Índice Definición Factor común Ejercicios Factor Común en Grupo Trinomio Cuadrado Perfecto Cuatrinomio Cuadrado Perfecto Diferencia de Cuadrados Ejercicios de identificación de los primeros casos de factoreo Divisibilidad – Raíces – Factorización Suma y Resta de Potencias de igual Exponente impar Trinomio de Grado dos Casogeneral de Factoreo – Teorema de Gaus 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS www.pormasmatematica.com.ar Para reconocer una posible factorización, se organizo una serie de CASOS DE FACTOREO cada caso indica las características un polinomio y da la técnica para obtener el un producto que le dio origen CASOS DE FACTOREO: (RAIZ DE UN POLINOMIO, OBTENCIÓN DE RAÍCES, FORMULA RESOLVENTE, REGLA DERUFINI, TEIREMA DE GAUS) El objetivo es: poder representar un polinomio como el producto de varios otros polinomios de menor grado e irreducible Polinomio primo o irreductible Es el que no se puede escribir como producto de dos o más polinomios de grado mayor o igual a uno. FACTOR COMÚN FACTOR COMÚN EN GRUPOS TRINOMIO CUADRADO PERFECTO CUATINOO CUBO PERFECTO DIFERENCIA DE CUADRADOS CASO GENERAL: CONOCIMIENTOS PREVIOS TRANSFORMACIÓN EN PRODUCTO VOLVER

FACTOR COMÚN 𝟑 𝒙 𝟐 . 5 𝑥 3 −2 𝑥 2 +4 15 𝑥 5 −6 𝑥 4 +12 𝑥 2 = Dado un polinomio en donde se encuentre un divisor común entre los coeficientes y/ó en la parte literal tenga la o las mismas variable se podrá sacar el «FACTOR COMÚN» Recuerdas la multiplicación de un monomio por un polinomio, acá tienes un ejemplo: 𝟑 𝒙 𝟐 5 𝑥 3 −2 𝑥 2 +4 = =15 𝑥 5 −6 𝑥 4 +12 𝑥 2 Determinar por que hay que multiplicar al «factor común» para que el producto resulte el polinomio dado 𝟑 .2.𝒙 𝟐 . 𝑥 2 𝟑 .5.𝒙 𝟐 . 𝑥 3 𝟑 .4.𝒙 𝟐 𝟑 .5.𝒙 𝟐 . 𝑥 3 𝟑 .4.𝒙 𝟐 𝟑 .2.𝒙 𝟐 . 𝑥 2 𝟑 𝒙 𝟐 . 5 𝑥 3 −2 𝑥 2 +4 15 𝑥 5 −6 𝑥 4 +12 𝑥 2 = El 𝟑 𝒙 𝟐 es factor de todos los términos 𝒙 𝟐 es la variable que aparece como factor en todos los términos con el «menor» exponente 𝟑 es el «mayor de los divisores» de los coeficientes: 15 , -6 y 12

VOLVER

Ejercicios de fijación 8𝑎 − 4𝑏 + 16𝑐 + 12𝑑 = 4. (2a - b + 4c + 3d ) El FC es el número 4 : El Máximo Común Divisor entre los C _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 7𝑥2 + 11𝑥3 − 4𝑥5 + 3𝑥4 − 𝑥8 = 𝒙𝟐. ( 𝟕 + 𝟏𝟏𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝟔 ) El FC es 𝒙𝟐 : La x elevada al M __ __ __ R exponente con que aparece ( el MCD de los coeficientes es 1) . 9𝑥3 − 6𝑥2 + 12𝑥5 − 18𝑥7 =3𝑥2 (𝟑𝒙 − 𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟓) El FC es 3𝑥2 : El MCD entre los COEFICIETES y la x elevada a la menor potencia 4 3 𝑥 − 8 9 𝑥3 + 16 15 𝑥7 − 2 3 𝑥5 = 𝟐 𝟑 𝒙. ( 𝟐 − 4 3 𝒙𝟐 + 8 5 𝒙𝟔 − 𝒙𝟒) El factor común es 2 3 x: El MCD del numerador sobre el MCD del denominador, y la x a la menor exponte. 9x2ab - 3xa2b3 + x2az =  𝑥𝑎. ( 9𝑥𝑏 - 3𝑎𝑏2  + 𝑥𝑧 ) El factor común es 𝑥a . Las 2 letras que están en todos los términos, con la menor potencia con la que aparecen 8𝑎 4 4𝑏 4 16𝑐 4 12𝑑 4 OEFICI ENTE 7𝑥2 𝑥2 11𝑥3 𝑥2 4𝑥5 𝑥2 3𝑥4 𝑥2 𝑥8 𝑥2 ENO 3𝑥2.6𝑥5 RESOLVER VOLVER

Ejercicios con ejemplo de resolución: Dado el factor común, completa el polinomio 14 𝑥 4 −35𝑥−7 𝑥 2 = 7𝑥. − − 15 +20𝑥 −35 𝑥 2 =5 . + − 18 𝑥 5 +12 𝑥 3 −6 𝑥 2 +30 𝑥 4 =6 𝑥 2 . + − + Factorear 8 𝑥 5 + 𝑥 3 −6 𝑥 4 = 11 𝑥 4 +22 𝑥 3 −6 6𝑥 2 +3𝑥= 12 𝑥 5 +24 𝑥 3 −16 𝑥 2 +40= Para saber por que se multiplicó se calcula el cociente 14 𝑥 4 7𝑥 =2 𝑥 3 7 𝑥 2 7𝑥 =𝑥 2 𝑥 3 5 𝑥 35𝑥 7𝑥 =5 VOLVER

FACTOR COMÚN EN GRUPOS . Se determinan los grupos 4 𝑎 + 4 𝑏 + 𝑥 𝑎 + 𝑥 𝑏 = Se le halla el factor común a cada grupo 4 . 𝑎 + 𝑏 + x . 𝑎 + 𝑏 Los factores que acompañan al factor común deben ser «iguales» 𝑎 + 𝑏 . 4 + 𝑥 Resulta que los polinomios de los paréntesis son Factor común VOLVER

Ejercicios: Completa los pasos hasta obtener el factoreo de los polinomios dado FC en cada grupo 4a +  4b  +  xb  +  xa = 4.(a + b) +  x.( ) = ……………….………… 2a − 4b − xa + 2xb = 4 . (a − 2b) + x.(− a + 2b) 4.(a − 2b) − x. (a − 2b) = ………………………. FC: FC: 4 FC: 𝑥 FC: b + a Los polinomios de los paréntesis tienen que ser iguales. Los ( ) resultan FC (a + b).( 4 + x ) Se le cambia el signo al factor común y al polinomio que lo multiplica así nos queda dos términos donde los polinomios encerrados entre ( ) son FC : (a − 2b) .( 4 – x ) RESOLVER VOLVER

Ejercicios con ejemplo de resolución: Seguir el paso a paso 2 𝑥 3 + 𝑥 2 +10𝑥+5= = 𝑥 2 . 2𝑥+1 +5. 2𝑥+1 = = 2𝑥+1 . 𝑥 2 +5 Agrupar 15 𝑥 3 −9 𝑥 2 +5𝑥−3 = 3𝑥 2 . 𝟓𝑥−𝟑 +1. 𝟓𝑥−𝟑 = = 𝟓𝑥−𝟑 . 3𝑥 2 +1 FC: 𝑥 2 FC: 5 Identificar el FC FC: 3𝑥 2 FC: 1 Extraer en c/grupo el FC FC: 2𝑥+1 Controlar y lograr que los paréntesis sean iguales FC: 𝟓𝑥−𝟑 Finalmente sacar como FC el = Factorear 8 𝑥 5 + 4𝑥 3 −6 𝑥 2 −3= 11𝑥𝑎−22𝑎− 𝑥 2 +2𝑥= 𝑥 5 + 𝑥 3 + 𝑥 2 +1= RESOLVER VOLVER

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 𝐴+𝐵 2 𝐴+𝐵 2 = 𝐴+𝐵 . 𝐴+𝐵 Se entendió? Porque enloqueció la Profesora? Conoces la respuesta correcta? IMPORTANTE RECORDAR «La Potenciación NO se Distribuye» 2+5 2 = 7 2 =49 mientras que 2 2 + 5 2 =4+25=29 por lo tanto 2+5 2 2 2 + 5 2 𝐴 2 +𝐴𝐵 +AB + 𝐵 2 𝐴 2 +2𝐴𝐵 + 𝐵 2 CUADRADO DEL PRIMER MONOMIO + CUADRADO DEL SEGUNDO MONOMIO + 2VECES EL PRIMERO POR EL SEGUNDO TRINOMIO CUADRADO PERFECTO ≠ VOLVER

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Cuadrado de Binomio 𝐴 2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵 2 = 𝐴+𝐵 2 Cuadrado del primero Dos veces primero por segundo Cuadrado del segundo Trinomio Cuadrado Perfecto 9 𝑥 2 +24𝑥+16 2 𝟑𝒙 𝟒 𝟒 2 Cuadrado de Binomio 𝟑𝒙 2 2 . 𝟑𝒙 𝟒 Trinomio Cuadrado Perfecto VOLVER

EJEMPLO DADO UN TRINOMIO 4 𝑥 6 −20𝑥+25= Obtener la base del cuadrado, calculándole la 2 Identificar cuales son los términos cuadráticos 1 𝟐 𝒙 𝟑 2 𝟓 2 Verificar que coincida con el tercer término 4 2 𝟐 𝒙 𝟑 . 5 Calcular el doble producto 3 Así se ha comprobado que se trata de un TCP 6 = 𝟐 𝒙 𝟑 −𝟓 2 Si el tercer término es ( − ), cambiarle el signo a una de las bases 5 Se arma el binomio que se elevó al cuadrado 7 2 𝟑𝒙 𝟓 49 𝑥 4 +28 𝑥 2 +4= 2 𝟕 𝒙 𝟐 𝟐 9 𝑥 2 − 30𝑥+ 25= 𝟑𝒙 2 𝟓 2 𝟕 𝒙 𝟐 2 𝟐 2 2 𝟑𝒙 . 𝟓 2 𝟕 𝒙 𝟐 . 𝟐 RESOLVER VOLVER

Ejercicios para completar los TCP y factorearlos 16 𝑥 2 + + 81 = + 2 25 𝑥 2 + 30𝑥 + = 5𝑥 + 2 121 − + = 7 𝑥 3 2 9𝑥 4 + = − 1 2 2.𝟒𝒙.𝟗 𝟕𝟐𝒙 𝟒𝒙 9 16 𝑥 2 =𝟒𝒙 81 =𝟗 TCP 𝟗 𝟑 2. 𝟓𝒙 . =30𝑥 𝟑 𝟑 𝟐 =𝟗 11 2. . 7 𝑥 3 𝟏𝟓𝟒 𝒙 𝟑 𝟏𝟏 𝟒𝟗 𝒙 𝟔 𝟕 𝒙 𝟑 2 = 𝟒𝟗 𝒙 𝟔 121 =𝟏𝟏 −𝟔 𝒙 𝟐 2. . −𝟏 𝟑𝒙 𝟐 𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 9 𝑥 4 =𝟑 𝒙 𝟐 −𝟏 𝟐 =𝟏 RESOLVER VOLVER

CUATINOMIO CUBO PERFECTO (𝑎+𝑏) 3 Cubo de Binomio 𝐴+𝐵 3 = 𝐴 3 + 3 𝐴 2 𝐵 + 3𝐴 𝐵 2 + 𝐵 2 Cubo del primero Tres veces primero al cuadrado por segundo Tres veces primero por segundo al cuadrado Cuadrado del segundo 𝑎 3 + 3 𝑎 2 𝑏 + 3𝑎 𝑏 2 + 𝑏 3 Cuatrinomio cubo Perfecto 𝑥 3 +6 𝑥 2 +12𝑥+8 3 𝒙 𝟐 Cubo de Binomio 𝟐 3 𝒙 3 3 . 𝒙 2 𝟐 3 . 𝒙 𝟐 2 Trinomio Cuadrado Perfecto VOLVER

Ejercicios: Analiza los siguientes cuatrinomios y dar su factoreo en caso de se cubos perfectos 𝟑 𝟐 8𝑥 3 +18 𝑥 2 +27𝑥+ 27 8 3 𝒙 𝑥 6 − 15𝑥 4 +75𝑥−125 3 𝒙 𝟐 −𝟓 𝟑 𝟐 3 𝒙 𝟐 3 −𝟓 3 𝟐𝒙 3 3 . 𝟐𝒙 2 𝟑 𝟐 3 . 𝒙 𝟐 2 −𝟓 3 . 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 2 3 . 𝒙 𝟐 −𝟓 2 −𝑥 6 − 3𝑥 4 − 3𝑥− 1 3 −𝒙 𝟐 −𝟏 −𝑥 15 +18 𝑥 10 −108𝑥+216 3 𝒙 𝟓 +6 𝒙 𝟐 3 −𝟏 3 −𝒙 𝟓 3 6 3 3 . 𝒙 𝟐 2 −𝟏 3 . −𝒙 𝟓 2 𝟔 3 . 𝒙 𝟐 −𝟏 2 3 . − 𝒙 𝟓 𝟔 2 RESOLVER VOLVER