Unidad de competencia II Estadística descriptiva: Medidas de dispersión

Medidas de dispersión. Si se tienen datos respecto a los promedios, se cuenta con cierta información del desempeño de grupos o individuos, pero no lo suficiente para que sea de utilidad. Es necesario conocer otras medidas, aparte de los valores de centralización, que nos indique que tan alejados están los valores respecto de los valores centrales. Las medidas de desviación, variación o dispersión que estudiaremos son rango, desviación estándar y varianza.

Medidas de dispersión. Rango. El rango se define como la diferencia entre el valor máximo y mínimo del conjunto de datos. En forma compacta: Ejercicio 1 Encuentre el rango del siguiente conjunto de datos. 87, 93, 72, 104, 85, 123, 98, 116, 76 Nota: Todos los ejercicios de este archivo son de práctica, no son de tarea.

Medidas de dispersión. Desviación estándar o típica. La desviación estándar se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las desviaciones con respecto a la media de los valores. En forma compacta: o

Medidas de dispersión. Ejemplo 1. Calcular la desviación estándar del siguiente conjunto de datos: 5, 8,10, 12 y16. Solución: Para calcular la desviación estándar podemos utilizar cualquiera de las fórmulas de la diapositiva 4, para este ejemplo utilizaremos las siguiente: De la fórmula anterior, n = 5, así,

Medidas de dispersión. Solución:

Medidas de dispersión. Ejercicio 2. Calcular la desviación estándar del siguiente conjunto de datos:

Medidas de dispersión. Varianza. La varianza se define como el cuadrado de la desviación estándar, es decir S2. En forma compacta Ejemplo 2. Calcular la varianza del conjunto de datos de los ejemplo 1: Solución: Cómo ya se tiene la desviación estándar, sólo es cuestión de elevar al cuadrado la desviación estándar, así, la varianza es:

Medidas de dispersión. Ejercicio 3. Calcular la varianza del conjunto de datos de los ejercicio 2. Existe una forma diferente para calcular la desviación estándar y ésta se utiliza en la estadística inferencial y se calcula de la siguiente forma: o

Medidas de dispersión. Desviación estándar para datos agrupados. Se aplica la siguiente fórmula: n: Es la cantidad de datos fi: Es la frecuencia absoluta de cada intervalo. di: Es la distancia en clases, desde cada clase a la clase que contienen a la media supuesta. I: Amplitud de las clases (igual para todas).

Medidas de dispersión. Ejemplo 3. Calcular la desviación estándar del siguiente conjunto de datos agrupados. Solución: Para calcular la desviación estándar de datos agrupados, hay que determinar primero en que clase se encuentra la mediana, como son 110 datos, la mediana tendrá la posición,

Medidas de dispersión. Solución: así, la mediana estará en la clase 5, por lo que en esa clase se ubica cero, y las clases que están por arriba de la mediana tendrán números negativos consecutivos y los que están por debajo de la mediana tendrán números positivos. Para una mayor facilidad para seguir la fórmula, se utilizará la siguiente tabla: La amplitud de las clases es I =5. Utilizando la fórmula se tiene que la desviación estándar es:

Medidas de dispersión. Solución:

Medidas de dispersión. Uso de la desviación estándar. La desviación estándar nos permite determinar, con un buen grado de precisión, dónde están localizados los valores de una distribución de frecuencias con relación a la media. Podemos hacer esto de acuerdo con el teorema de Chebyshev, que dice que no importa que forma tenga la distribución, al menos el 75% de los valores caen dentro de 2 desviaciones estándar a partir de la media de la distribución, y al menos 89% de los valores caen dentro de 3

Medidas de dispersión. desviaciones estándar a a partir de la media. Ejemplo 27. Analice los siguientes datos utilizando el teorema de Chebyshev.

Medidas de dispersión. Resultado estándar. La desviación estándar es también útil para describir qué tan lejos las observaciones individuales de una distribución se apartan de la distribución. Una medida que se conoce como resultado estándar nos da el número de desviaciones estándar que una observación en particular ocupa por debajo o por encima de la media. Si x simboliza la observación, entonces el resultado estándar calculado a partir de los datos de la población es:

Medidas de dispersión. Resultado estándar de la población = También es útil, cuando los resultados de pruebas diferentes aplicadas a los mismos individuos han de ser comparados. Ejemplo 28. Obtenga el resultado estándar para un alumno que obtiene 580 puntos en el examen de grado de los datos del ejemplo 27.

Medidas de dispersión. Ejercicios. 1. Dada la distribución siguiente de las puntuaciones de una prueba determine: a. Q1, Q3. b. P2, P6, P9. c. C10, C50, C70.

Medidas de dispersión. 2. Para los siguientes conjuntos de datos determine el rango, desviación estándar y la varianza. a. 20, 19, 18, 15, 14, 13, 12, 8 b. 34, 34, 30, 29, 28, 25, 20, 18, 12, 8 c. 37, 35, 44, 40, 35, 42, 43, 38, 43, 40 34, 36, 35, 46, 40, 45, 35, 38, 35, 34

Medidas de dispersión. 3. Determine la desviación estándar de las siguientes tablas de distribución. a.

Medidas de dispersión. b.

Medidas de dispersión. 4. La escala de inteligencia Wechsler para niños se aplica a un grupo de 24 estudiantes de cuarto grado. Sus CI son:

Medidas de dispersión. a. Entre que valores debe caer al menos el 75% de las observaciones, de acuerdo con el teorema de Chebyshev. b. Obtenga el resultado estándar para un alumno que tiene un CI de 90, de 100 y de 115. 5. Dados los siguientes valores estadísticos: = 84, S =12. Obtener el resultado estándar para los diferentes valores de x: 84, 72, 96, 54, 120, 91.

Medidas de dispersión. Tarea 3. 1. Ejercicio 1, inciso c. 3. Ejercicio 3, inciso a. 4. Ejercicio 4.

Referencias Garzo, F. & García, F. (1988). Estadística. McGraw Hill. Downie, N.M. & Heath R. W. (1986). Métodos Estadísticos Aplicados. Editorial Harla. Quinta Edición. Levin, J. (1979). Fundamentos de Estadística en la investigación Social. Editorial Harla. Segunda Edición.