INTEGRALES U.D. 7 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN U.D. 7.2 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Dada una función f(x) no siempre es posible calcular su integral; unas veces porque no se trata de una función de las estudiadas hasta ahora y otras veces porque aún siéndolo no sabemos determinarla. Pero en muchos casos, mediante ciertos métodos de cálculo, se pueden determinar las integrales de ciertos tipos de funciones. Algunos de los métodos que se van a ver aquí son: INTEGRAL LOGARÍTMICA Muy importante. INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN Basado en las propiedades ya vistas. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE Para casos no directos. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES. Sólo el caso más sencillo de tres existentes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

1.- INTEGRAL LOGARÍTMICA La derivada de la función y = L f(x), sabemos que es y ’ = f ’(x) / f(x) Por consiguiente: f ’(x)  ------- dx = L x + C f (x) La integral indefinida del cociente de dos funciones, cuando el numerador es la derivada del denominador, es igual al logaritmo neperiano del denominador, más una constante. Ejercicios. Calcula mentalmente: 2x 1. Calcular la integral indefinida de f(x) = ---------- 1 + x2 1. 1 + x2 = t  2.x dx = dt  I = ln t + C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

1.- INTEGRAL LOGARÍTMICA Ejercicios. Calcula mentalmente: 2. Calcular la integral indefinida de f(x) = tg x. Clave: tg x = sen x / cos x Resolución parcial: 2. cos x = t  - sen x dx = dt  I = - ln t + C ex + 1 3. Calcular la integral indefinida de f(x) = ---------- ex + x 3. ex + x = t  (ex + 1) dx = dt  I = ln t + C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

2.- INTEGRAL POR DESCOMPOSICIÓN INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN Según las propiedades de la integral indefinida:  [f(x) + g(x)] dx =  f(x)dx +  g(x)dx Lo que permite calcular la integral indefinida de una función cuando la función a integrar se puede expresar como suma de dos o más funciones de integral conocida. Ejemplos: 2 1.  (x+2) dx =  x dx +  2 dx = x / 2 + 2. x + C 2. x + 1 1 1  ---------- dx =  (1 + --- ) dx =  1 dx +  --- dx = x + Lx + C x x x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

3.- INTEGRAL POR CAMBIO DE VARIABLE INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE A veces, para calcular una integral  f(x) dx se efectúa un cambio de variable x = g(t) Sustituyendo x por g(t) y dx por g'(t)dt y entonces resulta:  f(x) dx =  f [ g (t) ] g'(t) dt Ejemplo_1 3x 1.  e dx ; haciendo 3x = t , y derivando... 3 dx = dt  dx = dt / 3 t t t 3x luego  e dt / 3 = 1 / 3 .  e dt = 1 / 3 e + C = 1 / 3 e + C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

2.  sen x cos x dx ; haciendo sen x = t , y derivando... Ejemplo_2: 5 2.  sen x cos x dx ; haciendo sen x = t , y derivando... cos x dx = dt 6 5 5 5+1 sen x luego  sen x .cos x dx =  t dt = t / (5+1) + C = ---------- + C Ejemplo_3: 2 2 3.  2.x. sen x dx ; haciendo sen x = t , y derivando... 2.x dx = dt 2 2 Luego  2.x.sen x dx =  sen t dt = - cos t + C = - cos x + C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.