7. Teoría de Residuos Pure mathematicians do it in theory.

Singularidad no aislada Puntos singulares Un punto singular z0 de una función f (z) es un punto donde f (z) no es analítica. Singularidad aislada Singularidad no aislada 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s y a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus aisladas no aislada

Parte principal (Recordatorio) Supongamos que z = z0 es una singularidad aislada de f(z) y que su serie de Laurent válida para 0 < |z – z0| < R es: Parte principal Nota: Observa que el desarrollo tiene como centro al punto singular (por eso es válido en 0 < |z – z0| < R).

Singularidades aisladas Hay dos tipos de singularidades aisladas: polos de orden m y esenciales. En ambos casos podemos desarrollar la función f(z) en serie de Laurent con centro en la singularidad z0 y la serie convergerá para 0 < |z-z0| < R. Si z0 es un polo de orden m: La serie de Laurent “se para” en la m-ésima potencia negativa Si z0 es un singularidad esencial: La serie de Laurent es infinita en potencias negativas El centro z0 es un punto singular.

Clasificación de las singularidades aisladas (i) Si la parte principal es cero, z = z0 se denomina singularidad evitable. (ii) Si la parte principal contiene un número finito de términos, entonces z = z0 se denomina polo. Si el último coeficiente es bm, m  1, entonces decimos que es un polo de orden m. Un polo de orden 1 se llama polo simple. (iii) Si la parte principal contiene infinitos términos, z = z0 se denomina singularidad esencial.

Ejemplos Clasificar la singularidad de la función La serie de Laurent con centro z0= 0 es simplemente el término 1/z , válida para 0 < |z|<  . z0= 0 es un polo simple. Clasificar la singularidad de la función 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s y a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus La serie de Laurent con centro z0=1 está formada simplemente por los dos términos , válidos para 0 < |z-1| < . z0=1 Es un polo de orden 3.

Ejemplos Clasificar la singularidad de la función z0 = 0 es un polo de orden 3. 0<|z|<  Clasificar la singularidad de la función 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s y a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus z0 = -i es una singularidad esencial. 0<|z+i|< 

Ejemplos z = 0 es una singularidad evitable. z = 0 es un polo simple. z = 1 es un polo de orden 2.

El punto z = 0 es una singularidad aislada de f y la serie de Laurent contiene infinitos términos. Viendo el desarrollo, ¿podemos decir que z = 0 es una singularidad esencial? ¿Dónde es válido el desarrollo anterior? Es válido en para 1 < |z| < . Y necesitamos el desarrollo para 0 < |z| < 1: Donde vemos que se trata de un polo simple.

Ceros Decimos que z0 es un cero de f(z) si f(z0) = 0. Una función analítica tiene un cero de orden n en z = z0 si: Ejemplo: la función f(z) = z sin z2 tiene un cero de orden 3 en z = 0.

Observa que si las funciones f y g son analíticas en z = z0 y f tiene un cero de orden n en z = z0 y g(z0)  0, entonces la función F(z) = g(z)/f(z) tiene un polo de orden n en z = z0. Por ejemplo: El denominador tiene ceros de orden 1 en z = 1 y z = −5, y un cero de orden 4 en z = 2. Puesto que el numerador no se hace cero en ninguno de estos puntos, F(z) tiene un polo simple en z = 1 y z = −5 y un polo de orden 4 en z = 2.

Residuos El residuo de una función f(z) en z = z0 es el coeficiente del término 1/(z-z0) en la expansión en serie de Laurent de f(z): el coeficiente b1. Ejemplo: El residuo de f(z) en z = z0 se denota como:

¿Porqué es importante el residuo? Para f (z) analítica dentro de un anillo, tenemos: n = 1 C Así: Nos permite calcular integrales ...

Ejemplo Integrar la función en sentido positivo para |z |=2. punto singular z = 1 centro Observemos que por la fórmula integral de Cauchy:

La serie de Laurent posee un sólo término. Tomemos como centro z0=1 centro z0=1 punto singular La serie de Laurent posee un sólo término. como antes. Why did the mathematician name his dog "Cauchy?" Because he left a residue at every pole.

Ejemplo: Integrar la función en sentido positivo para |z|=3/2. Por la Fórmula Integral de Cauchy:

Otro ejemplo: Calcular C is positively oriented circle | z – 2| = 1. Integrand is analytic everywhere except z = 2 and z = 0. Find Laurent series of f(z) in the disk 0 < | z – 2 | < 2 Residue of f at the isolated singular point z0

ALTERNATIVE METHOD Residue of f at the isolated singular point 2 is the coefficient of 1/(z–2). Solve for A, B, C, D, E by setting coefficients of z, z2, z3, z4 equal to 0. A + E = 0 (A(z – 2) – Az)(z – 2)3 = – 2A(z – 2)3 D – 2A = 0 (– 2A (z – 2) + 2A z)(z – 2)2 = 4A (z – 2)2 4A + C = 0 (– 4A z + 4A (z – 2)) (z – 2) = –8A(z – 2) B – 8A =0 8A z – 8A (z – 2) = 16 A = 1 A = 1/16, E = – 1/16

Partial Fraction Expansion Review

C is positively oriented circle | z – 2| = 1. Integrand is analytic everywhere except z = 2 and z = 0. Find Laurent series of f(z) in the disk 0 < | z – 2 | < 2 Residue of f at the isolated singular point z0 b1 All terms have positive exponents

5. Hallar el residuo de una función compuesta en el punto donde se verifican las siguientes condiciones: Expresamos la segunda condición

Observemos que el residuo nos permite calcular integrales de funciones analíticas f (z) sobre una curva cerrada C cuando f (z) tiene un punto singular dentro de C. C donde b1 es el residuo de la serie de Laurent que representa a f (z) alrededor de z0 en un anillo que contiene a C.

Ejemplo: Con C: | z – 2| = 1. La serie de Laurent de f(z) en 0 < | z – 2 | < 2:

¿De dónde viene el nombre de residuo? C para todo n, excepto para n = 1, que vale: De aquí el nombre de “residuo”.

¿Es preciso hallar la serie de Laurent de f(z) para calcular la integral? No, si los puntos singulares z0 son polos. En esos casos hay formas rápidas y simples de hallar el residuo. Veremos: Cómo hallar el residuo para un polo simple, z0=1, como en el caso 2. Cómo hallar el residuo para un polo de orden 2, z0=1, como en el caso 3. Cómo hallar el residuo para un polo de cualquier orden ...

Fórmula para hallar el residuo para un polo simple Si f (z) tiene un polo simple en z0, la serie de Laurent es: Situamos el centro en el punto singular

Hallar el residuo de en z=i Ejemplo Hallar el residuo de en z=i Comprobémoslo mediante la serie de Laurent:

Hallar el residuo en los polos de Ejemplo Hallar el residuo en los polos de Comprobarlo a través de la de Laurent:

Fórmula para hallar el residuo para un polo de orden 2 Si f (z) tiene un polo de orden 2 en z0, la serie de Laurent es: derivando obtenemos:

Hallar el residuo de en z=1 Ejemplo Hallar el residuo de en z=1 Comprobarlo a través de la serie de Laurent:

Ejemplo: f(z) = 1/(z – 1)2(z – 3) tiene un polo simple en z = 3 y un polo de orden 2 en z = 1. Encontrar los residuos:

Calcular con C: |z – i|= 2.

Evaluar donde el contorno C es el círculo |z|= 2.

Fórmula para el residuo para un polo de cualquier orden Si f (z) tiene un polo de orden m en z0, la serie de Laurent es: Derivamos m-1 veces. Cuando zz0 obtenemos:

De otra manera... Un punto singular aislado z0 de una función f es un polo de orden m si y solo si f(z) puede ser escrito en la forma: donde f(z) es analítica y no cero en z0. Entonces: y

Demostración: f(z) tiene un polo de orden m en z=z0

Si f(z) tiene un polo de orden m en z=z0 entonces tiene una representación en serie de Laurent en la región| z-z0|<R:

Hemos visto que la integral de una función analítica f (z) sobre una curva cerrada C cuando f (z) tiene un punto singular z0 dentro de C es: donde b1 es el residuo de f (z) en z0 C El teorema del residuo generaliza este resultado: Sea f (z) una función analítica dentro y sobre un camino cerrado C, excepto para k puntos singulares dentro de C. Entonces: C

Evalúa donde (a) El contorno C es el rectángulo definido por x = 0, x = 4, y = −1, y = 1. (b) El contorno C es el círculo |z|= 2. (a) (b)

Ídem con C: |z|= 2. Observa que z = 0 es un polo de orden 3:

Demostración del teorema del residuo Rodeemos todos los puntos singulares con los círculos C1, C2,  Ck. C1 Ck C2 f (z) es analítica en C y aquí dentro excepto en los k puntos singulares. Por el teorema integral de Cauchy para regiones múltiplemente conexas: Las integrales a lo largo de cada uno de esos pequeños círculos son el residuo en cada punto singular dentro del círculo, por tanto:

Integrar la función sobre Ejemplo Integrar la función sobre C

Calcular C: |z|= 1. z = 0 es una singularidad esencial, así que no nos queda más remedio que calcular la serie de Laurent alrededor de z = 0, que nos proporciona como residuo Res(f, 0) = 3.

Otra fórmula útil para calcular el residuo en un polo simple cuando f (z) es una función racional f(z) = p(z)/q(z) es: Demostración: 1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldn’t be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in “ordinary” real calculus

4. Calcular ,donde γ es el contorno indicado en la figura. -1 1 Examen JUNIO 02/03: P-1

C: |z|= 2. tan z = sin z / cos z tiene polos simples en los puntos donde cos z = 0: z = (2n + 1)/2, n = 0, 1, 2, … Pero solamente −/2 y /2 están dentro del círculo

2. Calcular la integral siendo C : |z – i| = 3/2, simple y orientado positivamente. Respuesta.

z1 es un polo simple

z3 es un punto singular esencial f(z) se representa por potencias pares positivas y negativas de z. El coeficiente c-1 es cero.

d) Obtener la solución de la integral donde , orientado en sentido positivo. Re(z) i 4 f analítica dentro y sobre C, excepto en el punto singular aislado z0=i Examen JUNIO 04/05: P-1

e) Obtener la solución de la integral Examen JUNIO 04/05: P-1 e) Obtener la solución de la integral donde , orientado en sentido positivo. Considérese que n es un entero positivo y 2

2. Haciendo uso de la teoría de residuos, calcular la integral donde C es la circunferencia , orientada positivamente. z=1 : polo simple : z=0 :

Luego es: Y entonces: Examen SEPTIEMBRE 02/03: P-1

3. Calcular la integral ,donde C es la circunferencia orientada positivamente, utilizando el concepto de residuo en el infinito. Examen SEPTIEMBRE 02/03: P-1

c) Calcular el valor de la integral: siendo Γ la curva |z| = 1/5 con orientación positiva. Respuesta.

3. Calcular la integral donde el contorno C es la circunferencia orientada de forma positiva.

2 -1 1 Segmento donde f(z) no es analítica

c) Calcular la integral siendo C : |z| = 4, orientado en sentido positivo. Respuesta. C : |z| = 4 → Circunferencia de centro z = 0 y radio 4 orientada positivamente. analítica sobre C y su exterior (apartado b)

g(z) analítica en z = 0

z = 0 es un polo de orden 2 z = 0 singularidad evitable de F(z) Res[F(z), z = 0] = 0

b) (3 puntos) Calcular el valor de la integral siendo C : |z| = 2, orientado positivamente. Respuesta.

Por el teorema del residuo en el infinito: C C2 C1 z=4 z=-1 z=3 Re(z) z=-3 C3 Por el teorema de Cauchy-Goursat en dominios múltiplemente conexos:

Residuo logarítmico Sea una función f(z) analítica dentro y sobre un contorno cerrado simple C, orientado positivamente, tal que no tenga ceros sobre él, pero con posiblemente un número finito de ceros en su interior. Si z0 es uno de ellos, entonces es un punto singular aislado del cociente f'(z)/f(z). El residuo de este cociente en z0 se denomina residuo logarítmico de f(z) en z0, ya que:

Supongamos que z0 es un cero de f(z) de orden m0, entonces en algún entorno de z0 podemos escribir: con g(z) analítica en dicho entorno y g(z0)  0. Derivando y dividiendo entre f(z): Analítico en z0 Tiene un polo simple en en z0 con residuo m0

Denotemos por Nf la suma de las multiplicidades de todos los ceros de f(z) dentro de C:

5. Hallar el residuo logarítmico de la función respecto a la circunferencia Ceros de f(z): 2 ceros simples Polos de f(z): Examen SEPTIEMBRE 02/03: P-1

Hallar el residuo logarítmico de la función compleja respecto del contorno