1. Modelos matemáticos ISAAC NEWTON (1642 - 1727) GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646 - 1716) (© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

Formulación Suposiciones matemática Se comprueban las predicciones EDs como modelos matemáticos Se expresan las suposiciones en términos de ecuaciones diferenciales Suposiciones Formulación matemática Si es necesario, se modifican las suposiciones o se aumentan la resolución del modelo Se resuelven las EDs Se comprueban las predicciones del modelo con hechos conocidos Se muestran las predicciones del modelo. Por ejemplo, gráficamente Se obtiene la solución

Modelos lineales Crecimiento y decaimiento k > 0 es una constante de crecimiento, y k > 0 es una constante de decaimiento.

Dinámica Poblacional (Thomas Maltus 1798) Si P(t) representa la población en el tiempo t, entonces dP/dt  P dP/dt = kP donde k > 0 es una constante de proporcionalidad. Desintegración Radiactiva Si A(t) representa la cantidad de sustancia radiactiva restante en el tiempo t, entonces dA/dt  A dA/dt = kA donde k < 0 es una constante de proporcionalidad. Una sola ED puede servir como un modelo matemático para muchos fenómenos.

Crecimiento de bacterias P0 : cantidad inicial de bacterias = P(0) P(1) = 3/2 P(0) Determine el tiempo necesario para que se triplique el número de bacterias. Solución: Como dP/dt = kt, dP/dt – kt = 0, tenemos P(t) = cekt, usamos P(0) = P0 luego c = P0 y P(t) = P0ekt Como P(1) = 3/2 P(0), entonces P(1) = P0ek = 3/2 P(0). Por tanto, k = ln(3/2) = 0.4055. Ahora P(t) = P0e0.4055t = 3P0 , t = ln3/0.4055 = 2.71.

Período de semidesintegración del plutonio Un reactor convierte U-238 en el isótopo plutonio 239. Después de pasar 15 años, 0.043% de la cantidad inicial A0 del plutonio se ha desintegrado. Calcule el período de semidesintegración de este isótopo. Solución: Sea A(t) la cantidad de Plutonio en el tiempo t. La ED es La solución es A(t) = A0ekt. Si 0.043% de A0 se han desintegrado, queda 99.957%. Entonces, 0.99957A0 = A(15) = A0e15k, luego k = (ln 0.99957)/15 =-0.00002867. Sea A(t) = A0e-0.00002867t = ½ A0 En este caso tenemos

Fechado con carbono Un hueso fosilizado contiene 1/1000 de la concentración de C-14 que se encuentra en la materia viva. Determine la edad del fósil. Solución: Sabemos que el período de semidesintegración p del C-14 es 5600 años. Entonces A0 /2 = A0e5600k, k = −(ln 2)/5600 = −0.00012378. A(t) = A0 /1000 = A0e -0.00012378t

La ley de Newton del enfriamiento/calentamiento Si T(t) representa la temperatura de un cuerpo en el tiempo t y Tm la temperatura del medio, entonces la rapidez con que un cuerpo se enfría o calienta es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T(t) y la temperatura del ambiente Tm: dT/dt  T - Tm dT/dt = k(T - Tm) donde k es una constante de proporcionalidad, el coeficiente de transmisión de calor que depende del material. a) Verificar que la solución general de la ED es: b) Si K = 0.1°C/seg. ¿Cuánto tiempo tardará en enfriarse una taza de café hirviendo si la temperatura ambiente es de Ta=15°C ? c) Dibujar la familia de curvas solución para diferentes temperaturas iniciales T0 de la taza de café.

La temperatura de un pastel es 300F La temperatura de un pastel es 300F. Tres minutos más tarde su temperatura es 200F. ¿Cuánto tarda el pastel en alcanzar una temperatura ambiente de 70F? Solución: Se hace la identificación Tm = 70, luego y T(3) = 200.

Para T(0) = 300, c2 = 230 Para T(3) = 200, e3k = 13/23, k = -0.19018 Así T(t) = 70 + 230e-0.19018t A partir de (5), sabemos que sólo para t = , T(t) = 70. Esto significa que necesitamos un período de tiempo razonablemente largo para llegar a T = 70.

Propagación de una enfermedad Si x(t) representa el número de personas que se han contagiado de una enfermedad e y(t) el número de personas que todavía no, entonces dx/dt = kxy donde k es una constante de proporcionalidad. Por la descripción anterior, imagínese una comunidad con una población fija n, si se introduce en esta comunidad una persona infectada, tenemos x + y = n +1, y dx/dt = kx(n + 1 – x)

Observe al siguiente reacción: Reacciones Químicas Observe al siguiente reacción: CH3Cl + NaOH  CH3OH + NaCl Si asumimos que x(t) es la cantidad de CH3OH a timpo t,  y  son las cantidades de los reactivos, entonces la velocidad de reacción es dx/dt = k( - x)( - x)

Reacciones Químicas (8) o (9)

La reacción química se describe como. entonces La reacción química se describe como entonces Por separación de variables y fracciones parciales: Para X(10) = 30, 210k = 0.1258, finalmente

Mezclas Si A(t) representa la cantidad de sal en el tanque en tiempo t, entonces dA/dt = velocidad de entrada – velocidad de salida = Rentrada - Rsalida Tenemos Rentrada = 6 lb/min, Rsalida = A(t)/100 (lb/min), entonces dA/dt = 6 – A/100 ó dA/dt + A/100 = 6

¿Cuánta sal queda en el depósito tras pasar un período de tiempo largo? Solución: Como Para x(0) = 50, tenemos x(t) = 600 - 550e-t/100 Cuando el tiempo t es bastante grande, x(t) = 600.

Drenaje de un Tanque Basándonos en la Ley de Torricelli, si V(t) representa el volumen de agua en el tanque en tiempo t: Como V(t) = Awh, entonces:

A partir de la Segunda Ley de Kirchhoff tenemos: Circuitos en Serie A partir de la Segunda Ley de Kirchhoff tenemos: donde q(t) es la carga y dq(t)/dt = i(t) es la intensidad de corriente.

Circuitos en serie

Supongamos E(t) = 12 Volt, L = ½ Henry R = 10 Ohm Supongamos E(t) = 12 Volt, L = ½ Henry R = 10 Ohm. Determine i(t) donde i(0) = 0. Solución: Luego Para i(0) = 0, c = -6/5, entonces i(t) = (6/5) – (6/5)e-20t.

Una solución general de es Cuando E(t) = E0 es una constante, la solución se convierte en donde al primer término se conoce como la parte de estado estable, y el segundo termino es un término transitorio.

Modelos no lineales Dinámica de poblaciones Si P(t) representa el de una población en el tiempo t, la rapidez de crecimiento relativo (o específico), está definida por Cuando la rapidez de crecimiento solo depende de la cantidad presente, la ED es que se llama hipótesis de dependencia de de densidad.

Ecuación logística Si K es la capacidad de soporte, tenemos f(K) = 0, y simplemente se permite que f(0) = r. La siguiente figura muestra tres funciones que satisfacen estas dos condiciones.

Suponemos que f (P) = c1P + c2 Suponemos que f (P) = c1P + c2. Empleando las condiciones, tenemos c2 = r, c1 = −r/K. Luego nuestra ec. pasa a ser , lo mismo que a la que se conoce como ecuación logística, su solución se llama función logística y su gráfica, curva logística.

Solución de la ecuación logística A partir tras una simplificación, tenemos Si P(0) = P0  a/b, entonces c1 = P0/(a – bP0)

Gráfica de P(t) De (5), tenemos la gráfica como en la Fig. 2.47. Cuando 0 < P0 < a/2b,  Fig. 2.47(a). Cuando a/2b < P0 < a/b,  Fig. 2.47(b).

Teniendo en cuenta conclusiones previas, imagínese un campus de 1000 estudiantes, en este caso tenemos la ED Determine x(6). Solución: Identificamos a = 1000k, b = k, de (5)

Como x(4) = 50, -1000k = -0.9906, así x(t) = 1000/(1 + 999e-0.9906t)

Modificación de la ecuación logística que se conoce como ED de Gompertz.

Observación: En cuanto al ejemplo 1, P(t) es una función continua. Sin embargo, esto debería estar descartado teniendo en cuenta que el modelo matemático no es real. Fig. 2.41.

Fig. 2.41

A parir de la primera ley de Newton tenemos Caída de los cuerpos A parir de la primera ley de Newton tenemos Problema de valor inicial

Caída de los cuerpos y la resistencia del aire Tenemos la ED: y puede escribirse como:

Deslizamiento de cadena Tenemos: ó

Cables suspendidos dy/dx = W/T1

Modelos Lineales: PVI 36

Movimiento armónico simple o libre no amortiguado donde  = k/m. La solución general es Período T = 2/, frecuencia f = 1/T = /2. 37

Forma alternativa para x(t) Podemos escribir la solución también como x(t) = A sen(t + ) donde y  es la fase,

39

Movimiento libre amortiguado  es una constante de amortiguamiento positiva. Luego x”(t) + (/m)x’ + (k/m)x = 0 puede ponerse como donde 2 = /m, 2 = k/m La ecuación auxiliar es m2 + 2m + 2 = 0, y las raíces son 40

2 – 2 > 0. Sea entonces Se dice que es sobreamortiguado. Caso 1: 2 – 2 > 0. Sea entonces Se dice que es sobreamortiguado. 41

Caso 2: 2 – 2 = 0. Luego Se dice que es críticamente amortiguado.

2 – 2 < 0. Sea entonces Se dice que es subamortiguado. Caso 3: 2 – 2 < 0. Sea entonces Se dice que es subamortiguado. Alternativa: 43

Movimiento forzado con amortiguamiento 44

Ejemplo 6 Interprete y resuelva (26) Solución: Interpretación: m = 1/5, k = 2,  = 1.2, f(t) = 5 cos 4t La masa se libera inicialmente desde el reposo ½ abajo de la posición de equilibrio Solución: 45

Ejemplo 6 (2) Suponiendo xp(t) = A cos 4t + B sen 4t, tenemos A = −25/102, B = 50/51, entonces Usando x(0) = 1/2, x’(0) = 0 c1 = 38/51, c2 = −86/51, (28) 46

Términos Transitorio y de Estado Estable Gráfica de (28) se muestra en la Fig 3.29. xc(t) se desvanece cuando t  : término transitorio xp(t) permanece cuando t  : término de estado estable

Fig 3.29 48

Ejemplo 7 La solución de es Fig 3.30. 49

Fig 3.30

Ejemplo 8 Resolver donde F0 es una constante y   . Solución: xc = c1 cos t + c2 sen t Sea xp = A cos t + B sen t, tras la sustitución, A = 0, B = F0/(2− 2), 51

Como x(0) = 0, x’(0) = 0, entonces Ejemplo 8 (2) Como x(0) = 0, x’(0) = 0, entonces Así (30) 52

Resonancia Pura Cuando  = , consideramos el caso   . (31)

Cuando t  , los desplazamientos se vuelven largos De hecho, |x(tn)|   cuando tn = n/, n = 1, 2, ….. Como se muestra en la Fig 3.31, se dice que es una resonancia pura. 54

Fig 3.31

Circuitos LRC en Serie La siguiente ecuación es la ED de movimiento forzado con amortiguamiento: (32) Si i(t) denota la corriente en Fig 3.32, entonces (33) Como i = dq/dt, tenemos (34) 56

Fig 3.32

Ejemplo 9 Hallar q(t) en la Fig 3.32, donde L = 0.025 henry, R = 10 ohm, C = 0.001 farad, E(t) = 0, q(0) = q0 coulombs, y i(0) = 0 ampere. Solución: Usando los datos: Como se ha descrito antes, Usando q(0) = q0, i(0) = q’(0) = 0, c1 = q0, c2 = q0/3 58

Solución: Sea qp(t) = A sen t + B cos t, Ejemplo 10 Encuentre al solución de estado estable qp(t) y la coriente de estado estable, when E(t) = E0 sen t . Solución: Sea qp(t) = A sen t + B cos t, 59

Ejemplo 10 (2) Si Usando el método similar, obtenemos So Observación: X y Z se denominan reactancia y impedancia, respectivamente. 60

3.9 Modelos Lineales: PVF Deflexión de una viga Momento de flexión M(x) en un punto x a lo largo de la viga está relacionado con la carga por unidad w(x) mediante la ecuación (1) Además, M(x) es proporcional a la curvatura  de la curva elástica M(x) = EI (2) donde E, I son constantes. 61

Del cálculo, tenemos   y”, donde deflexión y(x) es pequeña Del cálculo, tenemos   y”, donde deflexión y(x) es pequeña. Finalmente tenemos (3) Entonces (4)

Terminología Extremos de la viga Condiciones en la frontera empotrados y = 0, y’ = 0 libres y” = 0, y’’’ = 0 apoyados simplemente o abisagrados y = 0, y” = 0 Fig 3.41

Fig 3.41 64

Ejemplo 1 Una viga de longitud L se fija en ambos extremos. Hallar la deflexión de la viga si una carga constante w0 está uniformemente distribuida a lo largo de su longitud, esto es, w(x)= w0 , 0 < x < L Solución: De (4) tenemos Extremos empotrados significa Tenemos m4 = 0, yc(x) = c1 + c2x + c3x2 + c4x3, y 65

Ejemplo 1 (2) Entonces Usando las condiciones de la frontera, tenemos c1 = 0, c2 = 0, c3 = w0L2/24EI, c4 = −w0L/12EI Eligiendo w0 = 24EI y L = 1, tenemos Fig 3.42. 66

Fig 3.42

Ejemplo 2 Resolver Solución: Caso 1 :  = 0 y = c1x + c2, y(0) = c2 = 0, y(L) = c1L = 0, c1 = 0 luego y = 0, solución trivial. Caso 2 :  < 0,  = −2,  > 0 Escogiendo y = c1 Ch x + c2 Sh x y(0) = 0, c1 = 0; y(L) = 0, c2 = 0 luego y = 0, solución trivial. 68

Ejemplo 2 (2) Caso 3 :  > 0,  = 2,  > 0 Escogiendo y = c1 cos x + c2 sen x y(0) = 0, c1 = 0; y(L) = 0, c2 sin L= 0 Si c2 = 0, y = 0, solución trivial. Así que c2  0, sen L = 0, L = n,  = n/L Así, y = c2 sen (nx/L) es una solución para cada n. 69

Tomando c2 = 1, para cada: la función correspondiente: Ejemplo 2 (3) Tomando c2 = 1, para cada: la función correspondiente: Observación: n = (n/L)2, n = 1, 2, 3, … se conocen como valores propios. yn = sen (nx/L) se llaman funciones propias. 70

Pandeo de una Columna Vertical Delgada En cuanto a la Fig 3.43, la ED es (5) donde P es una fuerza compresiva vertical constante aplicada en la parte superior de la columna.

Fig 3.43

Ejemplo 3 En cuanto a la Fig 3.43, cuando la columna se fija con bisagras en ambos extremos, hallar la deflexión. Solución: El PVF es Intuitivamente, si la carga P no es suficientemente grande, no hay deflexión. La pregunta es: ¿para qué valores de P el PVF posee soluciones no triviales? 73

Ejemplo 3 (2) Escribiendo  = P/EI, vemos es idéntica al ejemplo 2. Del Caso 3, las curvas de deflexión son yn = c2 sen (nx/L), que corresponden a los valores propios n = Pn/EI = n22/L2, n = 1, 2, 3, … Desde el punto de vista físico, solo para Pn = EIn22/L2, la columna experimenta flexión. Llamamos a estas Pn las cargas críticas y la más pequeña P = P1 = EI2/L2 se llama la carga de Euler, y y1 = c2 sen(x/L) se conoce como primer modo de pandeo. Fig 3.44 74

Fig 3.44 75

Cuerda Rotatoria La ED simple y” + y = 0 (6) ocurre una y otra vez como un modelo matemático. Fig 3.45. 76

Fig 3.45

tenemos. F = T sen 2 – T sen 1. (7) Cuando 1 y 2 son pequeños, tenemos F = T sen 2 – T sen 1 (7) Cuando 1 y 2 son pequeños, sen 2  tan 2 , sen 1  tan 1 Como tan2, tan1 son tangentes de las rectas que contienen a los vectoresT1 y T2, entonces tan 2 = y’(x + x), tan 1 = y’(x) Así (7) pasa a ser (8) Porque F = ma, m = x, a = r2. Con x pequeño, obtenemos r = y. 78

Así. (9) Al igualndo (8) = (9), tenemos Así (9) Al igualndo (8) = (9), tenemos (10) Para x cercano a cero, tenemos (11) Y las condiciones en la frontera son y(0) = y(L) = 0. 79

3.10 Modelos No Lineales Resortes no lineales El modelo (1) cuando F(x) = kx se dice que es lineal. Sin embargo, (2) es un resorte no lineal. Otro modelo (3) 80

Resortes Duros y Suaves F(x) = kx + k1x3 se dice que es duro si k1 > 0; y es suave, si k1 < 0. Fig 3.50. Fig 3.50 81

Ejemplo 1 Las EDs (4) y (5) son casos especiales de(2). Fig3.51 muestra la gráfica obtenida de un programa de solución numérica. 82

Fig 3.51

Péndulo No Lineal El modelo de un péndulo simple se representa en la Fig 3.52. De la figura, tenemos la aceleración angular a = s” = l”, la fuerza Luego (6) 84

Fig 3.52

Como Si empleamos solo los dos primeros términos, Si  es pequeño, (7) Linealización Como Si empleamos solo los dos primeros términos, Si  es pequeño, (7) 86

Ejemplo 2 Fig 3.53 muestra algunos resultados con condiciones iniciales diferentes obtenidos con un programa de solución numérica. Podemos observar que si la velocidad inicial es bastante grande, el péndulo se saldrá de los límites. 87

Fig 3.53

Cables Telefónicos Recordando (17) de la Sec 1.3 y Fig 1.26 dy/dx = W/T1, puede modificarse como (8) donde  es la densidad y s es la longitud del arco. Como la longitud s es (9) 89

entonces (10) Al derivar (8) con respecto a x y usando (10), obtenemos (11)

Ejemplo 3 De la Fig 1.26, obtenemos y(0) = a, y’(0) = 0. Sea u = y’, la ecuación (11) se convierte en Así Ahora y’(0) = u(0) = 0, sinh-10 = 0 = c1 Como u = sinh(x/T1) = dy/dx, entonces Usando y(0) = a, c2 = a − (T1/) 91

Movimiento de un Cohete De la Fig 3.54, tenemos (12) cuando y = R, kMm/R2 = Mg, k = gR2/M, entonces (13) 92

Fig 3.54

Masa Variable Suponiendo que la masa es variable, F = ma debería modificarse como (14) 94

Ejemplo 4 Una cadena uniforme de 10 pies de largo se enrolla sin tensión sobre el suelo. Un extremo de ella cadena se jala verticalmente hacia arriba por medio de una fuerza de 5 libras. La cadena pesa 1 libra por pie. Determine la altura del extremo sobre el nivel del suelo en el instante t. Solución: Sea x(t) = la altura v(t) = dx/dt (velocidad) W = x1 = x (peso) m = W/g = x/32 (masa) F = 5 – W (fuerza neta)

Ejemplo 4 (2) Entonces (15) Como v = dx/dt (16) es de la forma F(x, x’, x”) = 0 Como v = x’, y luego (15) pasa a ser (17) 96

Ejemplo 4 (3) Escribiendo (17) como (v2+32x – 160) dx + xv = 0 (18) (18) puede multiplicarse por un factor de integración para transformarse en exacta, donde podemos encontrar que le factor de integración es es (x) = x (compruébese). Luego Use el método de la Sec. 2.4 (19) Como x(0) = 0, entonces c1 = 0. Resolviendo (19) = 0, para v = dx/dt > 0, obtenemos 97

Ejemplo 4 (4) Compruebe que (20) Usando x(0) = 0 de nuevo, , elevamos al cuadrado ambos lados de (20) y resolvemos para x (21)

3.11 Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Muelle conectado/Sistema de masas De la Fig 3.58 y la Ley de Newton (1) 99

Fig 3.58

Método de Solución Considere dx/dt = 3y, dy/dt = 2x ó Dx – 3y = 0, 2x – Dy = 0 (2) Entonces, multiplicando la primera por D, la segunda por −3, y eliminando la y, se obtiene D2x – 6x =0 (3) Un método similar puede proporcionar (4) 101

Volviendo las ecuaciones originales, Volviendo las ecuaciones originales, dx/dt = 3y tras la simplificación, tenemos (5) 102

Ejemplo 1 Resolver Dx + (D + 2)y = 0 (D – 3)x – 2y = 0 (6) Solución: Multiplicando la primera por D – 3, la segunda por D, y restando, [(D – 3)(D + 2) + 2D]y = 0 (D2 + D – 6)y = 0 luego y(t) = c1e2t + c2e-3t (7) 103

Ejemplo 1 (2) Usando el método similar, x(t) = c3e2t + c4e-3t (8) Sustituyendo (7) y (8) en la primera ecuación de (6), (4c1 + 2c3)e2t + (−c2 – 3c4)e−3t = 0 Luego 4c1 + 2c3 = 0 = −c2 – 3c4 c3 = –2c1, c4 = – ⅓c2 104

Ejemplo 2 Resolver x’ – 4x + y” = t2 x’ + x + y’ = 0 (9) Solución: (D – 4)x + D2y = t2 (D + 1)x + Dy = 0 (10) Eliminando x, entonces y m = 0, 2i, −2i Sea podemos obtener A = 1/12, B = ¼ , C = −1/8. 105

Ejemplo 2 (2) Así (11) Método similar para obtener x(t) Entonces m= 2i, −2i, Sea xp(t) = At2 + Bt + C, luego podemos obtener A = −1/4, B = 0, C = 1/8 106

Así (12) Usando la segunda ecuación de (9), tenemos Ejemplo 2 (3) Así (12) Usando la segunda ecuación de (9), tenemos 107

Ejemplo 3 En (3) de Sec. 2.9, tenemos Junto con las condiciones iniciales dadas, podemos usar el mismo método para obtener x1 y x2, no mencionados aquí.

Ejemplo 4 Resolver (13) con Solución: Luego 109

Usando el mismo método, tenemos (14) Ejemplo 4 (2) Usando el mismo método, tenemos (14) 110

Fig 3.59