Apuntes 1º Bachillerato CT DERIVADAS Tema 10 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT TASAS DE VARIACIÓN Tema 10.1 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

TASA DE VARIACIÓN MEDIA Dada una función f definida en un intervalo [a,b], se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en [ a,b ] al cociente: f (b) - f(a) TVM = ----------------- b - a Como se observa en el valor de la TVM no influye el comportamiento de la función a lo largo del intervalo. Pueden existir diversas funciones que tengan la misma TVM en el mismo intervalo. b – a es la variación o incremento de x, Δx. f(b) – f(a) es la variación o incremento de f(x), Δf(x) o Δy. TVM = Δy / Δx = m , pendiente del segmento que une los extremos de la función, o sea (a, f(a)) con (b, f(b)). @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Incremento de una función (1) Sea la función f(x) = x  Verde Sea la función g(x) = x2  Rojo Ambas funciones presentan el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = 4 Δy = g(2) – g(0) = 22 – 0 = 4 Sin embargo g(x) ha crecido mucho más deprisa que f(x), su crecimiento medio es mayor: TVM de f(x): TVM = Δy / Δx = 4 / 4 = 1 TVM de g(x): TVM = Δy / Δx = 4 / 2 = 2 Su crecimiento medio es el doble. y 4 a=0 2 b=4 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Incremento de una función (2) Sea la función f(x) = x / 2 Verde Sea la función g(x) = x2/ 8  Rojo Sea la función h(x) = √x  Azul Ambas funciones presentan en el intervalo cerrado [0, 4] el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = 2 Δy = g(4) – g(0) = 2 Δy = h(4) – h(0) = 2 Las TVM de ambas son: TVM = Δy / Δx = 4 / 4 = 1 Sin embargo está muy claro que su comportamiento en dicho intervalo en muy diferente. y f(4)=g(4)=h(4)=2 a=0 b=4 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicio Sea la función f(x) = x3 – 4x Hallar la TVM de la función en: [-4,-2], [0,2] y [-1, 1] En [-4,-2] f (- 4) - f(-2) - 48 - 0 TVM = ----------------- = --------- = 24 - 4 – (-2) - 2 En [0, 2] f (2) – f (0) 0 - 0 TVM = ----------------- = --------- = 0 2 – 0 2 En [-1, 1] f (1) – f (-1) - 3 - 3 TVM = ----------------- = --------- = - 3 1 – (-1) 2 y=f(x) -2 -1 0 1 2 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA Dada una función f definida en un entorno del punto a, se llama: Tasa de variación INSTANTÁNEA de la función f en x = a al límite de las tasas de variación media cuando los intervalos considerados son cada vez más pequeños: f (a + h) – f (a) TVI = lím ------------------------- h 0 h h es el incremento de la variable x y 2 h(x) = √x f(x) = x / 2 g(x) = x2/ 8 a=0 4 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA y 2 Ejemplo En las proximidades de a=0 (0+h)/2 – 0/2 TVI [f(x)]= lim ------------------- = ½ h0 h (0+h)2/2 – 02/2 TVI [g(x)]= lim ------------------- = h = 0 h0 h √(0+h) – √0 TVI [g(x)]= lim ----------------- = √h √h √h 1 1 = lim ----- = lim ------------ =---- = --- = oo h0 h h0 h. √h √h 0 h(x) = √x f(x) = x / 2 g(x) = x2/ 8 a=0 4 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

SENTIDO GEOMÉTRICO DE LA TVI f(a)=f(b) f(d) f(c) TVI(a)=1 TVI(b)= – 1 TVI(d)=0,8 TVI(c)=0,2 0 a b c d t @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT