ORDEN Y CAOS

REFERENCIAS “The Chaos Hypertextbook”, Glenn Elert http://hypertextbook.com/chaos/ “Writing the History of Dynamical Systems and Chaos…”, D. Aubin y A. Dalmedico Historia Mathematica 29 (2002), 273-339

¿QUE ES EL CAOS? 1. Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos. - Modelo de Lorenz. (dimensión 3) - Modelo de Hénon (dimensión 2). Fractales. - La ecuación logística de May (dimensión 1) 2. Recapitulando. ¿Que es el caos? - Propiedades de un sistema caótico. - Regularidades en un sistema caótico. 3. Un poco de historia. - Las matemáticas de Poincaré y Smale. - Interdisciplinaridad: Lorenz, Ruelle, May, Yorke... 4. Teoría del Caos, ¿revolución científica?.

(Ecuaciones diferenciales) Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz. Problema real (física, biología, meteorología...) Modelo Matemático (Ecuaciones diferenciales) Solución Matemática ¿Explica la realidad?

Frío Calor Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz. Atmósfera Lámina rectangular Calor

Ecuaciones diferenciales Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz. Frío Atmósfera Lámina rectangular Calor x´(t)= 10(y-x) y´(t)=28x-y-xz z´(t)=xy-8x/3 Modelo matemático Ecuaciones diferenciales (no lineales).

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz Condición Inicial (x0, y0, z0) Regla (x1, y1, z1) Regla (x2, y2, z2) ... ITERACION

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz Condición Inicial segundo temperatura 1 -14.052872 2 2.757209 3 -7.552990 4 6.621076 5 -8.084304 6 -9.952578 7 -5.981163 8 -13.023813 9 0.041168 10 9.314363 11 4.558919 12 7.375924 13 -14.856846 14 -0.246566 segundo temperatura 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 -9.952000 7 -6.120309 8 -12.646284 9 -0.724073 10 11.848833 11 -1.204758 12 6.826824 13 13.773982 14 1.474239 (x0, y0, z0) Regla (x1, y1, z1) Regla (x2, y2, z2) ... ITERACION

Segundo Ejemplo. El Atractor de Hénon. Condición Inicial Problema real (biología, mecánica celeste...) (x0, y0) Regla Modelo Matemático (Iteración) (x1, y1) Regla Solución Matemática (x2, y2) ... ¿Explica la realidad? ITERACION

Segundo Ejemplo. El Atractor de Hénon. (x0, y0) Regla (x1, y1) Regla (x2, y2) ... (x,y) (1/3y, 1+x-7y/5)

a + b z exp i[k - p/(1 + |z|2)] Otros ejemplos. Atractor de Ikeda (Optica) z=(x,y) a + b z exp i[k - p/(1 + |z|2)] a,b,k,p parámetros

Otros ejemplos. Fractales Conjunto de Juliá z z2+c c=-0,2-0,7i

Otros ejemplos. Fractales Conjunto de Juliá z (z3+c)/(dz) c=0,001 d=0,95-0,31225i

Otros ejemplos. Fractales Conjunto de Juliá z (z5+c)/z3 c=0,001

Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS Método creado por M.F. Barnsley en 1985 basado en la iteración de varias funciones de la forma

Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS Brocoli IFS F

Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS Helecho de Barnsley

Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May. Condición Inicial Problema real (física, química,biología...) x0 Regla Modelo Matemático (Iteración) x1 Regla Solución Matemática x2 ... ¿Explica la realidad? ITERACION

Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May. An = número de animales en el año n An+1= c An c=tasa de crecimiento M= población máxima admitida An+1= c An (M-An) se normaliza y... xn+1= c xn (1-xn) Ecuación logística x c x (1-x) ITERACION

Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Bifurcaciones.

Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades Mitchell J. Feigenbaum 1944-

Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades cn = valor crítico en que se produce la bifurcación n Mitchell J. Feigenbaum 1944-

Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades cn = valor crítico en que se produce la bifurcación n cn-cn-1 4,669201... cn+1-cn ¡La constante es la misma para muchos más tipos de iteraciones! Mitchell J. Feigenbaum 1944-

Recapitulando... Propiedades de un sistema caótico - Modelo matemático: ecuaciones diferenciales (no lineales) o iteración - La solución es muy sensible a las condiciones iniciales (efecto mariposa). No hay predicción. - El atractor es un fractal. - Reglas dinámicas simples pueden dar lugar a resultados complejos.

Recapitulando... Regularidades (orden) de un sistema caótico - La solución al modelo acaba convergiendo al atractor. - Autosemejanza en atractores. Dimensión. - Constante de Feigenbaum,exponente de Lyapunov... - Teoría de los sistemas dinámicos (geometría, topología…)

- Noción de bifurcación. Un poco de historia - Estudió el problema de los tres cuerpos. - Noción de bifurcación. - Métodos de geometría y topología. - Creador de la Teoría de los Sistemas Dinámicos. Henri Poincaré 1854-1912

Un poco de historia “Puede ocurrir que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales produzcan grandes diferencias al final… la predicción resulta imposible”. Henri Poincaré 1854-1912

Pero los resultados, ¡se quedan dentro de las matemáticas! Un poco de historia - En los años 60, “introduce los métodos, herramientas, objetivos y visión global de la Teoría de los Sistemas Dinámicos”. - Demuestra (teóricamente) la existencia de sistemas estables con dinámica muy compleja. Pero los resultados, ¡se quedan dentro de las matemáticas! Stephen Smale 1940- Medalla Fields, 1966

Un poco de historia - 1963. Modelo atmosférico y atractor. - 1967. Can the flap of a butterfly’s wings in Brazil stir up a tornado inTexas? - Uso de ordenadores para resolver ecuaciones y “ver” soluciones. - Modelos de fenómenos impredecibles. Atractor de E. Lorenz (metereólogo) - Modelos simples de fenómenos complejos.

Un poco de historia Los años 70: Creciente uso de los ordenadores. - 1971. Artículo de Ruelle “On the nature of turbulence”. - Introduce concepto de “atractor extraño”. - Presenta las ecuaciones de Navier-Stokes en forma 1-dimensional: v´(t)=fr(v), r>0 - Primer acercamiento entre disciplinas: matemáticas e hidrodinámica

Un poco de historia - 1973. Robert May, biólogo. La ecuación logística. - 1975. Li y Yorke, “Period three implies chaos”. Primer uso de la palabra “caos”. - 1975. B. Mandelbrot. Manifiesto teórico sobre los fractales. - 1977. El símbolo: El congreso “Bifurcation theory and Applications in Scientific Disciplines” - 1978. La constante de M. Feigenbaum.

Teoría del Caos, ¿revolución científica? 1 - Novedad y profundidad de los conceptos 2 - Sustitución de modelos 3 - El papel de los ordenadores 4 - ¿Existe la “ciencia del caos”?