Hidrodinámica en la Medicina (Formulas & Ejercicios) Dr. Willy H. Gerber Instituto de Fisica Universidad Austral Valdivia, Chile Objetivos: Comprender como fluye la sangre y que aspectos se deben considerar en un modelamiento. www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-03-Hidrodinamica-Ejercicios-Version-04.09

Que tipo de flujo tenemos? - Numero de Reynold El tipo de flujo depende del numero de Reynold  Densidad [kg/m3] v Velocidad [m/s] r Largo característico (ej. Radio) [m] A Sección [m2]  Viscosidad dinámica [Pa s = kg/ms]  = / Viscosidad cinética [m2/s] Re >> 50000 flujo turbulento Re  2300-50000 transición Re << 2300 flujo laminar www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-03-Hidrodinamica-Ejercicios-Version-04.09

r v L Modelo Supongamos que la sangre es un liquido incompresible y de viscosidad homogénea Las venas y arterias se puede describir en primera aproximación por cilindros: r v L : flujo [m3/s] : radio [m] : velocidad [m/s] www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-03-Hidrodinamica-Ejercicios-Version-04.09

Modelo según Hagen Poiseville El flujo se regiría por la ley de Hagen-Poiseville L: largo del cilindro [m] p: diferencia de presión en el largo L [N/m2] : viscosidad [Pa s] que aplica a líquidos “Newtonianos” www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-03-Hidrodinamica-Ejercicios-Version-04.09

Modelo “eléctrico” – Ley de Darcy En tal caso se puede tratar la sangre como un “circuito” eléctrico definiendo una Resistencia al fluir: Ley de Darcy  R: “Resistencia” al flujo [kg/m4s] www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-03-Hidrodinamica-Ejercicios-Version-04.09

L L’ l R R’ r Efecto de una estenosis – vasos en serie Al ser el flujo igual y variar solo la resistencia se obtiene una curva para la caída de presión pR Presión en la vena [Pa] p pr pR’ Largo de la vena [m] L L’ l R R’ r www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-03-Hidrodinamica-Ejercicios-Version-04.09

Modelando una estenosis – vasos paralelos En este caso se tiene dos variaciones: la roja por el vaso con la obstrucción y la azul por la parte libre. Presión en la vena [Pa] p Largo de la vena [m] www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-03-Hidrodinamica-Ejercicios-Version-04.09

plasma = 0.015 Poise (1.5 cP) Efecto sobre la viscosidad Concentración de hematocitos: siendo plasma = 0.015 Poise (1.5 cP) Ejemplo: (45) = 3.2 cP = 0.032 P = 0.0032 Pas. 1 Poise (P) ≡ 1 g/cm·s ≡ 0.1 Pa·s = 0.1 kg/m·s cP es un centi-Poise o 0.01 Poise Otros efectos: Temperatura Efecto Fahraeus-Lindqvist www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-03-Hidrodinamica-Ejercicios-Version-04.09

Ejercicios Si suponemos que tenemos una 40% de hematocitos en la sangre (Ht = 0.4) y la viscosidad del plasma es de 1.5 cP, cual es la viscosidad de la Sangre? (0.003 Pa s) Considerando la viscosidad del ejercicio anterior y suponiendo una vena fina con un radio de 75 micrómetros y largo de 0.15 cm, cual es la resistencia para el flujo laminar en la modelación de Darcy? (3.62x1011 kg/sm4) Si la diferencia de presión fuera 0.832 Pa, que flujo de sangre se observaría en la vena fina del ejercicio anterior? (2.30x10-12 m3/s) Supongamos que la vena fina se puede modelar como un sistema de tres secciones. La primera y ultima del radio indicado en el ejercicio 2 y de largo 0.07 cm. El segundo segmento esta parcialmente obstruido quedando el radio en 45 micrómetros y largo 1 mm. Si suponemos las mismas propiedades de la sangre que en dos, cuales son las resistencias del fluido? (1.69x10+11 kg/sm4, 1.86x10+12 kg/sm4, 1.69x10+11 kg/sm4) Para lograr el mismo flujo que en el ejercicio 3, a cuanto deben ascender las diferencias presiones en cada segmento? (0.388Pa, 4.28Pa, 0.388Pa – ver grafica al final del set de laminas) Que diferencia de presión se requiere para lograr este flujo? (5.06 Pa) www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-03-Hidrodinamica-Ejercicios-Version-04.09

Ejercicios 7. A que resistencia equivale la geometría definida en el ejercicio 4 y flujo calculado en los dos ejercicios posteriores? (2.20x1012 kg/sm4) A que aumento de presión esta expuesto un punto al final del primer tramo al pasar a la zona con la obstrucción? (1.973 Pa – ver grafica al final del set de laminas) Si tomamos la situación descrita en el ejercicio 3, a que velocidad media se desplaza la corriente? (1.3x10-4 m/s) A que numero de Reynold corresponde la velocidad del ejemplo anterior si la densidad de la sangre fuera igual a la del agua (1g/cm3)? (3.25x10-3; laminar) Cuantos litros por minuto transportarían 1.2x106 venas con el flujo indicado en el ejercicio 3? (0.1654 l/min) Si por efecto de la temperatura la viscosidad del plasma se reduce a un 20% respecto el valor en los pies de la persona, en cuanto varia el flujo en la cabeza respecto del de los pies si todos los restantes parámetros fueran constantes? (aumenta en un factor 5) www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-03-Hidrodinamica-Ejercicios-Version-04.09

Ejercicios Si suponemos que tenemos una 46.58 [%] de hematocitos en la sangre y la viscosidad del plasma es de 1.32 [cP], cual es la viscosidad de la Sangre? (2.86x10^-3 [Pa s]) Convierta un flujo de 2.96 [l/min] litros de sangre por minuto en su equivalente en metros cúbicos por segundo. (4.93x10^-5 [m3/s]) 15. Si por un total de 5.9x10^+6 [-] venas de radio 40.4 [micrómetros] fluye el volumen indicado en el ejercicio anterior, a que velocidad media fluye la sangre? (1.63x10^-3 [m/s]) 16. Si la densidad es de 1.02 [g/cm3] cual es el numero de Reynold de este flujo? (2.35x10^-2 [-]) 17. Si el largo de las venas es de 0.25 [cm], cual es la resistencia según la define Darcy? (6.83x10^+12 [kg/sm4]) 18. Que presión debe de existir para que se de el flujo calculado en el ejercicio 14 en el numero de venas indicadas en el ejercicio 15 que tienen una resistencia individual como se calculo en el ejercicio 17? (3.37E+008 [Pa]) www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-03-Hidrodinamica-Ejercicios-Version-04.09

Grafico solución problema 8 0.388 Pa Aumento buscado en Pregunta 8 Caída normal sin obstrucción 5.06 Pa Caidas de presion calculadas en 5 4.28 Pa 0.388 Pa 7 mm 7 mm 1 mm Presión sin obstrucción final primer tramo 5.06*(1 + 8)/15 Pa www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-03-Hidrodinamica-Ejercicios-Version-04.09