Descripción de los datos: medidas de dispersión 1-1 Capítulo cuatro Descripción de los datos: medidas de dispersión OBJETIVOS Al terminar este capítulo podrá: UNO Calcular e interpretar la amplitud de variación, la desviación media, la variancia, y la desviación estándar de los datos originales. DOS Calcular e interpretar la amplitud de variación, la variancia y la desviación estándar de datos agrupados. TRES Explicar las características, usos, ventajas y desventajas de cada medida de dispersión. © 2001 Alfaoemega Gruo Editor

Descripción de datos: medidas de dispersión 1-1 Capítulo cuatro continuación Descripción de datos: medidas de dispersión OBJETIVOS Al terminar este capítulo podrá: CUATRO Entender el problema de Chebyshev y la regla normal o empírica, y su relación con un conjuto de observaciones. CINCO Calcular y explicar los cuartiles y la amplitud de variación intercuartílica. SEIS Elaborar e interpretar los diagramas de caja. SIETE Calcular y entender el coeficiente de variación y el coeficiente de asimetría. © 2001 Alfaoemega Gruo Editor

4-3 Desviación media Desviación media: media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media aritmética.

4-4 EJEMPLO 1 Los pesos de una muestra de cajas con libros en una librería son (en lb) 103, 97, 101, 106 y 103. X = 510/5 = 102 lb = 1 + 5 + 1 + 4 + 1 = 12 MD = 12/5 = 2.4 Por lo común los pesos de las cajas están a 2.4 lb del peso medio de 102 lb.

Variancia de la población 4-5 Variancia de la población La varianza de la población para datos no agrupados es la media aritmética de las desviaciones cuadráticas respecto a la media de la población.

4-6 EJEMPLO 2 Las edades de la familia Dunn son 2, 18, 34, y 42 años. ¿Cuál es la variancia de la población?

Variancia poblacional continuación 4-7 Variancia poblacional continuación Una fórmula alternativa para la variancia poblacional es:

Desviación estándar poblacional 4-8 Desviación estándar poblacional La desviación estándar poblacional () es la raíz cuadrada de la variancia de la población. Para el EJEMPLO 2, la desviación estándar poblacional es 15.19 (raíz cuadrada de 230.81).

La variancia muestral estima la variancia de la población. 4-9 Variancia muestral La variancia muestral estima la variancia de la población.

4-10 EJEMPLO 3 Una muestra de cinco salarios por hora para varios trabajos en el área es: $7, $5, $11, $8, $6. Encuentre la variancia. X = 37/5 = 7.40 = 21.2/(5-1) = 5.3

Desviación estándar muestral 4-11 Desviación estándar muestral La desviación estándar muestral es la raíz cuadrada de la variancia muestral. En el EJEMPLO 3, la desviación estándar de la muestra es = 2.30

Medidas de dispersión: datos no agrupados 4-12 Medidas de dispersión: datos no agrupados Para datos no agrupados, la amplitud es la diferencia entre los valores mayor y menor en un conjunto de datos. AMPLITUD = valor mayor - valor menor EJEMPLO 4: una muestra de cinco graduados de contaduría indicó los siguientes salarios iniciales: $22 000, $28 000, $31 000, $23 000, $24 000. La amplitud es $31 000 - $22 000 = $9 000.

Variancia muestral para datos agrupados 4-13 Variancia muestral para datos agrupados La fórmula de la variancia para datos agrupados usada como estimador de la vaiancia poblacional es: donde f es la frecuencia de clase y X es el punto medio de la clase.

Interpretación y usos de la desviación estándar 4-14 Interpretación y usos de la desviación estándar Teorema de Chebyshev: para cualquier conjunto de observaciones, la proporción mínima de valores que está dentro de k desviaciones estándar desde la media es al menos 1 - 1/k , donde k2 es una constante mayor que 1.

Interpretación y usos de la deviación estándar 4-15 Interpretación y usos de la deviación estándar Regla empírica: para una distribución de frecuencias simétrica de campana, cerca de 68% de las observaciones estará dentro de ±1 de la media (); cerca de 95% de las observaciones estará dentro de ±2 de la media (); alrededor de 99.7% estará dentro de ±3 de la media ().

Curva en forma de campana que muestra la relación entre  y  3 2 1 m +1 +2 +3 © 2001 Alfaomega Grupo Editor

4-17 Dispersión relativa El coeficiente de variación es la razón de la desviación estándar a la media aritmética, expresada como porcentaje:

4-18 Asimetría Asimetría (sesgo) es la medida de la falta de simetría en una distribución. El coeficiente de asimetría se calcula mediante la siguiente fórmula: 3(media - mediana) desviación estándar Sk =

Amplitud intercuartílica 4-19 Amplitud intercuartílica La amplitud intercuartílica es la distancia entre el tercer cuartil Q3 y el primer cuartil Q1. Amplitud intercuartílica = tercer cuartil - primer cuartil = Q3 - Q1

4-20 Primer cuartil El primer cuartil es el valor correspondiente al punto debajo del cual se encuentra el 25% de las observaciones en un conjunto ordenado de datos. donde L = límite de las clasese que contienen Q1, CF = frecuencia acumulda que precede a la clase que contiene a Q1, f = frecuencia de la clase que contiene Q1, i= tamaño de la clase que contiene Q1.

4-21 Tercer cuartil El tercer cuartil es el valor correspondiente al punto debajo del cual se encuentra 75% de las observaciones en un conjunto ordenado de datos: donde L = límite inferior de la clase que contiene a Q3, CF = frecuencia acumulada precedente a la clase que contiene a Q3, f = frequencia de la clase que contiene a Q3, i = tamaño de la clase que contiene a Q3.

Desviación cuartílica 4-22 Desviación cuartílica La desviación cuartílica es la mitad de la distancia entre el tercer cuartil, Q3, y el primero, Q1. QD = [Q3 - Q1]/2

4-23 EJEMPLO 5 Si el tercer cuartil = 24 y el primer cuartil = 10, ¿cuál es la desviación cuartílica? La amplitud intercuartílica es 24 - 10 = 14; por lo tanto, la desviación cuartílica es 14/2 = 7.

4-24 Amplitud cuartílica Cada conjunto de datos tiene 99 porcentiles, que dividen el conjunto en 100 partes iguales. La amplitud cuartílica es la distancia entre dos porcentiles establecidos. La amplitud cuartílica 10 a 90 es la distancia entre el 10º y 90º porcentiles.

Fórmula para porcentiles 4-25 Fórmula para porcentiles

4-26 Diagramas de caja Un diagrama de caja es una ilustración gráfica, basada en cuartiles, que ayuda a visualizar un conjunto de datos. Se requieren cinco tipos de datos para construir un diagrama de caja: el valor mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil, y el valor máximo.

4-27 EJEMPLO 6 Con base en una muestra de 20 entregas, Marco’s Pizza determinó la siguiente información: valor mínimo = 13 minutos, Q1 = 15 minutos, mediana = 18 minutos, Q3 = 22 minutos, valor máximo = 30 minutos. Desarrolle un diagrama de caja para los tiempos de entrega.

mediana mín Q1 Q3 máx EJEMPLO 6 continuación 4-28 EJEMPLO 6 continuación mediana mín Q1 Q3 máx 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32