Fractales parte 2.

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1 Fractales parte 2

2 Iteración de funciones
Para iterar una función f(x), se aplica inicialmente un valor x = a0. Obtenemos a1 = f (a0), a2 = f (f(a0)), etc. Podríamos considerar una secuencia infinita de iteraciones. a0, a1 = f (a0), a2 = f (a1), a3 = f (a2), ...

3 Iteración de funciones
Ejercicio 1 Sea f(x) = x2 – 0.75 Encuentre las primeras 30 iteraciones (usar Excel). Para a0  = 1. Para a0  = 2. ¿Las iteraciones anteriores parecen converger a un número o región en particular?

4 Iteración de funciones
Ejercicio 2 Considera la siguiente función, donde c es un número complejo cualquiera: Encuentre las primeras 30 iteraciones (usar Excel). Para c = -1, c = i, c = 0, c = i. ¿Cuáles de las iteraciones anteriores parecen converger a un número o región en particular?

5 Iteración de funciones
Ejercicio 3 Suponiendo el siguiente programa para la función M5: 1. function M5(complex z) { complex c = z; for(int i=0; i < 30; i++){ if (5 ≤ modulo(z) ) then return(i); z = z*z + c; } return(i); 8. } Determine: a) M5(-1+i) b) M5(-1-i) c) M5( i) d) M5(5+3i) e) M5(0.1)

6 Iteración de funciones
Ejercicio 4 Suponiendo el siguiente programa para la función J5: 1. function J5(complex z, complex c) { 2. for(int i=0; i < 30; i++){ if (5 ≤ modulo(z) ) then return(i); z = z*z + c; } 6. return(i); 7. } Determine: a) J5(-1-i, i) b) J5(-1+i , i) c) J5( i, i) d) J5(5+3i, i) e) J5(0.1, 0.1)

7 Fractales IFS (Iterated Function System)
Son fractales que se obtienen coloreando puntos en el plano complejo, de acuerdo al comportamiento de cada número complejo en funciones iteradas.

8 Conjunto de Mandelbrot
Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por inducción: Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo. Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5, 26… que diverge. Como no está acotada, 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot. En cambio, si c = -1 obtenemos la sucesión 0, -1, 0, -1,… que sí es acotada, y por tanto, -1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot.

9 Conjunto de Mandelbrot

10 Conjunto de Mandelbrot

11 Conjunto de Mandelbrot: Autosimilitud
Ver:

12 Conjunto de Mandelbrot
Ejercicio 5 ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen al conjunto de Mandelbrot? c = 0.5 i c = i c = 0.5 – i Puedes verificarlo usando las ligas:

13 Conjunto de Mandelbrot Diferentes colores
Defina un color para el conjunto (puede ser negro o el tono más oscuro) además de una escala de colores (1 a n). A cada punto c del plano complejo aplique la siguiente estrategia de coloreo: Si c es un punto que no escapa al infinito al iterar la función, entonces c pertenece al conjunto de Mandelbrot (coloree el punto del color elegido para el conjunto). De lo contrario, observar cuál es la primera iteración en que Coloree el punto c con el color asociado a esa iteración.

14 Conjunto de Mandelbrot Diferentes colores
Hay distintas maneras de colorear el conjunto de Mandelbrot. Por ejemplo: Si en las iteraciones 1 – 4, elegir color 1. Si en las iteraciones 5 – 8, elegir color 2. Si en las iteraciones 9 – 12, elegir color 3. Etc.

15 Planos alternos para el Conjunto de Mandelbrot
Plano 1/m Se itera esta función: Mandelbrot Set (in the 1/mu plane) : x in [ , ]; y in [ , ].

16 Planos alternos para el Conjunto de Mandelbrot
Plano 1 / (m )

17 Conjunto de Julia Nombrados así en honor al matemático francés Gaston Julia, quien investigó sus propiedades en 1915 – 1918. Sea c un número complejo cualquiera. Elegir un valor de z0. Iterar la función: Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que z0 pertenece al conjunto de Julia con parámetro c ; y si no, queda excluido del mismo.

18 Conjunto de Julia Ejercicio 6 ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen al conjunto de Julia con parámetro c = – 1 ? (usar Excel) z = 0.5 i z = i z = 0.5 – i Puedes dibujar el fractal:

19 Conjuntos de Julia Si el parámetro c del conjunto de Julia, pertenece al conjunto de Mandelbrot, entonces se produce un conjunto conexo. Si el parámetro c del conjunto de Julia, NO pertenece al conjunto de Mandelbrot, entonces se produce un conjunto disconexo (también llamado polvo Fatou o conjunto de Cantor). Obsérvalo:

20 Conjunto de Julia Tomando al parámetro c = -0.75
Pertenecen al conjunto los valores de z0 que no escapan al iterar la función.

21 Conjunto de Julia Tomando al parámetro c como el centro del círculo de arriba del conjunto de Mandelbrot.

22 Conjunto de Julia Tomando al parámetro c = 0.4

23 Un fractal clásico más: Conjunto de Cantor
El conjunto de Cantor toma su nombre de Georg F. L. P. Cantor que en 1883 lo utilizó como herramienta de investigación. Su verdadero creador fue Henry Smith, un profesor de geometría de Oxford, en Es uno de los fractales más antiguos.

24 Construcción del Conjunto de Cantor n = 0 n = 1 n = 2 n = 3

25 Longitud de cada segmento
Conjunto de Cantor Completar la tabla: Iteración Núm. de segmentos Longitud de cada segmento 1 2 3 n

26 Conjunto de Cantor Considerar la longitud del segmento que se elimina en cada iteración: 1/3, 2/9, 4/27, etc. ¿Cuál es la suma total de la longitud de los segmentos eliminados?

27 Conjunto de Cantor El conjunto de Cantor es el conjunto de los puntos que quedan al final: los 1/3n donde n corresponde a los números naturales. Es un conjunto disconexo de puntos sobre un segmento de recta con muy interesantes propiedades.