Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones Números críticos Estrategia para localizar extremos Teorema de Rolle Teorema del Valor Medio Regla de Bernouilli-Hôpital Funciones crecientes y decrecientes Criterio de crecimiento y decrecimiento El criterio de la primera derivada Aplicación del criterio de la 1ª derivada Concavidad y convexidad Criterio de concavidad Aplicación del criterio de concavidad Puntos de inflexión El criterio de la 2ª derivada Aplicación del criterio de la 2ª derivada Problemas de aplicación de máximos y mínimos Análisis de gráficas Índice La derivada y la recta tangente Definición de derivada Derivadas laterales Derivabilidad y continuidad Ritmos de cambio Reglas básicas de derivación Derivadas de orden superior La regla de la cadena Extremos de una función Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 1

La Derivada y el problema de la recta tangente Dx f(c+Dx)-f(c) (c+Dx , f(c+Dx)) x y Recta secante que pasa por (c, f(c)) y (c+Dx , f(c+Dx)) Cambio en y Cambio en x Pendiente de la recta secante (c ,f(c)) Si f está definida en un intervalo abierto que contiene a c y además existe el límite entonces, la recta que pasa por (c,f(c)) con pendiente m se llama recta tangente a la gráfica de f en el punto (c,f(c)) Definición Recta secante Recta tangente Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 2

Definición de derivada La derivada de f en x viene dada por Definición supuesto que exista ese límite Una función es derivable en x si su derivada en x existe, y derivable en un intervalo abierto (a,b) si es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo Notaciones de la derivada Derivada de y con respecto de x Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 3

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Derivadas laterales Fórmula alternativa para la derivada deben existir (c, f(c)) x-c f(x)-f(c) (x,f(x)) c x Derivada por la izquierda Derivada por la derecha Una función es derivable en un intervalo cerrado [a,b] si es derivable en (a,b) y además existen la derivada por la derecha en a y la derivada por la izquierda en b Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 4

Derivabilidad y continuidad Derivable  continua Si f es derivable en x=c, entonces es continua en x=c Continua  Derivable Es posible que una función sea continua en x=c sin ser derivable Continua en x=0 La recta tangente en x=0 es vertical. Por tanto, f no es derivable en x=2 Ejemplos 1 2 3 -3 -2 -1 No es continua en x=0  No es derivable en x=0 Continua en x=2 pero no es derivable en x=2 2 Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 5

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Ritmos de cambio La derivada sirve para calcular el ritmo de cambio de una variable con respecto a otra Ritmos de crecimiento de poblaciones Ritmos de producción Flujo de un líquido Velocidad y aceleración S(t) función de posición: Da la posición (respecto del origen) de un objeto como función del tiempo t Dt: lapso de tiempo Ds: cambio de posición Obtenemos la velocidad instantánea cuando t=1, aproximando por las velocidades medias sobre pequeños intervalos de tiempo [1 , 1+Dt] , tomando límite cuando Dt0 La función velocidad es la derivada de la función posición. La posición de un objeto en caída libre es: S0 altura inicial , v0 velocidad inicial, g-9,8 m/s2 aceleración gravedad Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 6

Reglas básicas de derivación Regla de la constante Regla de las potencias Regla del múltiplo constante Reglas de suma y diferencia Derivadas de las funciones seno y coseno Regla del producto Regla del cociente Derivadas de funciones trigonométricas Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 7

Derivadas de orden superior Ejemplo a (t) es la segunda derivada de s (t) Podemos definir derivadas de cualquier orden entero positivo ............... Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 8

La Regla de la cadena y sus aplicaciones Si y = f(u) es una función derivabe de u, y si además u=g(x) es una función derivable de x, entonces y=f(g(x)) es una función derivable, con Regla de la cadena Aplicaciones Regla general para potencias Derivación de funciones con radicales Derivación de cocientes con numeradores constantes Aplicación de la regla de la cadena a funciones trigonométricas Aplicaciones reiteradas de la regla de la cadena Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 9

Extremos de una función máximo (2,5) Sea f definida en un intervalo I que contiene a c 1. f(c) es el mínimo de f en I, si f(c)  f(x) para todo x en I. 2. f(c) es el máximo de f en I, si f(c)  f(x) para todo x en I. El máximo y mínimo de una funcion en un intervalo son los valores extremos 5 - 3 1 - -2 -1 1 2 3 f continua en [-1,2] Máximo relativo (0,0) Mínimo relativo (2,-4) 1. Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f(c) es máximo, entonces f(c) se llama un máximo relativo de f. 2. Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f(c) es mínimo, entonces f(c) se llama un mínimo relativo de f. Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 10

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Números críticos Sea f definida en c. Si f´(c)=0 o si f´ no está definida en c, se dice que c es un número crítico de f. f´(c)=0 Tangente horizontal f´(c) no está definido c c c es un número crítico de f LOS EXTREMOS RELATIVOS SOLO OCURREN EN LOS NÚMEROS CRÍTICOS: Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en x=c, c es un número crítico de f Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 11

Estrategia para localizar extremos relativos en un intervalo cerrado Ejemplo Hallar los extremos de en el intervalo [-1,3] Para hallar los extremos relativos de una función continua f en un intervalo cerrado [a,b] : f´(0) no está definido  x=0 punto crítico f´(x)=0  x=1 punto crítico f(a) punto crítico punto crítico f(b) f(-1)=-5 f(0)=0 f(1)=-1 f(3)-0,24 mínimo máximo 1. Hallar los números críticos de f en [a,b] 2. Evaluar f en cada número crítico de (a,b) 3. Evaluar f en a y en b 4. El más grande de esos valores es el máximo. El más pequeño es el mínimo. Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 12

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Teorema de Rolle Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b) Existe al menos un número c en tal que f´(c)=0 Máximo relativo Máximo relativo f es continua en [a,b] y derivable en (a,b) f es continua en [a,b] a c b a c b El teorema de Rolle asegura que existe al menos un punto entre a y b en el que la gráfica de f tiene tangente horizontal Si se suprime la hipótesis de dervabilidad f tiene un número crítico en (a,b), pero quizá no tenga en el tangente horizontal Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 13

Teorema del Valor Medio Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b), existe un número c en (a,b) tal que Pendiente de la recta tangente = f´(c) Recta tangente Recta secante Importante teorema del Cálculo; útil para demostrar otros teoremas Geométricamente garantiza la existencia de una recta tangente paralela a la secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). En términos de ritmo de cambio asegura que debe haber algún punto en (a,b) en el que el ritmo instantáneo de cambio es igual al ritmo medio de cambio en [a,b] (b, f(b)) (a, f(a)) a c b Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 14

Regla de Bernouilli- Hôpital Sean f y g continuas y derivables en un entorno reducido del punto c. Si g no se anula en ningún punto del entorno y las funciones f´y g´no se anulan simultáneamente en ningún punto, en caso de existir también existe y ambos coinciden: La regla de Hôpital también es válida cuando: Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 15

Funciones crecientes y decrecientes Una función f es creciente en un intervalo si para cualquier par de número x1, x2 del intervalo x1  x2 f(x1)  f(x2) creciente decreciente Una función f es decreciente en un intervalo si para cualquier par de número x1, x2 del intervalo x1  x2 f(x1)  f(x2) constante f´(x) 0 f´(x) =0 f´(x)  0 Observación La derivada está realacionada con la pendiente de la función Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 16

Criterio de crecimiento y decrecimiento Sea f continua en [a,b] y derivable en (a,b) [Con a,b, reales,  o - ] 1. f´(x)  0,  x (a,b)  f es creciente en [a,b] 2. f´(x)  0,  x (a,b)  f es decreciente en [a,b] 3. f´(x) = 0,  x (a,b)  f es constante en [a,b] Ejemplo Hallar los intervalos abiertos en los que f es creciente o decreciente Nótese que f es continua en toda la recta real. Para hallar sus números críticos, igualamos a cero su derivada Hacer f´=0 Factorizar Números críticos Intervalo Valor prueba Signo de f´(x) Conclusión - x  0 0 x  1 1  x   x=-1 x=1/2 x=2 f´(-1)=60 f´(1/2)=-3/4  0 f´(2)=60 creciente decreciente Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 17

El criterio de la primera derivada Sea c un número crítico de una función f definida en un intervalo abierto (a,b) que contiene a c. Si f es derivable en ese intervalo, excepto quizá en c, entonces f(c) puede clasificarse así: 1. Si f´(x) cambia en c de negativa a positiva, f(c) es un mínimo relativo de f c a b f´(x) 0 f´(x)  0 (-) (+) mínimo relativo c a b f´(x)  0 f´(x)  0 (+) (-) máximo relativo 2. Si f´(x) cambia en c de positiva a negativa, f(c) es un máximo relativo de f c a b f´(x)  0 (+) f´(x)  0 (-) Ni máximo ni mínimo Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 18

Aplicación del criterio de la primera derivada Ejemplo Hallar los extremos relativos de Derivando, simplificando y factorizando x = 1 Números críticos, f´(x)=0 x = 0 0 no está en el dominio de f Intervalo Valor prueba Signo de f´(x) Conclusión - x -1 0 x  1 1  x   x=-2 x=1/2 x=2 f´(-2)  0 f´(1/2) 0 f´(2)0 decreciente creciente -1 x  0 x=-1/2 f´(-1/2)  0 (-1,2) Mínimo relativo (1,2) Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 19

Concavidad y Convexidad Sea f derivable en un intervalo abierto I. La gráfica de f es cóncava en I si f´es creciente en I y convexa en I si f´es decreciente en I. cóncava f´ creciente convexa f´ decreciente La gráfica de f queda por encima de su recta tangente La gráfica de f queda por debajo de su recta tangente Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 20

Criterio de concavidad Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I. 1. Si f´´(x)  0 para todo x en I, la gráfica de f es cóncava en I 2. Si f´´(x)  0 para todo x en I, la gráfica de f es convexa en I Localizar los x en los que f´´(x)=0 Localizar los x en los que f´´(x) no está definida Ensayar el signo de f´´ en cada uno de los intervalos de prueba Para aplicar este criterio: Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 21

Aplicación del criterio de concavidad Ejemplo Hallar los intervalos abiertos para los que la gráfica es cóncava o convexa f es contínua en toda la recta real. Hallamos f´y f´´ f´´ 0 Cóncava f´´  0 Convexa x = 1 Intervalo Valor prueba Signo de f´´(x) Conclusión - x -1 1  x   x=-2 x=2 f´´(-2)  0 f´´(2)0 cóncava -1 x  1 x=0 f´´(0)  0 convexa Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 22

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Puntos de Inflexión Si (c,f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f, entonces o bien f´´(c)=0 o f´´(x) no está definida en x = c Ejemplo Hallar los ptos. de inflexión y discutir la concavidad de Hallamos f´y f´´ Cóncava Convexa x = 0, x = 2 Posibles ptos. de inflexión f está definida y es continua en todos los reales Intervalo Valor prueba Signo de f´´(x) Conclusión - x 0 2  x   x=-1 x=3 f´´(-1)  0 f´´(3) 0 cóncava 0x  2 x=1 f´´(1)  0 convexa Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 23

El criterio de la segunda derivada Sea f una función tal que f´(c)=0 y cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto que contiene a c. 1. f´´(c)  0, entonces f(c) es un mínimo relativo 2. f´´(c)  0, entonces f(c) es un máximo relativo Si f´´(c) = 0, este criterio no decide y ha de recurrirse al criterio de la primera derivada cóncava convexa c c f´(c) = 0, f´´(c)  0 f´(c) = 0, f´´(c)  0  f(c) es mínimo  f(c) es máximo Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 24

Aplicación del criterio de la segunda derivada Ejemplo Hallar los extremos relativos de Mínimo relativo Los números críticos de f : x = -1, 1, 0 Punto (-1,-2) f´´(-1) = 30  0 f´´(0 ) = 0 El criterio no decide f´´(1) = -30  0 (1,2) Máximo relativo Conclusión Signo de f´´ ( 1, 2 ) ( 0, 0 ) Calculamos la derivada Criterio de la 1ª derivada Como f crece a la izda y dcha de x=0, no es máximo ni mínimo Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 25

Problemas de aplicación de máximos y mínimos Un ganadero desea trasladar al matadero su producción de cerdos. El transportista cobra 1,20 € por cabeza si traslada en cada camión 20 cerdos exactamente, mientras que si traslada más de 20 le descuentan 5 céntimos por cada uno que pase de 20. Hallar el número de cerdos que el transportista propondrá trasladar al ganadero para obtener el máximo beneficio Estrategia 1. Asignar signos a todas las magnitudes x número de cabezas de más a partir de 20 2. Escribir una ecuación primaria para la magnitud que debe ser optimizada B(x)=(20+x)(120-5x) Beneficio que deseamos maximizar 3. Reducir la ecuación primaria a una ecuación con solo una variable independiente. Esto puede exigir ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria 4. Determinar el dominio de la ecuación primaria. Esto es, hallar valores para los que la ecuación primaria tiene sentido 5. Determinar el máximo o mínimo mediante las técnicas de Cálculo estudiadas B´(x)= (120-5x)+(20+x)(-5)= -10x+20= 0  x=2 B´´(x)= -10  0 , x=2 máximo Se transportarán 22 cerdos Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 26

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Análisis de Gráficas Conceptos estudiados útiles al analizar gráficas de funciones Dominio y recorrido Intersección con los ejes Simetrías Continuidad Asíntotas Derivabilidad Extremos relativos Concavidad y convexidad Puntos de inflexión Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 27

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Bibliografía Cálculo y Geometría Analítica Larson, Hostetler, Eduards. Volumen 1, 1999 (6ª edición), Ed. McGraw-Hill Ejercicios y problemas Problemas de Matemáticas para ingeniería técnica agrícola y veterinaria Alejandre, Allueva,González. Tomo 1, 2000 Ed. Copy Center Zaragoza (C/. Doctor Cerrada nº 2) Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 3. La Derivada. Aplicaciones y representación gráfica de funciones 28