Probabilidad y Estadística para CEA Mtra. Ma. Del Carmen López Munive Sesión 8 Estimación puntual y por intervalos

Estimación puntual y por intervalos La estadística inferencial nos permite “estimar” características desconocidas como la media de la población o la proporción de la población. Existen dos tipos de estimaciones usadas para estimar los parámetros de la población: Estimación puntual, y Estimación de intervalos

ESTIMACIÓN PUNTUAL Es el valor de un solo estadístico de muestra. ESTIMACIÓN DEL INTERVALO DE CONFIANZA: Es un rango de números llamado intervalo, construido alrededor de la estimación puntual

El intervalo de confianza se construye de manera que la probabilidad del parámetro de la población se localice en algún lugar dentro del intervalo conocido.

3 características principales: La media de la muestra X es una estimación puntal de la media poblacional μ. La media de la muestra puede variar de una muestra a otra porque depende de los elementos seleccionados en la muestra. Existe una confianza especificada de que μ se encuentre en algún lugar en el rango de números definidos por el intervalo.

Curva normal para determinar el valor de Z necesario para el 95% de confianza 0.9500/2=0.4750 en tablas es ±1.96 Si lo busco en tablas corresponde a unas coordenadas de 1.9 con 6 centésimos El 5% restante: 0.0500/2=0.0250 0.4750 0.4750 0.0250 0.0250 μ 0.5000 0.5000 1.96 Escala Z - 1.96

Curva normal para determinar el valor de Z necesario para el 99% de confianza 0.9900/2=0.4950 en tablas es ±2.58 Si lo busco en tablas corresponde a unas coordenadas de 2.5 con 8 centésimos El 1% restante: 0.0100/2=0.0050 0.4950 0.4950 0.0050 0.0050 μ 0.5000 0.5000 1.96 Escala Z - 1.96

Valores más comunes de los niveles de confianza: NIVEL DE CONFIANZA Z α α/2 90% 1.645 0.10 0.05 95% 1.96 0.025 99% 2.576 0.01 0.005 NIVEL DE CONFIANZA: Se simboliza con (1-α ) * 100% donde α es la proporción de las colas de la distribución que están fuera del intervalo de confianza. La proporción de la cola superior de la distribución es α /2 y de la inferior es α /2

Intervalo de confianza para la media conocida: X ± Z 𝜎 𝑛 Ó X - Z 𝜎 𝑛 ≤ μ ≤ X + Z 𝜎 𝑛 Donde Z = valor correspondiente a un área acumulativa de 1- α/2 Valor crítico: es el valor de Z necesario para construir un intervalo de confianza para la distribución

Estimación de la media para una longitud del papel con un 95% de confianza Un fabricante de papel para computadora, con proceso de producción que opera continuamente a lo largo de un turno completo. Se espera que tenga el papel una media de longitud de 11 pulgadas. μ = 11” σ = 0.02 pulgadas

Selecciono una muestra aleatoria de 100 hojas a intervalos de tiempo donde la media de la muestra X = 10.998 pulgadas. Construir un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional de la longitud del papel X ± Z 𝜎 𝑛 Tengo: μ = 11”, σ = 0.02 pulgadas, Z = 1.96, n = 100, X=10.998 X - Z 𝜎 𝑛 ≤ μ ≤ X + Z 𝜎 𝑛 Sustituyendo: 10.998 ± (1.96)(0.02/ raíz de 100) 10.998 ± 0.00392 10.998 - 0.00392 ≤ μ ≤ 10.998 + 0.00392 10.99408 ≤ μ ≤ 11.00192 Conclusión: Así con un 95% de confianza se concluye que la media poblacional está entre 10.99408 y 11.00192, por lo tanto 11 pulgadas está dentro del intervalo y el proceso productivo está correcto.

Estimación de la media de la longitud del papel con un 99% de confianza Tengo: μ = 11”, σ = 0.02 pulgadas, Z = 2.576, n = 100, X=10.998 X - Z 𝜎 𝑛 ≤ μ ≤ X + Z 𝜎 𝑛 Sustituyendo: 10.998 ± (2.576)(0.02/ raíz de 100) 10.998 ± 0.00516 10.998 - 0.00516 ≤ μ ≤ 10.998 + 0.00516 10.99284 ≤ μ ≤ 11.001316 Conclusión: Así con un 99% de confianza se concluye que la media poblacional está entre 10.99284 y 11.001316, por lo tanto 11 pulgadas está dentro del intervalo y el proceso productivo está correcto.

Para tener un 100% de certeza se debe muestrear a la población completa

Práctica Una tienda de pinturas, donde la media debe ser igual a 1 galón μ = 1 galón, σ = 0.02 de galón, X= 0.995 por galón n = 50 latas Z =Estimación de confianza del 99% El gerente quiere reclamar al productor, ¿tiene derecho a quejarse? ¿Por qué? Justifica tu respuesta.

La división de pesos y medidas del Condado Lee, desea estimar la cantidad real de contenido en botellas de 2 litros de bebida refrescante en la planta embotelladora local de una empresa conocida a nivel nacional. La planta embotelladora ha informado a la división de inspección que la desviación estándar poblacional para las botellas de 2 litros es de 0.05 de litro. Una muestra aleatoria de 100 botellas de 2 litros en la planta embotelladora indica una media muestral de 1.99 litros. Construya una estimación de intervalo de confianza del 95% de la media poblacional cantidad de bebida refrescante en cada botella. Explique porqué el valor de 2.02 litros para una botella sola no es inusual, aún cuando esté fuera del intervalo de confianza calculado. Suponga que la media muestral hubiera sido de 1.97 litros, ¿cuál sería la respuesta al inciso a)?

Estimación del intervalo de confianza para una proporción

Estimación del intervalo de confianza para una proporción El objetivo es la preocupación de la estimación de la proporción de elementos en una población que tiene ciertas características de interés. La proporción desconocida de la población se representa con la letra griega π La estimación puntual para pi es la proporción de la muestra p=x/n, donde n=tamaño de la muestra, x= número de elementos en la muestra que tienen la característica de interés 𝑝±𝑍 𝑝(1−𝑝)/𝑛 𝑝−𝑍 𝑝 1−𝑝 𝑛 ≤π≤ 𝑝+𝑍 𝑝 1−𝑝 𝑛 Donde P=proporción de la muestra =x/n = número de elementos con característica tamaño de muestra Π = proporción de la población Z= Valor crítico para la distribución normal estandarizada n = tamaño de la muestra

Suponiendo que x como n – x son mayores que 5. Se puede usar la estimación del intervalo de confianza de la proporción para estimar la proporción de facturas de ventas que contienen errores.

Suponga que una muestra de 100 facturas de ventas, 10 contienen errores. Así entonces, para estos datos, p=x/n = 10/100= 0.10, para un 95% de confianza Z=1.96 Sustituyendo: 0.010 ± (1.96) * [Raíz de (0.10)(1-0.10)/100] 0.01- (1.96)(0.03) ≤ π ≤ 0.01+ (1.96)(0.03) 0.0412 ≤ π ≤ 0.1588 Así usted tiene un nivel de confianza del 95% de que entre 4.12 y el 15.88% de todas las facturas de ventas contienen errores.

Ejercicio 1 Estimación de la proporción de periódicos defectuosos impresos, tal como borraduras en exceso, disposición errónea de las hojas, páginas faltantes o duplicadas. Selecciona una muestra de 200 periódicos, 35 de ellos contienen algún tipo de defecto. Realice e interprete un intervalo de confianza del 90% para la proporción de periódicos impresos durante el día que tienen defectos.

Ejercicio 2 Si n = 200, X = 50, construya una estimación del intervalo de confianza del 95% para la proporción de la población

Ejercicio 3 Si n=400, x =25, construya una estimación del intervalo de confianza del 99% para la proporción de la población

Ejercicio 4 Una empresa telefónica desea estimar la proporción de hogares en los que se contrataría una línea telefónica adicional. Se seleccionó una muestra aleatoria de 500 hogares. Los resultados indican que a un costo reducido, 135 de los hogares contrataría una línea telefónica adicional. Construya una estimación de intervalo de confianza del 99% de la proporción poblacional de hogares que contratarían una línea telefónica adicional. ¿Cómo podría el gerente a cargo de los programas promocionales relacionados con los clientes residenciales, usar los resultados del inciso a).