancia fuera del pozo de potencial a la cual la probabilidad de encontrar la partícula y2 se hace muy pequeña. Esto viola lo conocido por la mecánica clásica ! No hay forma de encerrar completamente ninguna cosa.

Efecto tunel Supongamos una partícula que no tiene energía suficiente para penetrar una barrera de potencial como la de la figura, E < V0. La mecánica clásica dice que no pasa. La cuántica dice que puede pasar con probabilidad no nula !! La función de onda en la región II vale: La probabilidad de que la partícula pase del otro lado de la barrera es: donde

Tuneleo e incertidumbre Se puede considerar que el tuneleo es una manifestación mas del principio de incertidumbre. DE. Dt > ħ La partícula puede violar la conservación de energía en una cantidad DE por un tiempito del orden de Dt ~ ħ / DE.

Oscilador armónico Para un potencial cuadrático: Lo ponemos en la ecuacion de autovalores de Schrödinger

Oscilador armónico Las soluciones son de la forma donde Hn(x) son los Polinomios de Hermite de orden n.

Mas extrañezas En un movimiento armónico clasico (pendulo), la probabilidad de encontrar la partícula en los bordes es mayor que en el centro (pasa mas tiempo cerca del borde, donde se mueve despacito). Es todo lo contrario en la resolución cuántica, a bajas energías.

La extraña probabilidad se va !! A medida que aumenta el número cuántico, la cosa se va pareciendo al límite clásico.

Colapso de la funcion de onda. Superposicion de estados y decoherencia cuántica. Entangling Gatos Muertos vs. Gatos vivos Trucos con la doble rendija de siempre.