FAMILIAS MONOPARAMÉTRICAS DE TRANSFORMACIONES CUADRÁTICAS. Heber Enrich

Otro ejemplo de transformación: x=x/2 y=y/3 z=2z El origen es punto fijo (hiperbólico) z y x

b xi+1=f(xi) x3 y=f(x) x2 a x3 x1 x2 b

Pendiente positiva pequeña: atractor unilateral. Pendiente positiva grande: repulsor unilateral. Pendiente negativa pequeña: atractor bilateral. Pendiente negativa grande: repulsor bilateral.

repulsor atractor atractor repulsor de los dos lados de un solo lado de un solo lado de los dos lados

LA FAMILIA CUADRÁTICA. y =c (1-x2)-1 xn =c (1-xn-12)-1 0 ≤ c ≤ 2 -1 1 c crecientes

Primera bifurcación: -1 repulsor Surge punto fijo atractor unilateral. 0.5 < c < 1 0 < c ≤ 0,5 -1 punto fijo atractor unilateral

0.5 < c < 1 0 < c ≤ 0,5 -1 punto fijo atractor unilateral Gráficas de f º f

1.5 < c < c0 =1,7849... Punto fijo repulsor. ¿Dónde “van a parar” las órbitas? Punto fijo atractor. Las órbitas se aproximan al punto fijo. 1 < c < 1,5

1< c < 1.5 f º f 1.5 < c < c0 c=1.5

pto. fijo atractor pto. periódico atractor pto. fijo repulsor x pto. periódico atractor c crecientes x x x 2 6 5 8 4 3 7 1 x = pto fijo o periódico de período 2 repulsor. rayas verticales: punto periódico de período 4 atractor. En c0 aparece un “Conjunto de Cantor” y puntos periódicos repulsores de período 2n para cualquier n natural.

Pasemos al caso c=2. xn =1-2xn-12 Sea 0 ≤ α1 ≤ π/2 tal que (x1 + 1)/2 = sen2 α1 o sea x1 = 2 sen2 α1-1. Se tiene que x2 =1-2x12 =1 – 2(2 sen2 α1-1)2 = 8sen2 α1(1 - sen2 α1) -1= 8(sen2 α1)(cos2 α1) -1= 2 sen2 (2α1) – 1. De esta igualdad, (x2 + 1)/2 = sen2 (2α1), o, en general, (xn + 1)/2 = sen2 (2n α1). Sensibilidad a las condiciones iniciales (caos). Aparición de puntos periódicos de cualquier período.

Hay 8 puntos fijos en la gráfica En general, hay puntos de f3; c=2 Hay 8 puntos fijos en la gráfica En general, hay puntos de todos los períodos. ¿Cómo aparecen?

f3 c=1.91

f3 c= 1.915

Teorema: para cada valor 0 ≤ c ≤ 2, o bien: Hay una órbita periódica atractora y la órbita de 0 es atraída a ella. En este caso, existe un conjunto abierto y denso de condiciones iniciales tales que también tienen órbitas atraídas a la órbita periódica. O bien Hay un Cantor “atractor” que incluye el punto crítico y su órbita, y que atrae un conjunto abierto y denso de condiciones iniciales. O bien 3. La transformación es expansiva y para un abierto denso de condiciones iniciales las órbitas son atraídas a un conjunto invariante que es unión de intervalos cerrados.

El resultado anterior parecería un ejercicio sobre el comportamiento de las transformaciones cuadráticas si no fuera que dicho comportamiento fue observado en multitudes de transformaciones unimodales que se examinaron. No sólo se encontraron semejanzas cualitativas, sino también aparecían ciertas “constantes universales” válidas para conjuntos genéricos de transformaciones; estas características también aparecían en ciertas transformaciones disipativas en dimensión mayor. Se imponía una explicación.

Ya observamos que hay un intervalo [a1,b1] en el intervalo [0,2] de variación del parámetro c, en que fc es renormalizable en un intervalo I1,c:=[a1c,b1c]; para todo x en I1.c la transformación de primer retorno a I1.c es fc2 que se comporta como la familia original, fc. Para comparar ambos comportamientos, habría que “cambiar la escala”, o “renormalizar”: llevar el intervalo [a1c,b1c] al intervalo [-1,1]. -1 a1c b1c 1

Pero lo adecuado es reescalar un intervalo más pequeño: se trabajará en el intervalo [-fc(0),fc(0)] que se reescalará hasta llevarlo al [-1,1], definiendo una función g. Se tiene g2(0)=g(1). g 1 R(g) R(g)=(g(1))-1g2(g(1)x) -1 -1 g(1) 1

Trabajando en el conjunto M de las funciones unimodales renormalizables Cr que llevan [-1,1] en sí mismo tales que -1<g(1)<1, se define un operador R por R(g)=(g(1))-1g2(g(1)x). Ese operador tiene un punto fijo φ que es analítico y simétrico (φ(x)=f(x2) para alguna f, que además cumple f ’(t) ≠ 0 para t entre 0 y 1). Se probó que el comportamiento de las funciones en un entorno de φ con el operador renormalización era un comportamiento hiperbólico similar al visto en una de las primeras trasparencias, con una “curva inestable” y una “hipersuperficie estable”:

familia cuadrática φ

Bibliografía An introduction to the dynamical of unimodal maps. C. Sparrow, Summer school on dynamical systems ICTP 1988. de Melo, W Lectures on one-dimensional dynamics. IMPA, CNPq, 1988 de Melo, W, van Strien, S One-dimensional dynamics Springer Verlag, Berlin-New York, 1993.