Técnicas de Modulación Analógica MODULACIÓN EN AMPLITUD

Sistemas de comunicaciones en Banda Base Los sistemas de comunicaciones en banda base se caracterizan por el hecho de que la información es transmitida en la banda de frecuencias en la que es generada la señal. Por ejemplo una conversación entre dos personas. ¿Qué ventajas y desventajas tiene esta sistema?

Teorema de Traslación en Frecuencia El teorema de traslación en frecuencia, establece que la multiplicación de una señal f(t) por una señal sinusoidal de frecuencia c, traslada su espectro de frecuencia en  c radianes. Consideremos el esquema de la figura X f(t) Cos(wct) f(t).Cos(wct)

Teorema de Traslación en Frecuencia Sea F [f(t)]=F(), la transformada de Fourier de la función f(t). Si aplicamos la transformada de Fourier a la entrada portadora considerando una función seno o coseno, se tienen los siguientes resultados: Ver Fig.

Espectro de Frecuencia de Seno y Coseno w +wc -wc F(Cos wct) Señal Portadora

Teorema de Traslación en Frecuencia Gráficamente, se puede tener el análisis

Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida (DSB-SC) Esta técnica de modulación analógica, tiene como característica que la amplitud de la portadora Ac no modulada y denotada por la ecuación: Ac cos (ct + c) se varía en proporción a la señal de banda base o señal moduladora. En estas condiciones, se mantienen constantes c y c. El espectro de frecuencia de la señal modulante se desplaza hasta el valor de c.

Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida (DSB-SC) f(t) cos(Wc.t) f(t).cos(Wc.t) Espectro de frecuencias de señal modulante, portadora y señal AM con portadora suprimida

Podemos obtener las siguientes observaciones: Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida (DSB-SC) Podemos obtener las siguientes observaciones: La señal f(t) se denomina MODULANTE y es la que contiene la información que se desea transmitir. La señal Cos(ct) es la PORTADORA, la cual determina la frecuencia a la cual va a ser trasladado el espectro de frecuencia. El espectro de f(t).cos(ct) no contiene portadora. El espectro de la moduladora es simétrico respecto al eje “y”, es decir, la información al lado derecho es igual al del lado izquierdo.

Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida (DSB-SC) El espectro de f(t).cos(c t) contiene dos bandas laterales para c. La banda a la derecha de +c se denomina banda lateral superior (B.L.S.) y la de la izquierda banda lateral inferior (B.L.I.). Para la frecuencia -c el tratamiento es análogo, es decir, la banda a la derecha de -c se denomina banda lateral inferior (B.L.I.) y la de la izquierda banda lateral superior (B.L.S.). El ancho de banda de la señal modulada es el doble del ancho de banda de la señal moduladora. Este tipo de modulación se denomina Modulación de Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida ( del inglés, DSB-SC).

Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida (DSB-SC) w +wm -wm F(w) +wc -wc |F(w)| Señal Modulante Señal Portadora Señal Modulada wc+wm wc-wm F(w+wc)/2 F(w-wc)/2 BLI BLS B=(wc+wm)-(wc-wm) B=2wm

Demodulación de DSB-SC Considere el diagrama de la figura siguiente y los elementos que la componen: ¿Que describe cada uno de los elementos? Portadora, Modulante, Modulador balanceado, señal modulada y sus características, filtro pasa bajo y salida.

Demodulación de DSB-SC ANÁLISIS: Sea la señal modulada AM(t) = f(t)cos(wct) . Si AM(t) se multiplica por cos(wct) se tiene: Haciendo uso de identidades trigonométricas: Y aplicando propiedades de transformada de Fourier:

Demodulación de DSB-SC

Demodulación de DSB-SC Este proceso de demodulación, recibe el nombre de detección síncrona o coherente, pues utiliza la misma frecuencia de la portadora y con la misma fase. Si la frecuencia en el receptor no corresponde con la frecuencia del transmisor, la señal tendrá añadida un porcentaje de error. Para garantizar la sincronización entre transmisor y receptor, comúnmente se utiliza el procedimiento de transmitir una portadora piloto (fracción de la portadora del transmisor), la cual se detecta en el receptor por medio de un filtro, se amplifica y se usa entonces como portadora en el receptor.

Ejercicio de AM Una portadora de 100 Khz es modulada en un modulador balanceado ideal que produce un DSB-SC por una señal de multitono, X(t) = 10 cos 2π 103t +8 cos 4π 103 t Por inspección liste las frecuencias a la salidad del modulador Desarrolle una expresión para la salida DSB. Asume la portadora una función coseno normalizada Grafique el espectro para le entrada y a la salida

Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Gran Portadora (DSB-LC). Una manera de evitar dificultades en la demodulación de una señal de AM con portadora suprimida, es enviar junto con la señal modulada, una portadora de gran potencia, lo cual elimina la necesidad de tener que generar la portadora en el receptor con igual frecuencia y fase que la usada en el transmisor. *

Ejercicio de AM Sea la señal AM con modulación sinusoidal de la Fig. (a) Determine su índice de modulación (b) Dibuje su espectro para f c 1600 Hz y fm 100 Hz.

Ejercicio de AM (II) Calcular el rendimiento de transmisión [(potencia util)/Potencia Total)] (c) ¿En cuánto hay que aumentar (o disminuir) la amplitud de la portadora para que su índice de modulación sea del 10%?

Ejercicio en grupo

Técnicas de Modulación Analógica MODULACIÓN EN FRECUENCIA

Sumario Frecuencia de una señal periódica y frecuencia instantánea. Modulación de fase (PM) y Modulación de frecuencia (FM). Determinación de la frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia. Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia cuando la modulante es una señal senusoidal. Espectro de frecuencia de una señal modulada en frecuencia. Potencia asociada a una señal con modulación de ángulo.

Frecuencia de una señal periódica y frecuencia instantánea Una señal periódica es aquella que se repite cada T segundos. Por ejemplo, se puede representar por la expresión: La Frecuencia puede ser lineal (f) o angular (w).

Justificación del uso de la Modulación de Frecuencia En la modulación AM la información se coloca en la amplitud de la señal portadora. Esto es un inconveniente a la hora de recuperar la información pues la misma se contamina fácilmente con el ruido que se agrega en la amplitud. Ante este es posible hacer varia la frecuencia de la señal y mantener constante la amplitud, dando origen a la FM.

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia Sea la ecuación: Si en la ecuación anterior se considera que el ángulo de fase no es constante sino que puede ser considerado como una función del tiempo, se tiene: Al hacer variar φ(t) en esta ecuación, se tendrá una dependencia del tiempo “t” de la fase de la ecuación. Se tiene en este caso una señal modulada en ángulo.

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia Consideremos la ecuación: donde kp es constante y m(t) es la modulante, entonces la señal modulada es: Fase de la señal Esta ecuación representa una señal modulada en fase y se denota como gPM(t)

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia El índice de modulación de la señal modulada en fase se puede determinar como: El índice de modulación representa la máxima desviación de fase que puede darse a la función gPM(t) y está dado por el valor máximo de la amplitud de la modulante por la constante kP

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia Considere ahora que (t) está dado como la integral de la función m(t), entonces se tiene: Como vimos previamente: Si se remplaza por la ecuación previa, se tiene: Esta ecuación representa la señal modulada en frecuencia y se denota por gFM(t)

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia El índice de modulación de la señal modulada en frecuencia se determina por: El índice de modulación está dado por el máximo valor positivo de la integral de la modulante por el factor de escala kf

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia En resumen, se tiene que las ecuaciones que definen las técnicas de modulación angular y su índice de modulación son: Técnica Ecuación Índice de Modulación MODULACIÓN EN FASE MODULACIÓN EN FRECUENCIA

Ejercicio de FM Una señal modulada en FM esta dada por :Y(t) = 100 cos( 2π* 108 t + 20 sen 2π*103 t), determine: a) La frecuencia de la portadora sin modular b) la frecuencia moduladora en Hertz c) índice de modulación β d) La máxima desviación de frecuencia en Hz. e) La potencia de la señal disipada en una resistencia de 50 ohmios.  

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia Considérese la ecuación: Si se toma que (t)=wct + (t), se tiene: La frecuencia instantánea de la ecuación anterior, se define como: Esta ecuación expresa que la frecuencia instantánea es igual a la variación respecto al tiempo del ángulo de la función

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia Aplicando este criterio a la modulación en fase se tiene: Esta ecuación permite determinar la frecuencia instantánea para una señal modulada en fase

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia Representación gráfica de una señal modulada en FASE. Cuando la modulante va de – a + su derivada es positiva, siendo la frecuencia máxima. Cuando la modulante va de + a - su derivada es negativa, siendo la frecuencia mínima.

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia De igual forma para la modulación en frecuencia se tiene: Esta ecuación permite determinar la frecuencia instantánea para una señal modulada en frecuencia.

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia Representación gráfica de una señal modulada en FRECUENCIA Cuando la modulante tiene su máximo “+” su frecuencia es máxima. Cuando la modulante tiene su máximo “-” su frecuencia es mínima.

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia Conclusión: Al comparar las dos ecuaciones se establece que en la modulación de fase, la frecuencia instantánea varía linealmente con la derivada de la señal modulante, mientras que en la modulación en frecuencia, la frecuencia instantánea varía linealmente con la señal modulante. Modulación de Fase Modulación de Frecuencia

Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Hasta ahora, el análisis matemático para la modulación en fase y en frecuencia se ha realizado en función de una señal modulante genérica, llamada : Se considerará a continuación para el análisis, una señal particular y a través de ella, realizar el análisis espectral correspondiente que permita tener una clara idea de cómo se presenta el espectro de la señal modulada en fase y en frecuencia.

Ecuación de PM cuando la modulante es una onda senusoidal Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Considérese, que la señal modulante es: Reemplazando por la modulante dada, se tiene: Como: Entonces reemplazando, se tiene: Ecuación de PM cuando la modulante es una onda senusoidal

Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Considérese, que la señal modulante es: Como: Reemplazando la modulante, tiene: Al resolver la integral se tiene:

Ecuación de FM cuando la modulante es una señal senusoidal Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Ya que el máximo valor de m es: La expresión final es: Ecuación de FM cuando la modulante es una señal senusoidal

Índice de modulación para modulación en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Según se vió, la frecuencia instantánea de una señal modulada está dada por: Si consideramos como modulante la señal: entonces:

Índice de modulación para modulación en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Factorizando, se tiene: El valor máximo que puede tomar el miembro derecho de la ecuación, es kf m0, por tanto: (Ec. 1) Sea, y como Integrando se tiene:

Índice de modulación para modulación en fase y en frecuencia con modulante senusoidal Reemplazando en la Ec. 1, se tiene: Finalmente: La ecuación anterior permite determinar la desviación de frecuencia angular de la señal modulada en frecuencia cuando la modulante es una señal senusoidal. Representa el índice de modulación para FM

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM Friedrich Wilhelm Bessel Teoría de las Funciones de BESSEL Normalmente para trabajar con las funciones de Bessel no hay que hacer todos los engorrosos cálculos. Al contrario, es muy simple empleando las tablas ya calculadas, llamadas TABLAS DE BESSEL. Propiedades de las funciones de BESSEL: Elemento Descripción Son de valor real Para n PAR Para n IMPAR

Generación de Señales Moduladas en Angulo Índice de Modulación Representa la Portadora de la señal Modulada Desde J1 Hasta J15 representan las bandas laterales Funciones de Bessel para valores de n = 0 a n = 15 FUNCIÓN DE BESSEL Portadora ORDEN DE LA FUNCIÓN J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10 J11 J12 J13 J14 J15 1,00 ~ 0,1 0,05 0,2 0,99 0,10 0,25 0,98 0,12 0,01 0,5 0,94 0,24 0,03 0,75 0,86 0,35 0,07 1 0,77 0,44 0,11 0,02 1,5 0,51 0,56 0,23 0,06 2 0,22 0,58 0,13 2,4 0,00 0,52 0,43 0,20 3 -0,26 0,34 0,49 0,31 0,04 4 -0,40 -0,07 0,36 0,28 5 -0,18 -0,33 0,39 0,26 6 0,15 -0,28 -0,24 7 0,30 -0,30 -0,17 0,16 8 0,17 -0,11 -0,29 0,19 0,32 9 -0,09 0,14 -0,27 -0,06 0,33 0,21 10 -0,25 -0,22 -0,23 -0,01 0,29 11 -0,02 -0,20 12 -0,08 0,18 0,27 13 -0,12 -0,14 14 -0,15 0,08 0,09 15 -0,19 Para este índice de modulación la portadora se hace CERO ! A mayor índice de Modulación, mayor numero de Bandas Laterales

TALLER DE FM   Una señal de FM tiene una desviación de frecuencia de 3 Khz y una frecuencia moduladora de un 1Khz. Su potencia total es de 5 Kw, desarrollada a través de una carga resistiva de 50 ohmios. La frecuencia de la portadorta es de 160 Mhz. Calcule el voltaje RMS de la señal Calcule el voltaje RMS a la frecuencia de la portadora a cada una de las tres primeras bandas laterales. Para las tres primeras bandas laterales, calcule la frecuencia de cada banda lateral.

Potencia promedio de señales moduladas en ángulo y Ec. 51 Considerando la ortogonalidad de la función coseno, el valor cuadrático medio de la suma es igual a la suma de los valores cuadráticos medios, por lo cual: pero

Potencia promedio de señales moduladas en ángulo Obteniendo finalmente que: El valor cuadrático medio de cada banda lateral es: El valor cuadrático medio es igual a la potencia promedio si se considera como resistencia R = 1 Ohm. Las bandas laterales o la portadora se pueden hacer tan pequeñas como se desee eligiendo el índice de modulación  apropiado.

TALLER DE FM d. Calcule la potencia de la a la frecuencia de la portadora y a cada una de las frecuencias de bandas laterales determinadas en el literal c e. Determine que porcentaje de la potencia de señal total representan los componentes descritos anteriormente. f. Trace la señal en el dominio de la frecuencia, como se veria en el analizador de espectro. La escala vertical debe ser la potencia en dBm y la escala horizontal la frecuencia.

Estimación de Potencia en portadora y las bandas laterales Análisis espectral para una señal modulada en frecuencia para diferentes índices de modulación.

Ejercicio en grupo Un transmisor FM se modula con una sinoide simple. La salida sin modular es de 100 W en una carga resistiva de 50 ohmios. Cuidadosamenete se aumenta, desde cero, la desviación de frecuencia pico hasta que la amplitud de la primera banda lateral a la salida es cero. Bajo estas condiciones, determinar a)la potencia media en la frecuencia portadora; b)la potencia media en las restantes bandas laterales c) la potencia media en las bandas laterales de segundo orden.