Descripción de los datos: medidas de ubicación 1-1 Capítulo tres Descripción de los datos: medidas de ubicación OBJETIVOS Al terminar este capítulo podrá: UNO Calcular la media aritmética, mediana, moda, media ponderada y media geométrica. DOS Explicar las características, utilización, ventajas y desventajas de cada medida de ubicación. TRES Identificar la posición de la media aritmética, la mediana, y la moda, tanto para distribuciones simétricas como asimétricas o sesgadas. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

donde µ representa la media de la población. 3-2 Media de la población Para datos no agrupados, la media de la población es la suma de todos los valores en ella dividida entre el total de valores en la población: donde µ representa la media de la población. N es el número total de elementos en la población. X representa cualquier valor en particular.  indica la operación de sumar.

Parámetro: una característica de una población. 3-3 EJEMPLO 1 Parámetro: una característica de una población. La familia Kiers posee cuatro carros. Los datos son las millas recorridas por cada uno: 56 000, 23 000, 42 000 y 73 000. Encuentre el promedio de millas de los cuatro carros. Esto es (56 000 + 23 000 + 42 000 + 73 000)/4 = 48 500

donde X denota la media muestral 3-4 Media de una muestra Para datos no agrupados, la media de una muestra es la suma de todos los valores divididos entre el número total de los mismos: donde X denota la media muestral n es el número total de valores en la muestra.

Dato estadístico: una característica de una muestra. 3-5 EJEMPLO 2 Dato estadístico: una característica de una muestra. Una muestra de cinco ejecutivos recibió la siguiente cantidad en bonos el año pasado: $14 000, $15 000, $17 000, $16 000 y $15 000. Encuentre el promedio en bonos para los cinco ejecutivos. Como estos valores representan la muestra de 5 ejecutivos, la media de la muestra es (14 000 + 15 000 + 17 000 + 16 000 + 15 000) / 5 = $15 400.

Propiedades de la media aritmética 3-6 Propiedades de la media aritmética Todo conjunto de datos de nivel de intervalo y de nivel de razón tiene un valor medio. Al evaluar la media se incluyen todos los valores. Un conjunto de valores sólo tiene una media. La cantidad de datos a evaluar rara vez afecta la media. La media es la única medida de ubicación donde la suma de las desviaciones de cada valor con respecto a la media, siempre es cero.

3-7 EJEMPLO 3 Considere el conjunto de valores: 3, 8 y 4. La media es 5. Para ilustrar la quinta propiedad, (3 - 5) + (8 - 5) + (4 - 5) = - 2 + 3 - 1 = 0. En otras palabras,

3-8 Media ponderada La media ponderada de un conjunto de números X1, X2, ..., Xn, con las ponderaciones correspondientes w1, w2, ...,wn, se calcula con la fórmula:

3-9 EJEMPLO 6 Durante un periodo de una hora en una tarde calurosa de un sábado, el cantinero Chris sirvió cincuenta bebidas. Calcule la media ponderada de los precios de las bebidas. (Precio ($), cantidad vendida): (.50,5), (.75,15), (.90,15), (1.10,15). La media ponderada es: $(.50 x 5 + .75 x 15 + .90 x 15 + 1.10 x 15) / (5 + 15 + 15 + 15) = $43.75/50 = $0.875

3-10 Mediana Mediana: es el punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor, o de mayor a menor. La misma cantidad de valores se encuentra por arriba de la mediana que por debajo de ella. Nota: para un conjunto con un número par de números, la mediana será el promedio aritmético de los dos números medios.

Calcule la mediana para los siguientes datos. 3-11 EJEMPLO 4 Calcule la mediana para los siguientes datos. La edad de una muestra de cinco estudiantes es: 21, 25, 19, 20 y 22. Al ordenar los datos de manera ascendente quedan: 19, 20, 21, 22, 25. La mediana es 21. La altura, en pulgadas, de cuatro jugadores de basquetbol es 76, 73, 80 y 75. Al ordenar los datos de manera ascendente quedan: 73, 75, 76, 80. La mediana es 75.5.

Propiedades de la mediana 3-12 Propiedades de la mediana La mediana es única para cada conjunto de datos. No se ve afectada por valores muy grandes o muy pequeños, y por lo tanto es una medida valiosa de tendencia central cuando ocurren. Puede obtenerse para datos de nivel de razón, de intervalo y ordinal. Puede calcularse para una distribución de frecuencias con una clase de extremo abierto, si la mediana no se encuentra en una de estas clases.

La moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia. 3-13 Moda La moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia. EJEMPLO 5: las calificaciones de un examen de diez estudantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87. Como la calificación 81 es la que más ocurre, la calificación modal es 81.

3-14 Media geométrica La media geométrica (MG) de un conjunto de n números positivos se define como la raíz n-ésima del producto de los n valores. Su fórmula es: La media geométrica se usa para encontrar el promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento.

Las tasas de interés de tres bonos son 5%, 7% y 4%. 3-15 EJEMPLO 7 Las tasas de interés de tres bonos son 5%, 7% y 4%. La media geométrica es = 5.192. La media aritmética es (6 + 3 + 2)/3 = 5.333. La MG da una cifra de ganancia más conservadora porque no tiene una ponderación alta para la tasa de 7%.

Media geométrica continuación 3-16 Media geométrica continuación Otra aplicación de la media geométrica es determinar el porcentaje promedio del incremento en ventas, producción u otros negocios o series económicas de un periodo a otro. La fórmula para este tipo de problema es:

Es decir, la media geométrica de la tasa de crecimiento es 1.27%. 3-17 EJEMPLO 8 El número total de mujeres inscritas en colegios americanos aumentó de 755 000 en 1986 a 835 000 en 1995. Aquí n = 10, así (n - 1) = 9. Es decir, la media geométrica de la tasa de crecimiento es 1.27%.

Media de datos agrupados 3-18 Media de datos agrupados La media de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula:

3-19 EJEMPLO 9 Una muestra de diez cines en una gran área metropolitana dio el número total de películas exhibidas la semana anterior. Calcule la media de las películas proyectadas.

3-20 EJEMPLO 9 continuación 61/10 = 6.1 películas

Mediana de datos agrupados 3-21 Mediana de datos agrupados La mediana de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula: Mediana = L + [(n/2 - FA)/f] (i) donde L es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana, FA es la frecuencia acumulada que precede a la clase de la mediana, f es la frecuencia de clase de la mediana e i es el intervalo de clase de la mediana.

Cálculo de la clase de la mediana 3-22 Cálculo de la clase de la mediana Para determinar la clase de la mediana de datos agrupados: Elabore una distribución de frecuencias acumulada. Divida el número total de datos entre 2. Determine qué clase contiene este valor. Por ejemplo, si n=50, 50/2 = 25, después determine qué clase contiene el 25° valor (la clase de la mediana).

La clase de la mediana es 5 - 6, ya que contiene el 5° valor (n/2 = 5) 3-23 EJEMPLO 10 La clase de la mediana es 5 - 6, ya que contiene el 5° valor (n/2 = 5)

De la tabla, L = 5, n = 10, f = 3, i = 2, FA = 3. 3-24 EJEMPLO 10 continuación De la tabla, L = 5, n = 10, f = 3, i = 2, FA = 3. Así, mediana = 5 + [((10/2) - 4)/3](2) = 6.33

Moda de datos agrupados 3-25 Moda de datos agrupados La moda de los datos agrupados se aproxima por el punto medio de la clase que contiene la frecuencia de clase mayor. Las modas en el EJEMPLO 10 son 5.5 y 9.5. Cuando dos valores ocurren una gran cantidad de veces, la distribución se llama bimodal, como en el ejemplo 10.

Distribución simétrica 3-26 Distribución simétrica sesgo cero moda = mediana = media

Distribución con asimetría positiva 3-27 Distribución con asimetría positiva sesgo a la derecha: media y mediana se encuentran a la derecha de la moda. moda < mediana < media

Distribución con asimetría negativa 3-28 Distribución con asimetría negativa sesgo a la izquierda: media y mediana están a la izquierda de la moda. media < mediana < moda

moda = media - 3(media - mediana) media = [3(mediana) - moda]/2 3-29 NOTA Si se conocen dos promedios de una distribución de frecuencias con sesgo moderado, el tercero se puede aproximar. moda = media - 3(media - mediana) media = [3(mediana) - moda]/2 mediana = [2(media) + moda]/3