FUNDAMENTOS DE CONTROL LINEAL PROF. CLÁUDIO LUÍS D’ELIA MACHADO, M. ENG. CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE PELOTAS - RS

FUNDAMENTOS DE CONTROL LINEAL Introducción Modelos Dinámicos Respuesta Dinámica Especificación del Sistema Acciones Básicas de Control

Introducción Importancia del control Imagine un automóvil sin velocímetro y que se desea mantener la velocidad constante en un determinado valor. El conductor estima qué posición deberá mantener el pedal del acelerador. Dependiendo de su experiencia, la velocidad del automóvil puede aproximarse al valor deseado. Pero, si precisara subir una pista inclinada, la velocidad diminuirá y mantenerla constante, sin duda, es muy difícil. El ejemplo arriba ilustra las características típicas de un tipo de control en que hay imprecisión, ninguna adaptación a variaciones externas (perturbaciones), dependencia de juicio y de la estima humana. Sistemas como estos son simples y baratos, pues no involucran equipamientos sofisticados para la medición y para el control, pero están sujetos a fallas.

Introducción Importancia del control Ahora imagine un automóvil, que para mantener la velocidad constante en un determinado valor, posee un circuito electrónico de control, un sensor para medir la velocidad y un componente eletromecánico capaz de accionar el pedal del acelerador y variar la alimentación de combustible del motor. El conductor define la velocidad del automóvil y regula el circuito de control. La velocidad del auto es medida por el sensor y comparada con el valor programado por el conductor. El error entre los dos valores de velocidad es compensado por el control accionando el pedal del acelerador. Si el automóvil precisa subir una pista inclinada, la velocidad diminuirá. Automáticamente, el control detecta la disminución de velocidad y provoca un desplazamiento adicional en el pedal del acelerador para compensar el error existente. El ejemplo arriba ilustra las características típicas de un tipo de control en que hay precisión, adaptación a variaciones externas (rejeição de perturbações), e independencia de juicio y de la evaluación humana.

Introducción Ejemplo numérico de los casos anteriores: Suponga que la velocidad deseada es de 90 km/h, que un desplazamiento angular de 1° del pedal del acelerador produce una variación de velocidad de 10 km/h y una inclinación de 1% de la pista produce una variación de velocidad de 5 km/h.

Introducción Ejemplo numérico: Suponiendo que la velocidad no es medida (Malla Abierta – sin realimentación de señal medida); donde r – velocidad deseada [km/h] - referencia u – ángulo del pedal (graus) y – velocidad real [km/h] w – inclinación % de la pista La velocidad real es calculada por: Suponga que la inclinación de la pista es w = 0, entonces la velocidad real es y = 90 km/h; Suponga que la inclinación de la pista es w = 2 %, entonces la velocidad del automóvil debe diminuir 20 km/h y la velocidad real es y = 70 km/h; en malla abierta ocurre un error de 20 km/h.

Introducción Ejemplo numérico: Suponiendo que la velocidad es medida (Malla Cerrada – con realimentación de señal medida); La velocidad real es calculada por: e Suponga que la inclinación de la pista es w = 0, entonces la velocidad real es y = 89,91 km/h; Suponga que la inclinación de la pista es w = 2 %, entonces el control en malla cerrada compensa la inclinación de la pista y la velocidad real es y = 89,81 km/h; El error en malla cerrada es de 0,19 km/h, mientras en malla abierta el error es de 20 km/h.

Introducción Conclusiones: El error de MALlA ABIERTA sufre una gran influencia de perturbaciones externas; Cuando la GANANCIA DE REALIMENTACIÓN es grande, el error de la MALLA CERRADA es pequeño; La sensibilidad de perturbación del sistema en malla cerrada depende del valor de ganancia de realimentación; Cuando la planta tiene un comportamiento dinámico, las ganacias de realimentación pueden tornar el sistema inestable, y cuando eso ocurre, son limitados;

Introducción Otros ejemplos mecánicos Control de velocidad de la máquina a vapor de James Watt en 1789 - 1800 Incubadora de huevos (Cornelis Drebbel en 1620) Control de nível creado en la antigüedad

Modelos Dinámicos Sistema de Control Un sistema de control es básicamente un sistema con entrada(s) y salída(s) conforme ilustrado en la figura El sistema a ser controlado es, en general, llamado de proceso o planta. La entrada del proceso es llamada variable de control, la salida del proceso es llamada varible controlada. La planta posee un comportamiento dinámico que puede ser representado a través de ecuaciones matemáticas llamadas de MODELO DINÁMICO. El modelo dinámico es utilizado para entender el comportamiento del sistema y proyectar se control

Modelos Dinámicos Ejemplo del automóvil Un sistema: (Fórmula 1 en movimiento) La ecuación del movimiento (modelo dinámico – Segunda lei de Newton) del coche es En términos de velocidad

Modelos Dinámicos Ejemplo del automóvil siendo remolcado Sistema: Fórmula 1 siendo remolcado La ecuación del movimiento (modelo dinámico – Segunda ley de Newton) del coche es Fuerza del resorte

Modelos Dinámicos Análisis de las ecuaciones matemáticas e Ecuación diferencial no homogénea - lineal de primer orden Métodos matemáticos para solución de la ecuación Ecuación diferencial no homogénea - lineal de segundo orden Métodos matemáticos para solución de la ecuación e Ecuación diferencial no-lineal de segundo orden No siempre tiene solución

Modelos Dinámicos Solución de las ecuaciones diferenciales lineales plano – s respuesta en frecuencia espacio de estados Técnicas matemáticas Técnicas de cálculo numérico No permite un análisis global

Respuesta Dinámica Análisis del sistema – plano s – Transformada de Laplace Considerando la ecuación diferencial de primer orden del coche de Fórmula 1 que representa su velocidad, la Transformada de Laplace es dada por Considerando las ecuaciones diferenciales de segundo orden del coche de Fórmula 1 que representan su posición, las Transformadas de Laplace son dadas por

Respuesta Dinámica Análisis del sistema – plano s – Transformada de Laplace De las expresiones matemáticas ya obtenidas se puede escribir

Resposta Dinámica Análisis del sistema – plano s – Transformada de Laplace Se puede representar el sistema como los diagramas

Respuesta Dinámica Análisis del sistema – plano s – Transformada de Laplace FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA: La expresión no interior del bloque define a FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA que representa la dinámica de variación de la velocidad de coche para una dada variación en la entrada; Para una entrada en la forma e st se obtiene una salida en la forma V(s) e st / U (s); O sea, la salída varía solamente en amplitud;

Respuesta Dinámica Análisis del sistema – plano s – Transformada de Laplace POLOS Del SISTEMA A través de la configuración de polos y ceros de la función de transferencia se puede identificar el comportamiento del sistema y también proyectar un controlador para que en malla cerrada el sistema pase a presentar el desempeño deseado; Siendo el denominador de la función de transferencia igual a cero, el polo que representa la dinámica de la velocidad del coche es Siendo el denominador de la función de transferencia igual a cero, los polos que representan la dinámica de la posición del coche son e

Respuesta Dinámica Análisis del sistema – plano s – Transformada de Laplace POLOS DEL SISTEMA Dada la función de transferencia que representa la dinámica de la posición del coche siendo remolcado: Suponiendo que , siendo el denominador igual a zero, los polos son e Los polos son un par conjugado complejo.

Respuesta Dinámica Análisis del sistema – plano s POLOS DEL SISTEMA Representando cada caso analizado en su respectivo plano s se obtiene Re(s) Im(s) Primer caso Re(s) Im(s) Segundo caso Re(s) Im(s) Tercer caso

Respuesta Dinámica Análisis del sistema – plano s Respuesta del sistema en relación al tiempo en función de los POLOS De la solución de las Transformadas de Laplace de cada uno de los sistemas a través del método de expansión en fracciones parciales: El sistema es estable cuando los polos que están del lado izquierdo del eje Im(s); El sistema es inestable cuando los polos quedan del lado derecho del eje Im(s); El sistema es oscilatorio cuando los polos quedan sobre el eje Im(s);

Especificación del Sistema Especificación del sistema en dominio del tempo El desempeño en regimen transitorio de un sistema es evaluado, en general, por la respuesta temporal del sistema a una entrada de tipo escalon.El desempeño del sistema es medido por el valor de las siguientes grandezas:

Especificación del Sistema Especificación del sistema en dominio del tempo Tiempo de subida: Es definido como el tiempo transcurrido entre 10% y 90% de la respuesta; El tiempo de subida es un indicativo de la velocidad de respuesta del sistema; Tiempo de estabilización (o acomodación): es el tiempo necesario para que la respuesta permanezca con error de 1% o 5% en relación al valor de referencia; Es el tiempo transcurrido; transitorio Máximo sobrepaso (overshoot): suponiendo que el valor de salída ultrapase el valor de referencia, es definido como la máxima diferencia entre la salida y la entrada durante el período transitorio; Tiempo de pico: tiempo transcurrido hasta el sistema presente el máximo sobrepaso.

Acciones Básicas de Control Controlador Proporcional La señal de control u aplicado a cada instante a la planta es proporcional a la amplitud del valor de señal de error e; Reduce los errores de malla cerrada, mas no es capaz de eliminar errores de regimen permanente; Para un sistema de orden superior, la ganancia del controlador proporcional es limitado, pues el aumento puede llevar el sistema a la inestabilidad; Consecuentemente, la reducción de errores es limitada

Acciones Básicas de Control Controlador Proporcional – Integral (PI) Con el controlador PI, la señal de control u es dada por El objetivo de control integral es de eliminar los errores de regimen permanente; La ganancia Ti es llamada RESET TIME, y 1/ Ti es la medida de la velocidad de respuesta y es llamada RESET RATE. Ti es el tiempo necesario para la salida del integrador alcance 1.K con una entrada unitaria. Cabe destacar que con el controlador integral asociado al controlador proporcional, la ley de control u pasa a ser una función de los valores de errores pasados.

Acciones Básicas de Control Controlador Proporcional – Integral - Derivativo (PID) Con el controlador PID, la señal de control u es dada por La estrategia de ajuste de ganancias de controlador PID consiste en aumentar los valores de K y 1/Ti para reducir los errores al máximo, y garantir la estabilidad del sistema aumentando la ganancia Td ; Teóricamente, para un control de velocidad, es posible proyectar las ganancias del controlador para cualquier desempeño; sin embargo, el PID es adecuado para un sistema lineal y la presencia de rozamiento e incertidumbre de parámetros del modelo causan pérdida de desempeño.

Referencia Bibliográfica FRANKLIN, Gene F.; POWELL, I. David; EMANI-NAEINI, Abbas. Feedback control of dynamic and systems. 3.ed. Stanford: Addison – Wesley, 1994.