Estadística Capítulo 4.3 TEOREMA DE BAYES

Teorema de Bayes La probabilidad condicional se basa en el resultado de un hecho para describir otra probabilidad específica. Este concepto de puede extender cada vez que se tiene nueva información con la cual determinar si una probabilidad se debe a una causa específica. Este procedimiento recibe el nombre de Teorema y Bayes y se maneja así:

Teorema de Bayes Si A es un evento simple y Bi es una sucesión de eventos, la probabilidad de que se cumpla el evento Bi dado que ya se cumplió el evento A es:

Ejemplo El gerente de mercadotecnia de una compañía fabricante de juguetes estudia el lanzamiento de un juguete nuevo. En el pasado, el 40% de los juguetes introducidos por la compañía han tenido éxito y 60% han fracasado.

Ejemplo Antes de lanzar el nuevo juguete se realiza un estudio de mercado y se hace un informe, ya sea favorable o desfavorable. En el pasado, 80% de los juguetes con éxito tenían un informe favorable y 30% de los juguetes que fracasaron tenían un informe favorable. El gerente de mercadotecnia quiere conocer la probabilidad de que el juguete tenga éxito si recibe un reporte favorable.

Ejemplo Análisis previo ¿Qué se busca? : La probabilidad de que el juguete tenga éxito. ¿Qué condiciones tenemos? : Resultados de un informe favorable P(Éxito/Favorable)

Ejemplo Análisis previo Juguetes con éxito : 40% P(éxito) = 0.4 Juguetes con fracaso : 60% P(fracaso) = 0.6 Datos del pasado: Juguetes que tuvieron éxito y previamente les habían reportado un informe favorable  80% Juguetes que fueron un fracaso y previamente les habían reportado un informe favorable  30%

Ejemplo Análisis previo Juguetes que tuvieron éxito y previamente les habían reportado un informe favorable  80% P(Éxito/Favorable) = 0.8 Juguetes que fueron un fracaso y previamente les habían reportado un informe favorable  30% P(Fracaso/Favorable) = 0.3

Ejemplo Propósito La aplicación del teorema de Bayes indica que se busca la probabilidad de que un juguete sea un éxito, siendo que el dictamen que se tiene es favorable; el enunciado es el siguiente: P(Éxito/Favorable) =

Ejemplo Desarrollo 64%

Ejemplo La probabilidad de que una persona tenga una enfermedad es de 0.03. Se dispone de pruebas de diagnóstico médico para determinar si una persona en realidad padece la enfermedad. Si la enfermedad de hecho está presente, la probabilidad de que la prueba de diagnóstico médico de un resultado positivo es de 0.9. Si la enfermedad no está presente, la probabilidad de un resultado positivo en la prueba de diagnóstico médico es de 0.02.

Ejemplo Suponga que la prueba de diagnóstico médico ha dado un resultado positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que la enfermedad esté presente en realidad. ¿Qué se busca? : La probabilidad de que el paciente esté enfermo ¿Qué condiciones tenemos? : Diagnóstico positivo

Ejemplo Se busca calcular : P(Enfermo/Positivo) Pacientes enfermos : 0.03 P(Enfermo) = 0.03 Pacientes sanos : 0.97 P(Sano) = 0.97 Datos de pacientes en el pasado: Resultado positivo y estaban enfermos  0.90 Resultado positivo y estaban sanos  0.02

Ejemplo Análisis previo Resultado positivo y estaban enfermos  0.90 P(Positivo/Enfermo) = 0.9 Resultado positivo, y estaban sanos 0.02 P(Positivo/Sano) = 0.02

Ejemplo Propósito La aplicación del teorema de Bayes indica que se busca la probabilidad de que un paciente dé un resultado positivo y los datos anteriores indican que está enfermo, el planteamiento es el siguiente: P(Positivo/Enfermo) =

Ejemplo Desarrollo 58%

Reglas de Conteo La probabilidad de ocurrencia se definió como el número de formas en las que el resultado ocurre, dividido por el número tal de resultados posibles En muchas casos, hay un gran número de posibles resultados y es difícil determinar el número exacto. Se han desarrollado reglas para contar el número posible de resultados.

Reglas de Conteo = potencial Si cualquiera de los eventos k mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos pueden ocurrir en cada uno de los ensayos n, el número de posibles resultados es igual a

Ejemplo Suponga que lanza al aire una moneda de 5 centavos y otra de 10 centavos. ¿De cuantas maneras pueden caer ambas monedas? Los resultados que se pueden tener son: * Las dos monedas pueden caer en letra * Las dos monedas pueden caer en escudo * La de 5 cents en letra y la de 10 cents en escudo. * La de 5 cents en escudo y la de 10 cents en letra Son 4 posibles formas las que pueden caer.

Ejemplo Si se resuelve por medio de la fórmula, se tiene lo siguiente: n = 2 eventos k = 2 lados tiene la moneda

Ejemplo De igual manera, si se lanza una moneda al aire 2 veces. ¿De cuántas maneras puede caer? n = 2 eventos k = 2 caras de la moneda

Ejemplo Si se lanza una moneda al aire 3 veces. ¿De cuántas maneras puede caer? n = 3 eventos k = 2 caras de la moneda

Ejemplo Si se lanza un dado (6 caras) 2 veces. ¿De cuántas maneras puede caer? n = 2 eventos k = 6 caras de la moneda

Reglas de Conteo = factorial El número de maneras en el que n cosas pueden arreglarse en orden es: Características n! Es el “factorial de n” 1! Es igual a 1 0! Es igual a 1

Ejemplo Si un paquete de 6 libros se colocan en una repisa. ¿De cuantas formas es posible ordenar estos 6 libros de texto? 6 libros se pueden ordenar de 720 formas diferentes.

Reglas de Conteo = combinaciones Es el número de maneras de seleccionar X objetos a partir de n objetos, sin considerar el orden:

Ejemplo Si tenemos 5 profesores de matemáticas y se presenta la oportunidad de abrir 3 nuevas secciones, de cuantas maneras se pueden distribuir. Supongamos que los nombre de los profesores son: Raquel , Clara , Venancio , Jorge , Vilma Solo son 3 secciones las que se van a abrir y todos ellos tienen la misma capacidad para impartir la clase. Las posibilidades que se tienen son:

Ejemplo Combinación Sección 1 Sección 2 Sección 3 1 Raquel Clara Venancio 2 Jorge 3 Vilma 4 5 6 7 8 9 10

Ejemplo El mismo resultado Si se utiliza la regla de conteo, el resultado se calcula de la siguiente manera: El mismo resultado

Ejemplo Los representantes de ventas de la empresa ECK cuando colocan un pedido para uno de sus clientes, llenan una forma de pedido electrónica y envían un correo electrónico a la compañía con la información de lo que pidió el cliente. El sistema verifica estas formas de pedido para detectar errores. Las entradas dudosas se marcan y se incluyen en un reporte diario de excepciones.

Posibles formar de recibir los pedidos (3 pedidos etiquetados) 1 2 3 4

Ejemplo El mismo resultado Si se utiliza la regla de conteo, el resultado se calcula de la siguiente manera: El mismo resultado

T A R E A Resumen de los aspecto ético del capítulo 4 Ejercicios pares de las páginas 130, 139 del libro de texto Los primeros 3 de la página 146 del libro de texto.

Fin del capítulo 4.3 Continúa el capítulo 5.1