1.8 Energía potencial eléctrica y definición de potencial eléctrico. Trayectoria de una carga en una curva VB VA VA

Si queremos desplazar la carga q en contra de la fuerza ejercida por el campo eléctrico, desde A hasta B, el trabajo realizado por el agente externo es:

La integral de línea entre dos puntos A y B es independiente de la trayectoria, de acuerdo al teorema de Stokes Rotacional del campo E Para cualquier función escalar de variable vectorial V‘ se cumple que :

Tomando en cuenta que el campo y el la función escalar, pueden quedar expresados como: Igualando las integrales, la cual varía solamente respecto de los puntos A y B

Para demostrar que la integral de línea solo depende de las posiciones de los extremos. Tomemos la siguiente figura, sea una trayectoria A B B dℓ1 Δℓ1 3 Δℓ3 1 A 2 Δℓ2

Demostración de que la variación de una función en la dirección dl desde A hasta B es independiente de la trayectoria. (Sea la trayectoria de A hasta B) Si Δℓi son muy pequeños Δν‘ tiende a ser un diferencial

igualando Donde Es el gradiente de V‘ en el punto 1 de la curva. De manera similar del punto 1 al 2

Para los puntos 2 a 3 Donde Es el gradiente de V‘ en el punto 3 de la curva. Y de igual forma para todos los puntos de la curva.

Al sumar todas las contribuciones de los n elementos de Δℓi , se eliminan todos los componentes quedan solamente: Cuando

Por lo anterior, se concluye que la integral de línea solamente depende de las posiciones inicial y final de una trayectoria. Para cuando una carga se mueve del punto A hacia el punto B, el trabajo que realiza es igual a la variación de la energía potencial eléctrica U Por lo tanto se puede obtener una diferencia de energías potenciales.

ENERGÍA POTENCIAL. Para cuando una carga se mueve del punto A hacia el punto B, el trabajo que realiza es igual a la variación de la energía potencial eléctrica U Por lo tanto se puede obtener una diferencia de energías potenciales. Lo anterior aplicado al campo eléctrico E

La energía potencial eléctrica en el punto A, tomando una referencia de cero en el infinito es: Lo anterior representa el trabajo de traer la carga q desde infinito hasta A La Energía potencial por unidad de carga se le conoce como el potencial eléctrico en el punto A y es VA, siendo este potencial un escalar

Las unidades son Si el punto A esta a un potencial VA y el punto B a un potencial VB, existe una diferencia de potencial entre A y B y se expresa como:

Se cumple que Si expresamos lo anterior como las trayectorias de A hasta B y recordando el potencial en A

Como es conservativo el campo, las trayectorias de -∞ a A sigue la trayectoria iniciar en el extremo de B , por lo que Por lo tanto la diferencia de potencial de A a B es:

La expresión anterior, permite obtener el potencial eléctrico a partir de la distribución de carga del campo de origen. Es decir, es posible calcular el potencial o diferencia de potencial debido al campo eléctrico creado por una carga, una línea, una superficie, entre otras distribuciones.

Y el trabajo para mover una carga de un punto A hacia un punto B es:

Potencial debido a una carga puntual El campo E de una carga puntual: El potencial en A es VA

E ra Carga puntual Q , y trayectoria dl en dirección hacia la carga. Vector dl: dî Vector r: dř A ř E ra +

El producto punto de dr y dl, donde dl esta en dirección a la carga. Además de dl= -dr

Resolviendo la integral definida El potencial en A es VA debido a una carga puntual es:

Resolviendo la integral definida El potencial en A es VA debido a una carga puntual es:

Potencial para una carga puntual.

Para el potencial en coordenas cartesianas. Para n cargas puntuales, se obtiene el potencial debido a cada carga y se suman por superposición.

Para el potencial en coordenas cartesianas. Para el caso de distribuciones de carga Para el caso de distribuciones de carga superficial.

Considere la carga Q en el siguiente esquema Considere la carga Q en el siguiente esquema. Obtener la diferencia de potencial de i a f que realiza un agente externo para mover una carga Q de i a f.

El campo por una carga puntual es :

La diferencia de potencial de f a i

Diferencia de potencial entre dos puntos producidos por una línea con λ

Diferencia de potencial entre dos puntos f, i producida por una superficie infinita cargada uniformemente

El campo en una superficie con distribución δ

Diferencia de potencial por dos superficies infinitas paralelas de signo contrario y de igual magnitud.

Próxima sesión: Ejemplos de potencial y: 1.9 Cálculo de diferencias de potencial (carga puntual, segmento de línea, superficie infinita, placas planas y paralelas). 1.10 El gradiente de potencial eléctrico.