Tema: Productos notables Matemáticas “Unidad 2: Algebra” Tema: Productos notables

Productos Notables Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Son aquellos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación.

Mapa conceptual Cuadrado de binomio Suma por su diferencia Productos notables algunos ejemplos Cuadrado de binomio Cuadrado de trinomio Sus fórmulas son: (A+B) 2 = A 2 +2AB+B 2 (A+B)(A-B) = A 2 -B 2 (x+A)(x-B) = x 2 +(A+B)x+AB (A+B) 3 = A 3+3A 2 B+3AB 2 +B 3 (A+B+C) 2 = A 2 +B 2 +C 2 +2AB+2BC+2AC Suma por su diferencia Producto de binomios con término común Cubo de binomio

Cuadrado de Binomio (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Ejemplo a b b a (5x – 3y)2 = (5x)2 - 2(5x∙3y) + (3y)2 = 25x2 - 30xy La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente: a b b a 2

Cubo de binomio. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ejemplo: (3x – 2y)3 = (3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3 Aplicando la fórmula... (3x – 2y)3 = (3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3 Desarrollando potencias... = 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x )∙(4y2)– 8y3 Multiplicando... = 27x3 – 54x2y + 36xy2– 8y3

Suma por su diferencia (a + b)∙(a – b) = a2 – b2 (5x + 6y)∙(5x – 6y) = Ejemplo: Aplicando la fórmula... (5x + 6y)∙(5x – 6y) = (5x)2 – (6y)2 = 25x2 – 36y2

Producto de binomio (x + a)∙(x + b) = x2 + (a + b)x + ab Ejemplo 1: Aplicando la fórmula... (x + 4)∙(x + 2) = x2 + (4 + 2)x + 4∙2 Desarrollando... = x2 + 6x + 8 Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común.

Ejemplo 2: (y - 4)∙(y + 2) = y2 + (-4 + 2)y - 4∙2 = y2 – 2y - 8 Aplicando la fórmula... (y - 4)∙(y + 2) = y2 + (-4 + 2)y - 4∙2 Desarrollando... = y2 – 2y - 8

Cuadrado de trinomio (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Ejemplo: (2x + 3y + 4z)2 = ? Aplicando la fórmula... = (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x∙3y) + 2(2x∙4z) + 2(3y∙4z) Desarrollando... = 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy + 16xz + 24yz

Diferencia de cubos a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) 8x3 – 64y3 = Ejemplo: 8x3 – 64y3 = (2x)3 – (4y)3 Aplicando la fórmula... = (2x – 4y)((2x)2 + 2x ∙ 4y + (4y)2 ) Desarrollando... = (2x – 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 )

Suma de cubos a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) 27x3 + 8y3 = Ejemplo: 27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3 Aplicando la fórmula... = (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2) Desarrollando... = (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2)