La Transformada de Laplace CAPÍTULO 4 ※Read Me First

Contenidos 4.1 Definición de la transformada de Laplace 4.2 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 4.3 Propiedades operacionales 4.4 Propiedades operacionales adicionales 4.5 La función delta de Dirac 4.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

4.1 Definición de la Transformada de Laplace Definición básica Si f(t) está definida para t  0, entonces (1) Si f(t) está definida para t  0, entonces (2) es la Transformada de Laplace de f. EDFINICIÓN 4.1 Transformada de Laplace

Ejemplo 1 Evaluar L{1} Solución: Aquí tenemos en cuenta que los límites de integración son 0 y . De la definición Como e-st  0 cuando t , para s > 0.

Ejemplo 2 Evaluar L{t} Solución

Ejemplo 3 Evaluar L{e-3t} Solución

Ejemplo 4 Evaluar L{sin 2t} Solución

Ejemplo 4 (2) Transformada de Laplace de sin 2t ↓

T.L. is Linear Podemos comprobar fácilmente que (3)

Transformadas de algunas (b) (c) (d) (e) (f) (g) TEOREMA 4.1 Transformadas de algunas Funciones básicas

Se dice que f(t) es de orden exponencial, EDFINICIÓN 4.2 Se dice que f(t) es de orden exponencial, Si existen constantes c, M > 0, y T > 0, tales que |f(t)|  Mect para todo t > T. Fig 4.1, 4.2. Orden Exponencial

Fig 4.1

Fig 4.2

Eejmplos Fig 4.3

Fig 4.4 Una función como no es de orden exponencial, observe Fig 4.4

Condiciones Suficientes TEOREMA 4.2 Si f(t) una función continua por partes en [0, ) y de orden exponencial c, entonces existe L{f(t)} para s > c. Condiciones Suficientes para la Existencia

Ejemplo 5 Hallar L{f(t)} para Solución

4.2 Transformadas inversas y Transformadas de derivadas TEOREMA 4.3 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Algunas transformadas inversas

Ejemplo 1 Hallar las transformadas inversas de (a) (b) Solución (a) (b)

L -1 también es lineal Podemso comprobar fácilmente que (1)

Ejemplo 2 Hallar Solución (2)

Ejemplo 3 Hallar Solución Usando fracciones parciales Luego (3) Si ponemos s = 1, 2, −4, entonces

Ejemplo 3 (2) (4) Así (5)

Transformadas de Derivadas (6) (7) (8)

Si son continuas en [0, ) y son de TEOREMA 4.4 Si son continuas en [0, ) y son de orden exponencial y si f(n)(t) es continua por partes en [0, ), entonces donde Transformada de una derivada

Solución de EDO lineales Luego (9) (10)

Tenemos (11) donde

Ejemplo 4 Resolver Solución (12) (13)

Ejemplo 4 (2) Podemos hallar A = 8, B = −2, C = 6 Así

Ejemplo 5 Resolver Solución (14) Así

4.3 Propiedades operacionales TEOREMA 4.5 Si f continua por partes en [0, ) y de orden exponencial, entonces lims L{f} = 0. Comportamiento de F(s) cuando s →  Demostración

TEOREMA 4.6 Si L{f} = F(s) y a cualquier número real, entonces L{eatf(t)} = F(s – a), Fig 4.10. Primer teorema de traslación Demostración L{eatf(t)} =  e-steatf(t)dt =  e-(s-a)tf(t)dt = F(s – a)

Fig 4.10

Ejemplo 1 Hallar las T.L. de (a) (b) Solución (a) (b)

Forma inversa del Teorema 4.6 (1) donde

Ejemplo 2 Hallar la T.L. inversa de (a) (b) Solución (a) teenmos A = 2, B = 11 (2)

Ejemplo 2 (2) And (3) De (3), tenemos (4)

Ejemplo 2 (3) (b) (5) (6) (7)

Ejemplo 3 Resolver Solución

Ejemplo 3 (2) (8)

Ejemplo 4 Resolver Solución

Ejemplo 4 (2)

La función escalón unitaria U(t – a) se define como EDFINICIÓN 4.3 La función escalón unitaria U(t – a) se define como Función escalón unitario Fig 4.11.

Fig 4.11

Fig 4.12 Fig 4.13 Fig 4.12 muestra la gráfica de (2t – 3)U(t – 1). Considerando la Fig 4.13, es la misma que f(t) = 2 – 3U(t – 2) + U(t – 3)

También una función del tipo. (9) es la misma que También una función del tipo (9) es la misma que (10) De manera similar, una función del tipo (11) puede escribirse como (12)

Ejemplo 5 Expresar en términos de U(t). Fig 4.14. Solución De (9) y (10), con a = 5, g(t) = 20t, h(t) = 0 f(t) = 20t – 20tU(t – 5)

Fig 4.14

Cosidere la función (13) Fig 4.15.

Fig 4.15

TEOREMA 4.7 Si F(s) = L{f}, y a > 0, entonces L{f(t – a)U(t – a)} = e-asF(s) Segundo teorema de traslación Demostración

Sea v = t – a, dv = dt, entonces Si f(t) = 1, entonces f(t – a) = 1, F(s) = 1/s, (14) por ejemplo: La T.L. de la Fig 4.13 es

Forma inversa del Teorema 4.7 (15)

Ejemplo 6 Hallar la T.L. inversa de (a) (b) Solución (a) luego (b) luego

Forma alternativa del Teorema 4.7 Como , entonces Lo anterior se puede resolver. Sin embargo, lo enfocamos de otra manera. Sea u = t – a, Esto es, (16)

Ejemplo 7 Hallar Solución Con g(t) = cos t, a = , entonces g(t + ) = cos(t + )= −cos t Por (16),

Ejemplo 8 Resolver Solución Hallamos f(t) = 3 cos t U(t −), luego (17)

Ejemplo 8 (2) Se sigue desde (15) con a = , entonces Así (18) Fig 4.16

Fig 4.16

Vigas Recuerde que la ED de una viga es (19) Fig 4.17.

Fig 4.17

Ejemplo 9 Una viga de longitud L se empotra en ambos extremos como se ilustra en la Fig 4.17. Determine la deflexión de la viga cuando la carga está dada por: Solución Tenemos las condiciones en la frontera: y(0) = y(L) = 0, y’(0) = y’(L) = 0. Por (10),

Ejemplo 9 (2) Transformando (19) en donde c1 = y”(0), c3 = y(3)(0)

Ejemplo 9 (3) Así

Ejemplo 9 (4) Aplicamos y(L) = y’(L) = 0, entonces Así

4.4 Propiedades Operacionales Adicionales Multiplicando una función por tn esto es, De manera similar,

Si F(s) = L{f(t)} y n = 1, 2, 3, …, entonces TEOREMA 4.8 Si F(s) = L{f(t)} y n = 1, 2, 3, …, entonces Derivadas de una transformada

Ejemplo 1 Hallar L{t sen kt} Solución Con f(t) = sen kt, F(s) = k/(s2 + k2), luego

Enfoques diferentes Teorema 4.6: Teorema 4.8:

Ejemplo 2 Resolver Solución ó Del ejemplo 1, Así

Convolución Un producto especial, f * g se define mediante al integral y se llama convolución de f y g. La convolución es una función de t, por ejemplo: Observación: f * g = g * f

Demostración Teorema de convolución TEOREMA 4.9 Si f(t) y g(t) son continuas por partes en [0, ) y de orden exponencial, entonces Teorema de convolución Demostración

manteniendo fija, let t =  + , dt = d Se realiza al integración en la región sombreada de la Fig 4.32. Cambiando el orden de integración:

Fig 4.32

Ejemplo 3 Hallar Solución Original statement = L{et * sin t}

Forma inversa del Teorema 4.9 L-1{F(s)G(s)} = f * g (4) Mire en la tabla del Apéndice III, (5)

Ejemplo 4 Hallar Solución Sea entonces

Ejemplo 4 (2) Ahora recordamos que sen A sen B = (1/2) [cos (A – B) – cos (A+B)] Si ponemos A = k, B = k(t − ), entonces

Transformada de una Integral Cuando g(t) = 1, G(s) = 1/s, entonces

Eejmplos:

Ecuación Integral de Volterra

Ejemplo 5 Resolver Solución Primero, h(t-) = e(t-), h(t) = et. De (9) Resolviendo para F(s) y empleando fracciones parciales

Circuitos en Serie De la Fig 4.33, tenemos la cual se llama ecuación integrodiferencial. Fig 4.33

Ejemplo 6 Determine i(t) en Fig 4.33, cuando L = 0.1 h, R = 2 , C = 0.1 f, i(0) = 0, y E(t) = 120t – 120tU(t – 1) Solución Usando los datos, (10) se convierte Y entonces

Ejemplo 6 (2)

Ejemplo 6 (3) Escrita como una función definida por partes: (11)

Fig 4.34

Periodic Function f(t + T) = f(t) Si f(t) is una función periódica con período T, entonces TEOREMA 4.10 Transformada de una función periódoca

Demostración Use el mismo método de transformación

Ejemplo 7 Halle la T. L. de la función en Fig 4.35. Solución Hallamos T = 2 y Del Teorema 4.10,

Fig 4.35

Ejemplo 8 La ED (13) Hallar i(t) donde i(0) = 0, E(t) es como ilustar la Fig 4.35. Solución ó (14) Porque y

Luego i(t) se esribe de la siguiente manera y se ilustra en la Fig 4

Fig 4.36

4.5 La función delta de Dirac Impulso Unitario Observe la Fig 4.43(a). Está función se define por (1) donde a > 0, t0 > 0. Para un valor pequeño de a, a(t – t0) es una función constante de gran magnitud. El comportamiento de a(t – t0) cuando a  0, se llama impulso unitario, porque posee la propiedad . Fig 4.43(b).

Fig 4.43

La función delta de Dirac Esta función se define como (t – t0) = lima0 a(t – t0) (2) Las dos propiedades importantes son: (1) (2) , x > t0

Demostración La Transformada de Laplace es TEOREMA 4.11 Para t0 > 0, Transformación de la función delta de Dirac Demostración La Transformada de Laplace es

Cuando a  0, (4) es 0/0. Use la regla de L’Hopital, entonces (4) tiende a 1 cuando a  0. Así , Ahora cuando t0 = 0, tenemos

Ejemplo 1 Resolver sujeta a (a) y(0) = 1, y’(0) = 0 (b) y(0) = 0, y’(0) = 0 Solución (a) s2Y – s + Y = 4e-2s Así y(t) = cos t + 4 sen(t – 2)U(t – 2) Como sen(t – 2) = sen t, enonces (5) Fig 4.44.

Fig 4.44

Ejemplo 1 (2) (b) Así y(t) = 4 sen(t – 2)U(t – 2) y (6)

Fig 4.45

4.6 Sistemas Eds Lineales Resortes acoplados En el ejemplo 1 trabajaremos con (1)

Ejemplo 1 Use T.L. para resolver (2) donde x1(0) = 0, x1’(0) = 1, x2(0) = 0, x2’(0) = −1. Solución s2X1 – sx1(0) – x1’(0) + 10X1 – 4X2 = 0 −4X1 + s2X2 – sx2(0) – x2’(0) + 4X2 = 0 Recolocando: (s2 + 10)X1 – 4X2 = 1 −4X1 + (s2 + 4)X2 = −1 (3)

Ejemplo 1 (2) Resolviendo (3) para X1: Usamos X1(s) para obtener X2(s)

Ejemplo 1 (3) Luego (4)

Redes De la Fig 4.47, tenemos (5)

Fig 4.47

Ejemplo 2 Resolver (5) donde E(t) = 60 V, L = 1 h, R = 50 ohm, C = 10-4 f, i1(0) = i2(0) = 0. Solución Tenemos Entonces sI1(s) + 50I2(s)= 60/s −200I1(s) + (s + 200)I2(s)= 0

Ejemplo 2 (2) Resolviendo lo anterior: Así

Péndulo Doble De la Fig 4.48, tenemos (6)

Fig 4.48

Ejemplo 3 Compruebe que cuando la solución de (6) es (7) Fig 4.49

Fig 4.49