DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTALES MAGISTER: DANIEL SAENZ CONTRERAS CANDIDATO A DOCTOR EN EDUCACION

DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DERIVADA DE LA FUNCIÓN SENO Sea la función Seno definida por 𝒇 𝒙 =𝑺𝒆𝒏(𝒙), como la función seno es una función continua se tiene 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑆𝑒𝑛 𝑥+∆𝑥 −𝑆𝑒𝑛(𝑥) ∆𝑥 Por identidades trigonométricas 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 ∆𝑥 +𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑆𝑒𝑛(∆𝑥)−𝑆𝑒𝑛(𝑥) ∆𝑥

𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 ∆𝑥 −𝑆𝑒𝑛(𝑥) +𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑆𝑒𝑛(∆𝑥) ∆𝑥 Agrupando términos 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 ∆𝑥 −𝑆𝑒𝑛(𝑥) +𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑆𝑒𝑛(∆𝑥) ∆𝑥 factorizando 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 ∆𝑥 −1 +𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑆𝑒𝑛(∆𝑥) ∆𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = ∆ lim 𝑥→0 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 ∆𝑥 −1 ∆𝑥 + 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑆𝑒𝑛(∆𝑥) ∆𝑥

La derivada de la función Seno es igual a la función Coseno Por propiedades de los limites 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 lim ∆𝑥→0 𝐶𝑜𝑠 ∆𝑥 −1 ∆𝑥 +𝐶𝑜𝑠 𝑥 lim ∆𝑥→0 𝑆𝑒𝑛(∆𝑥) ∆𝑥 Por limites trigonométricos 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =𝑆𝑒𝑛(𝑥)(0) +𝐶𝑜𝑠 𝑥 (1) La derivada de la función Seno es igual a la función Coseno 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =𝐶𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑖 𝑓 𝑥 =𝑆𝑒𝑛𝑈, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑈 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥 Generalizando la derivada 𝑠𝑖 𝑓 𝑥 =𝑆𝑒𝑛𝑈, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑈 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥 La derivada de la función Seno es igual a la función Coseno multiplicada por la derivada del ángulo 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 𝐶𝑜𝑠𝑈

𝑠𝑖 𝑓 𝑥 =𝑆𝑒𝑛(2 𝑥 2 ) 𝑈=2 𝑥 2 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑈 / =4𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 𝐶𝑜𝑠𝑈 Ejemplo 𝑠𝑖 𝑓 𝑥 =𝑆𝑒𝑛(2 𝑥 2 ) 𝑈=2 𝑥 2 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑈 / =4𝑥 Remplazando en la derivada de la función seno 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 𝐶𝑜𝑠𝑈 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =4𝑥𝐶𝑜𝑠(2 𝑥 2 )

𝑠𝑖 𝑓 𝑥 =𝑆𝑒𝑛(4 𝑥 3 +2 𝑥 2 ) 𝑈=4 𝑥 3 +2 𝑥 2 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑈 / =12 𝑥 2 +4𝑥 Ejemplo 𝑠𝑖 𝑓 𝑥 =𝑆𝑒𝑛(4 𝑥 3 +2 𝑥 2 ) 𝑈=4 𝑥 3 +2 𝑥 2 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑈 / =12 𝑥 2 +4𝑥 Remplazando en la derivada de la función seno 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 𝐶𝑜𝑠𝑈 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =(12 𝑥 2 +4𝑥)𝐶𝑜𝑠(4 𝑥 3 +2 𝑥 2 )

DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSENO Sea la función Seno definida por 𝒇 𝒙 =𝑪𝒐𝒔(𝒙), como la función coseno es una función continua se tiene 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝐶𝑜𝑠 𝑥+∆𝑥 −𝐶𝑜𝑠(𝑥) ∆𝑥 Por identidades trigonométricas 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠 ∆𝑥 −𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑆𝑒𝑛(∆𝑥)−𝐶𝑜𝑠(𝑥) ∆𝑥

𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠 ∆𝑥 −𝐶𝑜𝑠(𝑥) −𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑆𝑒𝑛(∆𝑥) ∆𝑥 Agrupando términos 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠 ∆𝑥 −𝐶𝑜𝑠(𝑥) −𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑆𝑒𝑛(∆𝑥) ∆𝑥 factorizando 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠 ∆𝑥 −1 −𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑆𝑒𝑛(∆𝑥) ∆𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠 ∆𝑥 −1 ∆𝑥 − 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑆𝑒𝑛(∆𝑥) ∆𝑥

La derivada de la función Coseno es igual a menos la función Seno Por propiedades de los limites 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 𝑥 lim ∆𝑥→0 𝐶𝑜𝑠 ∆𝑥 −1 ∆𝑥 −𝑆𝑒𝑛 𝑥 lim ∆𝑥→0 𝑆𝑒𝑛(∆𝑥) ∆𝑥 Por limites trigonométricos 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =𝐶𝑜𝑠 𝑥 0 −𝑆𝑒𝑛 𝑥 (1) La derivada de la función Coseno es igual a menos la función Seno 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =−𝑆𝑒𝑛𝑥

𝑠𝑖 𝑓 𝑥 =𝐶𝑜𝑠𝑈, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑈 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥 Generalizando la derivada 𝑠𝑖 𝑓 𝑥 =𝐶𝑜𝑠𝑈, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑈 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥 La derivada de la función Coseno es igual a menos la función Seno multiplicada por la derivada del ángulo 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =− 𝑈 / 𝑆𝑒𝑛𝑈

𝑠𝑖 𝑓 𝑥 =𝐶𝑜𝑠(4 𝑥 2 +5) 𝑈=4 𝑥 2 +5 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑈 / =8𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = −𝑈 / 𝑆𝑒𝑛𝑈 Ejemplo 𝑠𝑖 𝑓 𝑥 =𝐶𝑜𝑠(4 𝑥 2 +5) 𝑈=4 𝑥 2 +5 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑈 / =8𝑥 Remplazando en la derivada de la función coseno 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = −𝑈 / 𝑆𝑒𝑛𝑈 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =−8𝑥𝑆𝑒𝑛(4 𝑥 2 +5)

𝑠𝑖 𝑓 𝑥 =𝐶𝑜𝑠( 𝑥 3 + 𝑥 2 ) 𝑈= 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑈 / =3 𝑥 2 +2𝑥 Ejemplo 𝑠𝑖 𝑓 𝑥 =𝐶𝑜𝑠( 𝑥 3 + 𝑥 2 ) 𝑈= 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑈 / =3 𝑥 2 +2𝑥 Remplazando en la derivada de la función coseno 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =− 𝑈 / 𝑆𝑒𝑛𝑈 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =− 3 𝑥 2 +2𝑥 𝑆𝑒𝑛( 𝑥 3 + 𝑥 2 )

𝑑𝑓 𝑑𝑥 = (𝑆𝑒𝑛𝑈) / 𝐶𝑜𝑠𝑈− (𝐶𝑜𝑠𝑈) / 𝑆𝑒𝑛𝑈 𝐶𝑜𝑠𝑈 2 DERIVADA DE LA FUNCIÓN TANGENTE Sea la función Seno definida por 𝒇 𝒙 =𝑻𝒂𝒏(𝑼), como la función tangente se define como el cociente entre la función seno y la función coseno, entonces para deducir su derivada aplicamos la regla del cociente 𝑓 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛𝑈 𝐶𝑜𝑠𝑈 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = (𝑆𝑒𝑛𝑈) / 𝐶𝑜𝑠𝑈− (𝐶𝑜𝑠𝑈) / 𝑆𝑒𝑛𝑈 𝐶𝑜𝑠𝑈 2

𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 𝐶𝑜𝑠𝑈𝐶𝑜𝑠𝑈−(− 𝑈 / 𝑆𝑒𝑛𝑈)𝑆𝑒𝑛𝑈 𝐶𝑜𝑠𝑈 2 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 𝐶𝑜𝑠 2 𝑈+ 𝑈 / 𝑆𝑒𝑛 2 𝑈 𝐶𝑜𝑠𝑈 2 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 𝐶𝑜𝑠 2 𝑈+ 𝑆𝑒𝑛 2 𝑈 𝐶𝑜𝑠𝑈 2

𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 1 𝐶𝑜𝑠𝑈 2 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 1 𝐶𝑜𝑠𝑈 2 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 𝑆𝑒𝑐 2 𝑈 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 1 𝐶𝑜𝑠𝑈 2 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 1 𝐶𝑜𝑠𝑈 2 La derivada de la función Tangente es igual al cuadrado de la función Secante multiplicada por la derivada del ángulo 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 𝑆𝑒𝑐 2 𝑈

𝑓 𝑥 =𝐶𝑜𝑡𝑈 𝑓 𝑥 =𝑆𝑒𝑐𝑈 𝑓 𝑥 =𝐶𝑠𝑐𝑈 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =− 𝑈 / 𝐶𝑠𝑐 2 𝑈 Siguiendo procedimientos similares a los aplicados para determinar la derivada de la tangente, se obtiene las expresiones de las derivadas de las restantes funciones trigonométricas Función Derivada 𝑓 𝑥 =𝐶𝑜𝑡𝑈 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =− 𝑈 / 𝐶𝑠𝑐 2 𝑈 𝑓 𝑥 =𝑆𝑒𝑐𝑈 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 𝑆𝑒𝑐𝑈𝑇𝑎𝑛𝑈 𝑓 𝑥 =𝐶𝑠𝑐𝑈 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =− 𝑈 / 𝐶𝑠𝑐𝑈𝐶𝑜𝑡𝑈

𝑓 𝑥+∆𝑥 = 𝑒 𝑥+∆𝑥 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥+∆𝑥 − 𝑒 𝑥 Derivada de la función exponencial Sea 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑓 𝑥+∆𝑥 = 𝑒 𝑥+∆𝑥 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥+∆𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑒 ∆𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 (𝑒 ∆𝑥 −1)

𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥 ∆𝑥 = 𝑒 𝑥 (𝑒 ∆𝑥 −1) ∆𝑥 lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑒 𝑥 (𝑒 ∆𝑥 −1) ∆𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 lim ∆𝑥→0 (𝑒 ∆𝑥 −1) ∆𝑥

𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 lim ∆𝑥→0 𝑒 ∆𝑥 1 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 lim ∆𝑥→0 𝑒 ∆𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑒 lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑒 0 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝒆 𝒙

𝑠𝑖 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑈 , donde U es derivable en x Generalizando 𝑠𝑖 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑈 , donde U es derivable en x 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 𝑒 𝑈

𝑓 𝑥 = 𝑒 6𝑥 Ejemplo. Derivar De la función dada 𝑓 𝑥 = 𝑒 6𝑥 De la función dada 𝑈=6𝑥 , con lo que 𝑈 / =6 Remplazando en la derivada de la función exponencial 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 𝑒 𝑈 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =6 𝑒 6𝑥

𝑓 𝑥 = 𝑒 2 𝑥 2 +4𝑥 Ejemplo. Derivar De la función dada 𝑓 𝑥 = 𝑒 2 𝑥 2 +4𝑥 De la función dada 𝑈= 2𝑥 2 +4𝑥 , con lo que 𝑈 / =2𝑥+4 Remplazando en la derivada de la función exponencial 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 𝑒 𝑈 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =(2𝑥+4) 𝑒 2 𝑥 2 +4𝑥

𝑠𝑖 𝑓 𝑥 =𝐿𝑛(𝑥), entonces su derivada es DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL 𝑠𝑖 𝑓 𝑥 =𝐿𝑛(𝑥), entonces su derivada es 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 1 𝑥 Demostración Llamando h al incremento ∆𝑥

𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ Por definición de derivada, se tiene 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ Como la función es logaritmo natural 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ℎ→0 𝐿𝑛 𝑥+ℎ −𝐿𝑛(𝑥) ℎ

𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ℎ→0 𝐿𝑛 𝑥+ℎ 𝑥 ℎ 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ℎ→0 𝐿𝑛 𝑥 𝑥 + ℎ 𝑥 ℎ Por propiedades de los logaritmos 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ℎ→0 𝐿𝑛 𝑥+ℎ 𝑥 ℎ Lo cual se puede expresar como 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ℎ→0 𝐿𝑛 𝑥 𝑥 + ℎ 𝑥 ℎ

𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ℎ→0 𝐿𝑛 𝑥 𝑥 + ℎ 𝑥 𝑥 ℎ 𝑥 simplificando 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ℎ→0 𝐿𝑛 1+ ℎ 𝑥 ℎ Llevamos el denominador a la forma h/x 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ℎ→0 𝐿𝑛 𝑥 𝑥 + ℎ 𝑥 𝑥 ℎ 𝑥

𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 1 𝑥 lim ℎ→0 𝐿𝑛 1+ ℎ 𝑥 ℎ 𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 1 𝑥 lim ℎ→0 𝑥 ℎ 𝐿𝑛 1+ 1 𝑥 ℎ Lo cual es equivalente a 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 1 𝑥 lim ℎ→0 𝐿𝑛 1+ ℎ 𝑥 ℎ 𝑥 Lo cual se puede escribir como 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 1 𝑥 lim ℎ→0 𝑥 ℎ 𝐿𝑛 1+ 1 𝑥 ℎ

lim ℎ→0 𝑥 ℎ = lim 𝑤→∞ 𝑤 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 1 𝑥 lim 𝑤→∞ 𝑤𝐿𝑛 1+ 1 𝑤 Llamando 𝑥 ℎ =𝑤, se tiene que lim ℎ→0 𝑥 ℎ = lim 𝑤→∞ 𝑤 De donde 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 1 𝑥 lim 𝑤→∞ 𝑤𝐿𝑛 1+ 1 𝑤

𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 1 𝑥 lim 𝑤→∞ 𝐿𝑛 1+ 1 𝑤 𝑤 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 1 𝑥 𝐿𝑛 lim 𝑤→∞ 1+ 1 𝑤 𝑤 Por propiedades de los logaritmos 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 1 𝑥 lim 𝑤→∞ 𝐿𝑛 1+ 1 𝑤 𝑤 Ahora, el limite de un logaritmo es igual al logaritmo del limite 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 1 𝑥 𝐿𝑛 lim 𝑤→∞ 1+ 1 𝑤 𝑤

𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 1 𝑥 𝐿𝑛(𝑒) 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 1 𝑥 (1) 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝟏 𝒙 Con lo que se tiene Pero el logaritmo de la base es igual a 1 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 1 𝑥 (1) 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝟏 𝒙

𝑓 𝑥 =𝐿𝑛(𝑈) 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝑼 / 𝑼 Generalizando, si la función es Entonces la derivada viene dada por 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝑼 / 𝑼

𝑓 𝑥 =𝐿𝑛(4 𝑥 2 ) 𝑈=4 𝑥 2 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑈 / =8𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 𝑈 Por ejemplo Determine la derivada de 𝑓 𝑥 =𝐿𝑛(4 𝑥 2 ) De la función se tiene que 𝑈=4 𝑥 2 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑈 / =8𝑥 Reemplazando en la derivada del logaritmo 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 𝑈 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝟖𝒙 𝟒 𝒙 𝟐 = 𝟐 𝒙

𝑓 𝑥 =𝐿𝑛(2𝑥+3) 𝑈=2𝑥+3 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑈 / =2 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 𝑈 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝟐 𝟐𝒙+𝟑 Por ejemplo Determine la derivada de 𝑓 𝑥 =𝐿𝑛(2𝑥+3) De la función se tiene que 𝑈=2𝑥+3 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑈 / =2 Reemplazando en la derivada del logaritmo 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑈 / 𝑈 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝟐 𝟐𝒙+𝟑

𝑓 𝑥 =𝐿𝑛 2 𝑥 2 +3 4 3 𝑥 2 +2 3 𝑓 𝑥 =𝐿𝑛 2 𝑥 2 +3 4 +𝐿𝑛 3 𝑥 2 +2 3 Ejemplo . Determine la derivada de 𝑓 𝑥 =𝐿𝑛 2 𝑥 2 +3 4 3 𝑥 2 +2 3 Antes de calcular la derivada, aplicamos las propiedades de los logaritmos 𝑓 𝑥 =𝐿𝑛 2 𝑥 2 +3 4 +𝐿𝑛 3 𝑥 2 +2 3 𝑓 𝑥 =4𝐿𝑛 2 𝑥 2 +3 +3𝐿𝑛 3 𝑥 2 +2 Ahora, calculamos la derivada 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =4 4𝑥 2 𝑥 2 +3 +3 6𝑥 3 𝑥 2 +2

𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 16𝑥 2 𝑥 2 +3 + 18𝑥 3 𝑥 2 +2 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 16𝑥 3 𝑥 2 +2 +18𝑥(2 𝑥 2 +3) (2 𝑥 2 +3)(3 𝑥 2 +2) 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 48 𝑥 3 +32𝑥+36 𝑥 3 +54𝑥 (2 𝑥 2 +3)(3 𝑥 2 +2) 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝟖𝟒 𝒙 𝟑 +𝟖𝟔𝒙 (𝟐 𝒙 𝟐 +𝟑)(𝟑 𝒙 𝟐 +𝟐)

𝑓 𝑥 =𝐿𝑛 2 𝑥 2 +3 4 3 𝑥 2 +2 5 𝑓 𝑥 =𝐿𝑛 2 𝑥 2 +3 4 − 𝐿𝑛 3 𝑥 2 +2 5 Ejemplo . Determine la derivada de 𝑓 𝑥 =𝐿𝑛 2 𝑥 2 +3 4 3 𝑥 2 +2 5 Antes de calcular la derivada, aplicamos las propiedades de los logaritmos 𝑓 𝑥 =𝐿𝑛 2 𝑥 2 +3 4 − 𝐿𝑛 3 𝑥 2 +2 5 𝑓 𝑥 =4𝐿𝑛 2 𝑥 2 +3 − 5𝐿𝑛 3 𝑥 2 +2 Ahora, calculamos la derivada 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =4 4𝑥 2 𝑥 2 +3 −5 6𝑥 3 𝑥 2 +2

𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 16𝑥 2 𝑥 2 +3 − 30𝑥 3 𝑥 2 +2 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 16𝑥 3 𝑥 2 +2 −30𝑥(2 𝑥 2 +3) (2 𝑥 2 +3)(3 𝑥 2 +2) 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 48 𝑥 3 +32𝑥−60 𝑥 3 −90𝑥 (2 𝑥 2 +3)(3 𝑥 2 +2) 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = −𝟏𝟐 𝒙 𝟑 −𝟓𝟖𝒙 (𝟐 𝒙 𝟐 +𝟑)(𝟑 𝒙 𝟐 +𝟐)

𝑓 𝑥 = 𝐿𝑛 4 4𝑥+2 3𝑥+4 𝑓 𝑥 = 𝐿𝑛 4𝑥+2 3𝑥+4 4 𝑓 𝑥 = 𝑈 𝑛 𝑈=𝐿𝑛 4𝑥+2 3𝑥+4 Ejemplo . Determine la derivada de 𝑓 𝑥 = 𝐿𝑛 4 4𝑥+2 3𝑥+4 La función dada, es equivalente a 𝑓 𝑥 = 𝐿𝑛 4𝑥+2 3𝑥+4 4 La función es de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑈 𝑛 𝑈=𝐿𝑛 4𝑥+2 3𝑥+4 Donde

𝑈=𝐿𝑛 4𝑥+2 3𝑥+4 =𝐿𝑛 4𝑥+2 −𝐿𝑛(3𝑥+4) 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =𝑛 𝑈 𝑛−1 𝑈 / La derivada es 𝑈=𝐿𝑛 4𝑥+2 3𝑥+4 =𝐿𝑛 4𝑥+2 −𝐿𝑛(3𝑥+4) Como 𝑈 / = 4 4𝑥+2 − 3 3𝑥+4 = 4 3𝑥+4 −3(4𝑥+2) (4𝑥+2)(3𝑥+4) 𝑈 = 12𝑥+16−12𝑥−6 (4𝑥+2)(3𝑥+4) = 10 (4𝑥+2)(3𝑥+4) 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝟒𝟎 (𝟒𝒙+𝟐)(𝟑𝒙+𝟒) 𝑳𝒏 𝟑 4𝑥+2 3𝑥+4

𝑓 𝑥 = log 𝑎 𝑈 𝑓 𝑥 = 𝐿𝑛𝑈 𝐿𝑛𝑎 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝑼 / 𝑼𝑳𝒏𝒂 Si la función es Recordamos, que por cambio de variable 𝑓 𝑥 = 𝐿𝑛𝑈 𝐿𝑛𝑎 Con lo que la derivada es 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝑼 / 𝑼𝑳𝒏𝒂

𝑓 𝑥 = log 5 2 𝑥 3 +5 𝑥 2 𝑎=5 ; 𝑈=2 𝑥 3 +5 𝑥 2 ; 𝑈 / =6 𝑥 2 +10𝑥 Ejemplo. Determine la derivada de 𝑓 𝑥 = log 5 2 𝑥 3 +5 𝑥 2 De la función se tiene que 𝑎=5 ; 𝑈=2 𝑥 3 +5 𝑥 2 ; 𝑈 / =6 𝑥 2 +10𝑥 Reemplazando en la derivada de la función logaritmo 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 6 𝑥 2 +10𝑥 2 𝑥 3 +5 𝑥 2 𝐿𝑛5 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝟔𝒙+𝟏𝟎 𝟐 𝒙 𝟐 +𝟓𝒙 𝑳𝒏𝟓 Simplificando

Desarrollo del pensamiento matemático Determine la derivada de las siguientes funciones 𝑓 𝑥 =𝐿𝑛 3 𝑥 2 +2𝑥 2 𝑥 2 +3 𝑓 𝑥 =𝑆𝑒𝑛(𝐶𝑜𝑠(3𝑥)) 𝑓 𝑥 =𝑇𝑎𝑛(4 𝑥 3 ) 𝑓 𝑥 = log 3 (4𝑥+3) 5 (2𝑥+4) 4 𝑓 𝑥 = 𝑇𝑎𝑛 3 (3𝑥) 𝑓 𝑥 =𝐿𝑛 𝑥 2 +3 𝑥 2 +5 4 3 𝑥 2 +4 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑆𝑒𝑐(2 𝑥 2 ) 𝑓 𝑥 = 𝑇𝑎𝑛(𝑒 2 𝑥 2 ) 𝑓 𝑥 =𝐶𝑜𝑠(5𝑥+3)

Referentes bibliográficos STEWART, JAMES. Calculo: conceptos y contextos. Thomson editores.. MEXICO LEITHOD, LOUIS, “El Calculo”, séptima edición. Editorial Harla.. México EDWARDS, C.H. Y D.E. PENNEY. Cálculo y Geometría Analítica. Cuarta edición. PHH. ico LARSON, HOSTETLER y Edwars. Cálculo y Geometría Analítica. Sexta Edición.. McGraw Hill. México TAKEUCHI. YU Sucesiones y Series. Tomo I y II. Editorial Limusa.. México STEFAN WANER, Calculo aplicado, segunda edición, México