MODELACIÓN EXPERIMENTAL Unidad académica: Ingenierías Facultad: Ingeniería Electrónica Profesor: Marisol Osorio E – mail: marisol.osorio@upb.edu.co MODELACIÓN EXPERIMENTAL Hallar la curva estática del sistema. Definir el punto Q. Establecer la zona lineal. Polarizar el sistema. Hallar conjuntos de curvas dinámicas. Hacer mediciones de las curvas dinámicas para establecer la función de transferencia.

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Curva Estática Es una curva obtenida graficando la entrada de un sistema contra su salida en el estado estable.

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Punto Q También conocido como punto de operación o punto de polarización. Se trata del valor de la entrada que lleva al sistema a su zona lineal y permite considerarlo lineal para su tratamiento alrededor de ese punto.

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Zona lineal: Parte de la curva estática que puede considerarse una línea recta o que se aproxima para poder considerarla como tal.

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Se polariza el sistema con fines de modelación para obtener su respuesta al paso en la zona lineal. Esta respuesta es muy diferente a la que se obtiene antes de polarizar. Curva de Polarización Curva de estímulo dinámico

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Para las pruebas dinámicas se utilizan señales de prueba. La más común es la de escalón o paso. Prueba dinámica con escalón de subida

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Prueba dinámica con escalón de subida

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Prueba Dinámica Completa

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Con base en mediciones de la curva dinámica se pueden obtener funciones de transferencia de primer o segundo orden, con o sin retardo. Es importante anotar que el modelo obtenido no tiene relación con el orden “verdadero” del sistema, sino que es la aproximación más cercana basada en el criterio de la respuesta en el tiempo.

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Curva característica de sistema de primer orden:

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Curvas características de sistemas de segundo orden:

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Respuesta de sistema de primer orden con retardo El estímulo se presentó en t=10s

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Para respuestas que presenten comportamiento exponencial asintótico, que puede ser asimilado matemáticamente a una expresión de la forma: se puede obtener una aproximación de primer orden. En respuestas de este tipo se mide: Ganancia=Yss/Xss=K y τ

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Medición de K=Yss/Xss: Xss Yss

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Medición de τ: Método gráfico con la asíntota al punto inicial de la curva. Método gráfico con el tiempo de estabilización Método matemático con la fórmula

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Conociendo K y τ la función de transferencia del sistema es:

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Para respuestas que muestran un comportamiento oscilatorio, asintótico a un valor constante en el estado estable, la forma aproximada matemática es:

MODELACIÓN EXPERIMENTAL La función de transferencia correspondiente es: Lo que se busca, entonces, es identificar a K, a y a K se mide como ya se ha visto.

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Puede medirse: El sobrepaso máximo (Mp): El mayor valor que alcanza la respuesta oscilatoria medida con respecto al valor de estado estable. Tiempo de pico (tp): Tiempo en el que se presenta el sobrepaso máximo. Tiempo de estabilización (tss): Tiempo en el que se alcanza la respuesta de estado estable del sistema. Se define cuando el valor de la respuesta entra, para no salir más, a una banda del 2% o del 5% de su valor de estado estable.

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Tiempo de levantamiento (tr): Tiempo que transcurre entre el momento en que la respuesta presenta un valor del 10% de su estado estable y el momento en que presenta un valor del 90% de su estado estable. Tiempo de retardo (td): Tiempo que transcurre antes de que la respuesta alcance el 50% de su valor de estado estable.

MODELACIÓN EXPERIMENTAL El tiempo de sobrepaso puede hallarse derivando y(t). El (los) punto(s) en que esta derivada sea igual a cero son los máximos de la función. El sobrepaso es el primer máximo. Se encuentra que:

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Con lo que, para que la derivada sea cero se observa que: Despejando t para el primer máximo se obtiene tp: n=0,1,2,…

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Reemplazando este valor de t en la expresión para y(t) se obtiene que: ú û ù ê ë é + = - 2 1 ) ( z pz e Yss t y p Entonces el valor del sobrepaso máximo es:

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Es posible también usar expresiones que dependen de tiempo de retardo, del tiempo de levantamiento o del tiempo de estabilización cuando éstos son más fáciles de medir o su medida es más confiable.

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Aprox. 1 Orden Aproximación 2 Orden

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Expresión exacta con banda del 5%: Expresión aproximada con banda del 5%:

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Para completar los modelos, se debe incluir el retardo que pueda tener. Este retardo se expresa en la frecuencia como: T

MODELACIÓN EXPERIMENTAL Se pueden obtener aproximaciones racionales para así: Aproximación de McLaurin Aproximación de Padé

MODELACIÓN POR ECUACIONES INTEGRO-DIFERENCIALES Consiste en utilizar las ecuaciones diferenciales de sistemas dinámicos en conjunto con leyes físicas para obtener ecuaciones que representen sistemas reales. Se utilizará para los sistemas eléctricos y mecánicos el enfoque de variables “through” y “across”.

MODELACIÓN POR ECUACIONES INTEGRO-DIFERENCIALES Variables “Through”: Son aquellas que fluyen por el sistema: Corriente Fuerza Variables “Across”: Son aquellas que pueden medirse por la diferencia entre dos puntos del sistema. Voltaje Velocidad

MODELACIÓN POR ECUACIONES INTEGRO-DIFERENCIALES Elementos que almacenan energía en forma de variables across (“capacitivos”): Capacitancias (Condensadores) Masa inercial Elementos que almacenan energía en forma de variables through (“inductivos”) Inductancias (Bobinas) Resortes Elementos que disipan energía: Resistencias Amortiguadores

SISTEMAS CASI-LINEALES Se entiende por sistema casi-lineal aquel que tiene una curva estática con una zona apreciable aproximable a una línea recta dentro de ciertos parámetros de error. Es posible linealizar también curvas estáticas que se ajusten mejor a comportamientos diferentes al de una línea recta, siempre que la zona lineal se limite suficientemente.

APROXIMACIÓN POR SERIES DE TAYLOR Si se considera la curva estática entrada-salida: Donde f es una función en general no lineal, es posible escribir un desarrollo en serie de Taylor para y:

APROXIMACIÓN POR SERIES DE TAYLOR Ha quedado expresada como la suma de un término constante mas variaciones alrededor de ese valor. Para un sistema físico, ese término constante es el punto Q. Usualmente se aproxima con el término de orden 1 de la derivada para la linealización. En general:

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO Cuando un sistema está expresado en sus variables de estado y las funciones f y g son en general no lineales, se puede obtener una linealización del sistema en una zona pequeña alrededor de un punto de operación Q así: 1.

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO En el punto de operación se establecen valores x0,u0 y y0, tales que las ecuaciones de estado en el punto Q se escriben: 2.

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO Las señales del sistema no lineal, dentro de una pequeña zona alrededor del punto de operación, pueden escribirse así: 3.

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO Con 3. en 1. se obtiene: Entonces, de la misma manera que para una función escalar, puede escribirse un desarrollo en serie de Taylor y queda así:

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO Aquí se toma sólo el término de primer orden de la aproximación y el resto se puede aproximar a cero si Δx, Δu y Δy son pequeños.

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO Dejando de lado la parte de la señal que corresponde al punto Q, la anterior ecuación se puede escribir así:

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO Las ecuaciones de espacio de estado linealizadas quedan entonces: En donde:

LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO Establecer el punto de operación. Evaluar las señales de importancia en el punto de operación en términos de las entradas del sistema. Redefinir las señales en el sistema en términos de su variación alrededor del punto Q (Δ). Aplicar para las funciones no lineales dentro del sistema la aproximación de Taylor Reemplazar el resultado de esta aproximación dentro del sistema

MODELO NO LINEAL DE UN MOTOR DE CD ef eA(t) + – iA RA LA JL TL J T W eLC eA(t) + – RC c

MODELO NO LINEAL DE UN MOTOR DE CD (cont) Ecuaciones en el campo. En el circuito de campo se produce n flujo que depende, de forma no necesariamente lineal, de la corriente. (1) (2) ic c

MODELO NO LINEAL DE UN MOTOR DE CD (cont) Ecuaciones en la armadura. Ecuaciones del sistema de rotación. (3) (4) (5) (6)

MODELO NO LINEAL DE UN MOTOR DE CD (cont) Se define como salida del sistema la velocidad angular y como entradas el voltaje de armadura y de campo. Por eso, las ecuaciones pueden reescribirse para organizar un diagrama de bloques del sistema. 5’ 3’ 2’

MODELO NO LINEAL DE UN MOTOR DE CD (cont) El diagrama de bloques queda: Kf eC R TL T ρ w δ iA γ eA iC C ef Hay tres elementos no lineales en este sistema

MODELO NO LINEAL DE UN MOTOR DE CD (cont) Definición del punto de operación. En el punto de operación las entradas a los integradores en el sistema deben ser cero para que pueda hablarse de estado estable. Se considera B despreciable. ρ=0 y se concluye que el estado estable T0=TLo Además

MODELO NO LINEAL DE UN MOTOR DE CD (cont) Una expresión para iAB puede obtenerse así: Con el teorema del valor final.

MODELO NO LINEAL DE UN MOTOR DE CD (cont)

MODELO NO LINEAL DE UN MOTOR DE CD (cont) 2. Redefinición de las variables alrededor del punto de operación. Kf ΔeC 3 ΔTL ΔT ρ Δw δ ΔiA Δγ ΔeA Δ iC ΔC Δef 2 1 ε

MODELO NO LINEAL DE UN MOTOR DE CD (cont) 3. Linealización de los bloques no lineales. 1 , iAo ρ Δδ δo ΔiA ΔT 1 ...y esto vale también para 2

MODELO NO LINEAL DE UN MOTOR DE CD (cont) 3 ; Es indispensable que las funciones no lineales sean derivables e inversibles y además, que la derivada sea representativa en la región adyacente al punto de operación.