{ El péndulo KA + UA = KB + UB 0 + mg cosqA = ½ mvB2 – mgL L L cosqA T

Conservación de energía en ausencia de fuerzas de fricción La energía total es constante para un sistema conservativo, como la gravedad o un resorte. Comienzo: (U + K)o = Fin: (U + K)f mgho ½kxo2 ½mvo2 = mghf ½kxf2 ½mvf2 ¿Altura? ¿Resorte? ¿Velocidad? ¿Altura? ¿Resorte? ¿Velocidad?

ho = 35 m; vf = 30 m/s2 ¿Altura? ¿Resorte? ¿Velocidad? Sí (35 m) mgho Ejemplo 3. El agua en el fondo de una cascada tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ft. ho = 35 m; vf = 30 m/s2 ¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la cascada? Primero observe el punto de inicio: lo alto de la cascada. Suponga y = 0 en el fondo para punto de referencia. ¿Altura? ¿Resorte? ¿Velocidad? Sí (35 m) mgho ½kxo2 ½mvo2 No Sí (vo)

Luego elija el punto FINAL en el fondo de la cascada: Ejemplo 3 (Cont.) El agua en el fondo de la cascada tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ft. ho = 35 m; vf = 30 m/s2 ¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la cascada? Luego elija el punto FINAL en el fondo de la cascada: ¿Altura? ¿Resorte? ¿Velocidad? No (0 m) mghf ½kxf2 ½mvf2 No Sí (vf)

¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la cascada? Ejemplo 3 (Cont.) El agua en el fondo de la cascada tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ft. ho = 35 m; vf = 30 m/s2 ¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la cascada? Energía total arriba = Energía total abajo vo = 3.86 m/s

E(arriba) = E(abajo) Earriba = mgh + ½mv2 Eabajo = 0 + ½mvo2 Ejemplo 4. Una bicicleta con velocidad inicial 10 m/s sube hasta una altura neta de 4 m. ¿Cuál es la velocidad en lo alto, si desprecia la fricción? 4 m vf = ? vo = 10 m/s E(arriba) = E(abajo) Earriba = mgh + ½mv2 Eabajo = 0 + ½mvo2 vf = 4.65 m/s

Conservación de energía: Ejemplo 5: ¿Cuánto subirá, sobre el plano inclinado de 30o, el bloque de 2 kg después de liberarse? La constante de resorte es 2000 N/m y se comprime 8 cm. Fin mgho ½kxo2 ½mvo2 = mghf ½kxf2 ½mvf2 s h 30o Inicio Conservación de energía: ½kxo2 = mghf h = 0.327 m

Ejemplo (Cont.): ¿Cuánto subirá, sobre el plano inclinado de 30o, el bloque de 2 kg después de liberarse? La constante de resorte es 2000 N/m y se comprime 8 cm. s h 30o Inicio Fin Continúa: h = 0.327 m = 32.7 cm sen 30o = h s s = = h sen 30o 32.7 cm s = 65.3 cm

Conservación de energía y fuerzas no conservativas. Se deben explicar las fuerzas de fricción. La energía todavía se conserva, pero no es reversible. f Conservación de energía mecánica (U + K)o = (U + K)f + Pérdidas

Estrategias para resolución de problemas 1. Lea el problema; dibuje y etiquete el bosquejo. 2. Determine los puntos de referencia para energía potencial gravitacional y/o resorte. 3. Seleccione un punto de inicio y un punto final y plantee tres preguntas en cada punto: a. ¿Hay altura? U = mgh b. ¿Hay velocidad? K = ½mv2 c. ¿Hay un resorte? U = ½kx2

Resolución de problemas (continuación) 4. Aplique la regla para conservación de energía. mgho ½kxo2 ½mvo2 = mghf ½kxf2 ½mvf2 + Trabajo contra fricción: fk x 5. Recuerde usar el valor absoluto (+) del trabajo de fricción. (Pérdida de energía)

2. Comience en A y termine en B. Ejemplo 6: Una masa m se conecta a una cuerda de longitud L y se mantiene horizontalmente como se muestra. ¿Cuál será la velocidad en el punto B? (d = 12 m, L = 20 m) A 1. Dibuje y etiquete. B L vc r d 2. Comience en A y termine en B. 3. Referencia U = 0. (U + K)o =(U + K)f + pérdida U = 0 mgL + 0 = mg(2r) + ½mvc2 (Multiplique por 2, simplifique) 2gL - 4gr = vc2 Luego encuentre r de la figura.

A 2gL - 4gr = vc2 L vc B d r = L - d r = 20 m - 12 m = 8 m r Ejemplo (Cont.): Una masa m se conecta a una cuerda de longitud L y se mantiene horizontalmente como se muestra. ¿Cuál será la velocidad en el punto B? (d = 12 m, L = 20 m) B L vc r d U = 0 A 2gL - 4gr = vc2 r = L - d r = 20 m - 12 m = 8 m vc2 =2gL - 4gr = 2g(L - 2r) vc2 = 2(9.8 m/s2)[20 m - (2)(8 m)] vc = 8.85 m/s vc = 2(9.8 m/s2)(4 m)

(trabajo)f = (mkn) x = mk(mg cos 30o) x Ejemplo 7: Una masa m de 2 kg ubicada 10 m sobre el suelo comprime un resorte 6 cm. La constante de resorte es 40,000 N/m y mk = 0.4. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo? h 2 kg s 30o mg f n mg sen 30o mg cos 30o 30o Inicio Fin Conservación: mgh + ½kx2 = ½mv2 + fkx (trabajo)f = (mkn) x = mk(mg cos 30o) x continúa . . .

fkx = (0.4)(2 kg)(9.8 m/s2)(0.866)(20 m) = 136 J Ejemplo (Cont.): Una masa m de 2 kg ubicada 10 m sobre el suelo comprime un resorte 6 cm. La constante del resorte es 40,000 N/m y mk = 0.4. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo? h 2 kg x 30o 10 m mgh + ½kx2 = ½mv2 + fkx x = = 20 m 10 m sin 30o fkx = mk(mg cos 30o) x fkx = (0.4)(2 kg)(9.8 m/s2)(0.866)(20 m) = 136 J mgh = (2 kg)(9.8 m/s2)(10 m) = 196 J ½kx2 = ½(40,000 N/m)(0.06 m)2 = 72.0 J

Ejemplo (Cont.): Una masa m de 2 kg ubicada 10 m sobre el suelo comprime un resorte 6 cm. La constante de resorte es 40,000 N/m y mk = 0.4. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo? h 2 kg x 30o 10 m mgh + ½kx2 = ½mv2 + fkx fkx = 136 J mgh = 196 J ½kx2 = 72.0 J ½mv2 = mgh + ½kx2 - fkx ½(2 kg) v2 = 196 J + 72 J - 136 J = 132 J v =11.4 m/s

Resumen: Ganancias o pérdidas de energía Energía potencial gravitacional U = mgh Energía potencial de resorte Energía cinética Fricción contra trabajo Trabajo = fx

Resumen: Conservación de energía Regla básica para conservación de energía: mgho ½kxo2 ½mvo2 = mghf ½kxf2 ½mvf2 + Trabajo contra fricción: fk x Recuerde usar el valor absoluto (+) del trabajo de fricción. (Pérdida de energía) PLAY

Un rifle A B C x xA=0 xB=0.120 xC= 20.0 m v EA = EC Determinación de la constante del resorte: KA + UgA + UsA = KC + UgC + UsC 0 + 0 + ½kx2 = 0 + mgh + 0 Determinación de la velocidad en xB: KA + UgA + UsA = KB + UgB + UsB 0 + 0 + ½ kx2 = ½ mvB2 + mgxB + 0

CONCLUSIÓN: Conservación de energía

1) El péndulo balístico es un dispositivo que hace posible determinar la velocidad de un proyectil cuando este se dispara sobre un bloque colgado como un péndulo simple. Una bala de 20g de masa se dispara sobre un bloque de 500g colgado de una cuerda de 100 cm. Debido al impacto, el bloque oscila hasta formar un ángulo de 10º con la vertical. Calcule la velocidad de la bala. 2) Un automóvil de 1400N de peso desciende por una pendiente que forma 30º con la horizontal. Se aplican los frenos cuando la velocidad es de 12 m/s. calcula la fuerza paralela al plano (fuerza de fricción) que ejercen los frenos sabiendo que el automóvil recorre una distancia de 10m antes de detenerse. 3) Una partícula se desliza por una vía que tiene sus extremos levantados y una parte central plana. La parte plana tiene una longitud de 10m. Las porciones curvas de la vía no tienen rozamiento. Para la parte plana el coeficiente de rozamiento cinético es 0,20. La partícula se suelta del reposo de una altura de 1m. ¿En dónde quedara la partícula finalmente en reposo?