Dpto. Física Aplicada UCLM CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE DE UN IMÁN CILÍNDRICO CON IMANACIÓN UNIFORME 1. Cilindro con imanación uniforme (cálculo de B, ley de Biot y Savart) 2. Cilindro con imanación uniforme (cálculo de B, potencial escalar magnético) 3. Cilindro con imanación uniforme (cálculo de H) 4. Arandela con imanación uniforme (cálculo de B, ley de Biot y Savart) Antonio J. Barbero Dpto. Física Aplicada UCLM

CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME 1. Determinar el campo magnético en el eje de un cilindro recto imanado, de radio R y altura L, cuya imanación uniforme es .. Representar gráficamente. El cilindro imanado se comporta como una lámina cilíndrica por la que circula una corriente superficial Js cuyo módulo es M0 (A/m) X Y Z Las fuentes del campo B son las cintas de altura dz’ que transportan la corriente superficial Js. Cada una de esas cintas se encuentra a una altura z’ sobre el plano XY, y cada punto de la cinta situada en z’ se encuentra a una distancia del punto donde hay que determinar el campo magnético. (0,0,z) El campo magnético de una espira circular (radio R) que transporta la corriente I en un punto z de su eje es Análogamente el campo creado en z por cada una de las cintas que transportan la corriente M0dz’ es

CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME (Continuación) Representación gráfica del módulo del campo B frente a z/L para distintos valores de R/L El origen z/L = 0 es el polo sur. El imán es la zona gris 0 < z/L < 1.

CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME (Mismo problema, otro punto de vista) 2. Determinar el campo magnético en el eje de un cilindro recto imanado uniformemente, de radio R y altura L, usando el concepto de cargas magnéticas y densidad de polo magnético para determinar el potencial escalar magnético y a partir de ahí el campo B (similitud con el caso electrostático). Considere como dato el momento magnético del imán m (A·m2), siendo la imanación uniforme M0 (A/m) igual al momento magnético por unidad de volumen. Sustituimos el imán por dos polos magnéticos, uno en la cara norte (+) y otro en la cara sur (-), cada uno de ellos con el signo correspondiente y de valor Estos polos magnéticos aportan sobre cada una de las superficies superior e inferior una “densidad superficial de polo” (positiva y negativa, respectivamente) análoga a la densidad superficial de carga en electrostática. Su valor absoluto es el cociente entre el polo p y el área circular de radio R. Observación: el polo magnético p, definido como el cociente m/L, donde m es el momento magnético del imán, es una magnitud escalar, y representa el análogo de la carga eléctrica en electrostática. Las densidades superficiales de polo (análogas a las distribuciones superficiales de carga en electrostática) se pueden considerar como origen de un potencial magnético escalar que puede calcularse, análogamente al potencial electrostático, teniendo en cuenta la simetría circular de las densidades de polo alrededor del eje Z. Así puede determinarse el potencial escalar magnético en cualquier punto del eje sumando las contribuciones de ambos polos, y una vez conocido éste, el campo B se calcula como el menos gradiente de ese potencial magnético (persistimos en la analogía electrostática).

Punto P, potencial escalar magnético a calcular CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME (Mismo problema, otro punto de vista) Polo magnético Densidad de polo Consideraremos que un polo magnético está compuesto por gran número de trapecios circulares de área dS, cada uno de los cuales contiene una fracción de polo ·dS, la cual contribuye al potencial escalar magnético con dV. Análogamente al caso electrostático: (k es aquí la constante magnética) Punto P, potencial escalar magnético a calcular CAMPO MAGNÉTICO B EN EL EJE DEL DISCO CON DENSIDAD DE POLO UNIFORME s Relación entre campo B y potencial escalar magnético (en el eje solo depende de z) 5

CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME (Mismo problema, otro punto de vista) Polo magnético Densidad de polo P Campo B creado por un polo a la distancia z Cálculo del campo B en el punto P: suma de las contribuciones de ambos polos magnéticos Tomamos como origen el polo (-) situado a la distancia z Campo B creado por el polo (-) a la distancia z Campo B creado por el polo (+) a la distancia z-L Suma de ambos: Relación entre la imanación, el momento magnético y la densidad superficial de polo La densidad superficial de polo es igual a la componente de la imanación normal a la superficie. En la parte lateral del imán es nula por ser nula dicha componente normal.

CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME Partiendo del resultado anterior para el campo B, determinar el campo magnético H en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L (imanación constante e igual a . Representar gráficamente para R/L = 0.25 Dentro del imán 0  z/L 1 Fuera del imán Fuera del imán H tiene el mismo sentido que B; dentro tiene sentido contrario.

ARANDELA CON IMANACIÓN UNIFORME Una arandela de espesor e = 0.5 mm está uniformemente imanada en la dirección del eje Z, siendo M0 = 104 A·m-1. Si los radios interior y exterior son respectivamente R1 = 2 cm y R2 = 5 cm, se pide: (a) Discutir (sin cálculos complicados) si el campo magnético B en el centro de la arandela tendrá o no el mismo sentido que el vector imanación M. Puede considerarse que las corrientes de imanación en la arandela, al ser de muy pequeño espesor, se comportan como si fuesen corrientes filamentales. (b) Calcular el campo magnético B en cualquier punto del eje Z. (c) Representar gráficamente el perfil del campo B a lo largo del eje Z. (a) El campo B en cualquier punto del eje vendrá dado por la suma de las contribuciones de las corrientes de imanación . Corrientes volumétricas: Puesto que la imanación es constante, Corrientes superficiales: donde es el vector unitario normal a la superficie en cada punto (sentido saliente) Como en las superficies superior e inferior de la arandela la normal y la dirección del eje Z son paralelos, el producto vectorial es nulo, pues la imanación será o bien paralela o bien antiparalela a la superficie. Los únicos lugares en donde existirán corrientes superficiales de imanación serán los bordes interno y externo de la arandela, en donde la dirección del vector superficie forma un ángulo recto con la dirección de la imanación. En el borde interior el producto vectorial tiene sentido horario visto desde arriba, y en el borde exterior tiene sentido antihorario. Es decir, cada uno de esos dos bordes equivale a una pequeña espira que transporta corriente en sentido contrario a la otra: así que la arandela equivale a un sistema de dos espiras concéntricas con corrientes de sentidos opuestos, por lo que los campos magnéticos producidos en el centro tendrán diferentes sentidos, y uno de ellos será opuesto al sentido del vector imanación.

ARANDELA CON IMANACIÓN UNIFORME (b) Cálculo del campo magnético en un punto genérico del eje vertical No existen corrientes volumétricas de imanación, por ser constante el vector ; tampoco hay corrientes superficiales en las caras superior ni inferior de la arandela, puesto que en esas zonas el producto vectorial de la imanación por el vector superficie local es igual a cero. Las fuentes del campo magnético en un punto genérico (0,0, z) son los elementos de corriente superficial que existen en ambos bordes interior (1) y exterior (2) de la arandela. Borde interior (1) El elemento de superficie que transporta la corriente es interior (1) Vectores de posición en coordenadas cilíndricas: Punto fuente: Punto campo: Ley de Biot y Savart aplicada al borde interior: hay que sumar la contribución de todas las fuentes del campo en el punto exterior (2) 9 Extendemos la integral desde 0 hasta 2p para cubrir todos los valores de .

ARANDELA CON IMANACIÓN UNIFORME (b) Cálculo del campo magnético en un punto genérico del eje vertical interior (1) exterior (2)

ARANDELA CON IMANACIÓN UNIFORME Sobre un periodo completo, las integrales del seno y del coseno son iguales a cero: (b) Cálculo del campo magnético en un punto genérico del eje vertical Borde exterior (2) Elemento de superficie que transporta la corriente interior (1) Vectores de posición en coordenadas cilíndricas: Punto fuente: Punto campo: exterior (2) Ley de Biot y Savart aplicada al borde exterior: hay que sumar la contribución de todas las fuentes del campo en el punto Integral entre 0 y 2p ¡Sentido opuesto al caso anterior!

ARANDELA CON IMANACIÓN UNIFORME (b) Cálculo del campo magnético en un punto genérico del eje vertical Siguiendo los mismos pasos que antes para calcular el campo debido a las corrientes superficiales del borde interior, llegamos al resultado siguiente: Véase que el signo es opuesto, porque la corriente superficial del borde exterior está orientada en sentido contrario a la del borde interior. Campo magnético en el punto (0, 0, z): Para resolución numérica sustitúyanse los datos

ARANDELA CON IMANACIÓN UNIFORME (c) Perfil del campo magnético sobre el eje vertical Tabla de valores en hoja Excel Zona superior Z. central Eje horizontal Zona inferior