Olimpiada Mátemática SAEM Thales Fase Provincial 09 de Marzo de 2019 Fase Regional 09 al 12 de Mayo de 2019

Problema nº 1: La contraseña A Miguel le regalaron una tableta por su cumpleaños y para evitar que nadie pueda usarla se inventó una contraseña de cinco cifras. Por si acaso se olvidaba de ella, escribió las siguientes pistas en un WhatsApp que le envió a Sagrario, su amiga de confianza: Todas sus cifras son números impares. La suma de sus cifras es 25. La primera cifra es la diferencia entre el doble de la quinta cifra menos la cuarta cifra. La cuarta cifra es un múltiplo de tres. El mínimo común múltiplo de la segunda y la quinta cifra es 15. La contraseña es el menor número que cumple las condiciones anteriores.   Lo peor ha ocurrido, se olvidó de la contraseña. Ayuda a Miguel recuperando su contraseña. Razona tu respuesta. Solución

Analicemos las pistas: SOLUCIÓN del Problema 1 Analicemos las pistas: · Todas sus cifras son nº impares Eso excluye al 2, 4, 6, 8 y 0 1 2 3 · La suma de sus cifras es 25 Por lo que a + b + c + d + e = 25 4 5 6 · La 1ª cifra es la diferencia entre el doble de la 5ª cifra menos la 4ª cifra a = 2e - d 7 8 9 · La cuarta cifra es un múltiplo de tres d = 3 o d = 9 ya que 6 es par · El mínimo común múltiplo de la segunda y la quinta cifra es 15 Hay dos posibilidades: b = 3 y e = 5 o b = 5 y e = 3 Llamemos a cada uno de los dígitos de la contraseña con las letras a, b, c, d y e · La contraseña es el menor número que cumple las condiciones anteriores. Esta pista nos servirá para descartar si hay más de una posibilidad. Enunciado

73735 SOLUCIÓN del Problema 1 Enunciado 7 3 7 3 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Resumen 7 3 7 3 5 Excluidos el 2, 4, 6, 8 y 0 a + b + c + d + e = 25 1 2 3 a = 2e - d d = 3 o d = 9 ya que 6 es par 4 5 6 b = 3 y e = 5 o b = 5 y e = 3 7 8 9 73735 1ª POSIBILIDAD b = 3 y e = 5 Supongamos d = 3 Así, a = 2·5 – 3 = 7 Por lo que para que sus cifras sumen 25: 7 + 3 + c + 3 + 5 = 25  c = 7 Enunciado

13795 SOLUCIÓN del Problema 1 Enunciado 1 3 7 9 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Resumen 1 3 7 9 5 Excluidos el 2, 4, 6, 8 y 0 a + b + c + d + e = 25 1 2 3 a = 2e - d d = 3 o d = 9 ya que 6 es par 4 5 6 b = 3 y e = 5 o b = 5 y e = 3 7 8 9 13795 2ª POSIBILIDAD b = 3 y e = 5 Supongamos d = 9 Así, a = 2·5 – 9 = 1 Por lo que para que sus cifras sumen 25: 1 + 3 + c + 9 + 5 = 25  c = 7 Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 1 Enunciado Resumen 3 5 3 3 Excluidos el 2, 4, 6, 8 y 0 a + b + c + d + e = 25 1 2 3 a = 2e - d d = 3 o d = 9 ya que 6 es par 4 5 6 b = 3 y e = 5 o b = 5 y e = 3 7 8 9 IMPOSIBLE 3ª POSIBILIDAD b = 5 y e = 3 Supongamos d = 3 Así, a = 2·3 – 3 = 3 Por lo que para que sus cifras sumen 25: 3 + 5 + c + 3 + 3 = 25  c = 11 IMPOSIBLE porque tiene más de 1 dígito Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 1 Enunciado Resumen 5 9 3 Excluidos el 2, 4, 6, 8 y 0 a + b + c + d + e = 25 1 2 3 a = 2e - d d = 3 o d = 9 ya que 6 es par 4 5 6 b = 3 y e = 5 o b = 5 y e = 3 7 8 9 4ª POSIBILIDAD IMPOSIBLE b = 5 y e = 3 Supongamos d = 9 Así, a = 2·3 – 9 = -3 IMPOSIBLE ya que un dígito no puede ser un número negativo Enunciado

La contraseña de Miguel es 13795 SOLUCIÓN del Problema 1 Hemos encontrado dos posibles contraseñas 73735 y 13795 Como la última pista decía que la contraseña era el menor número que cumplía todas las condiciones La contraseña de Miguel es 13795 Hemos encontrado la solución, pero ¿habrá más formas de conseguirla? Enunciado

Olimpiada Mátemática SAEM Thales GRACIAS por vuestra atención