ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

La estadística tiene que ver con la recopilación, presentación, análisis y uso de datos para tomar decisiones y resolver problemas.

Cualquier persona recibe información en forma de datos a través de los periódicos, la televisión u otros medios; y a menudo es necesario obtener alguna conclusión a partir de la información contenida en los datos.

Los métodos empleados para resumir y organizar datos se denominan estadística descriptiva; mientras que los métodos para tomar decisiones se denominan inferencia estadística.

El término población se refiere a los elementos del universo respecto al cual se quieren obtener conclusiones o tomar decisiones. A cada elemento se le puede asociar una medición que bien puede ser numérica o cualitativa dependiendo de la característica que se quiera estudiar. El término muestra se refiere al subconjunto de observaciones seleccionadas de la población de interés

Variables: A cada característica de los elementos de una población se le llama variables. Nos encontraremos con varios tipos de variables: cualitativas y cuantitativas. Las variables cualitativas son aquellas que se refieren a categorías o atributos de los elementos (individuos) estudiados. Las variables cuantitativas son aquellas cuyos datos son de tipo numérico.

TIPOS DE VARIABLES CUALITATIVAS Dicotómicas: Sólo hay dos categoría, que son excluyentes una de la otra Ejemplo: enfermo-sano, muerto-vivo, mujer-hombre Nominal: tiene mas de dos categorías y no hay orden entre ellas. Ejemplo: color de los ojos, grupo sanguíneo Ordinal: tiene varias categorías y hay orden entre ellas. Ejemplo: grado tumoral, calificación del riesgo en anestesia.

TIPOS DE VARIABLES CUANTITATIVAS Continuas: números infinito no numerables de elementos. Tiene asociado el concepto de medida Ejemplo: Presión arterial, Edad, peso. Discretas: números finitos o infinitos numerables de elementos. Se asocia con el concepto de conteo. Ejemplo: N° de hijos, N° de casos de tuberculosis por estado.

Hay ocasiones en las que las medidas cuantitativas continuas son transformadas en ordinales mediante la utilización de uno o varios puntos de corte. Ejemplo: La variable peso es codificada en varias categorías y se utiliza en términos como: Bajo-peso, peso-normal, Sobrepeso, Obesidad

Las descripciones numéricas de datos suelen ser importantes Las descripciones numéricas de datos suelen ser importantes. Dado un conjunto de n observaciones La estadística descriptiva nos puede ayudar mediante resúmenes numéricos, que son medidas de tendencia central, o también llamadas de posición y medidas de dispersión

Las medidas descriptivas más comunes de tendencia central o localización son: la media aritmética y la mediana (existen otras medidas de tendencia central que en ocasiones pueden resultar de interés: la moda, los cuartiles, los deciles, los percentiles, la media armónica, la media geométrica y la media ponderada.)

La media aritmética o simplemente promedio (también llamada media muestral ya que generalmente se calcula en relación a una muestra) se calcula de la siguiente forma: si las observaciones de una muestra de tamaño n son x1, x2,…,xn entonces

Característica de la Media Es intuitiva y fácil de calcular. Su valor puede que no coincida con ninguno de los valores de la muestra La suma de las diferencias de cada valor de la muestra con la media su resultado es cero, es decir,

La mediana se suele definir como el valor “más intermedio” una vez que los datos han sido ordenados en forma creciente. Se suele denotar por Me. La forma más general de calcular la mediana es la siguiente:

La mediana es aquel valor que deja el cincuenta por ciento de los datos por debajo y otro cincuenta por encima. Cabe destacar que es preferible el uso de la mediana como medida descriptiva del centro cuando se quiere reducir o eliminar el efecto de valores extremos en un conjunto de datos (muy grandes o muy pequeños).

Moda: Es una medida de tendencia central que se puede utilizar sea cual sea el tipo de variable a estudiar. La moda de un conjunto de observaciones es el valor que más se repite, aquel cuya frecuencia absoluta es máxima. Puede ser única, que haya más de una, o que no exista.

Media Geométrica: Se define como la raíz n-ésima del producto de todos los valores numéricos, es decir,

La media armónica: Se define como el número de observaciones de la muestra dividido por la suma del inverso de cada una de las observaciones, es decir,

La localización o tendencia central de un conjunto de datos no necesariamente proporciona información suficiente para describirlos adecuadamente. Debido a que no todos los valores son semejantes, la variación entre ellos se considera importante. Se puede decir que un conjunto de datos tiene una dispersión reducida si los mismos se aglomeran estrechamente en torno a alguna medida de localización de interés y se dice que tiene una dispersión grande si se esparcen ampliamente alrededor de alguna medida de localización de interés.

Las medidas descriptivas más comunes de dispersión son: el rango, la varianza, la desviación estándar y el rango intercuartílico.

El rango de la muestra es la medida de variabilidad más sencilla entre todas las mencionadas; y se define como la diferencia entre la observación más grande y la más pequeña :

Aunque es una medida muy fácil de calcular, ignora toda la información de la muestra entre las observaciones más grande y más pequeña. Sin embargo, vale la pena resaltar que el rango se utiliza mucho en aplicaciones estadísticas al control de calidad, donde lo común es emplear muestras con tamaños n = 4 o n = 5 ya que en estos casos la pérdida de información no se considera relevante.

En general, se desea una medida de variabilidad que dependa de todas las observaciones y no sólo de unas pocas; así que parece razonable medir la variación en términos de las desviaciones relativas a alguna medida de localización (generalmente esta medida es la media)

Para el conjunto de datos x1, x2,….,xn Las diferencias Determinan las desviaciones de la media. Dado que la suma de estas desviaciones es cero, se utiliza como medida de variabilidad el promedio de los cuadrados de tales desviaciones.

Sin embargo, como sólo hay n-1 desviaciones independiente se conviene en dividir entre n-1, es decir,

Esta última será la fórmula que emplearemos.

Esta medida de variabilidad se denomina varianza Esta medida de variabilidad se denomina varianza. Como S2 no tiene las mismas unidades que los datos, se define la desviación estándar como la raíz cuadrada (positiva) de la varianza a fin de tener una medida en las mismas unidades de los datos; La desviación estándar es útil para comparar dispersión entre dos poblaciones, pero también lo es para calcular el porcentaje de la población que pueden localizarse a menos de una distancia específica de la media.

Cuartiles, deciles y percentiles Los cuatiles dividen a un conjunto de datos en cuatro partes iguales. Para explicarlo un poco mejor, piense en un conjunto de datos ordenados de menor a mayor. Al valor de en medio es la mediana. Esto es, 50 por ciento de los datos son mayores que la mediana y 50 por ciento son menores. De manera similar los cuartiles dividen a un conjunto de datos en cuatro partes igueles.

El primer cuartil, al que se le llama Q1, es el valor por debajo del cual se encuentra el 25% de los datos, y el tercer cuartil usualmente llamado Q3, es el valor por debajo de el se encuentra el 75% de los datos. Q2 es la mediana. Los valores Q1, Q2 y Q3 dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales. Q1 se puede entender como la mediana de la mitad inferior de los datos ordenados y Q3 como la mediana de la mitad superior de los datos ordenado.

Procedimiento para el calculo de los percentiles Sea Lp la posición del percentil deseado. Entonces donde n es el numero de datos y p el percentil Ejemplo: el percentil 33 P33, el percentil 50 es el P50, que es también la mediana ó el Q2. El percentil 25 es el P25=Q1 y el percentil 75 es el P75=Q3

Calculo del p-ésimo percentil Paso 1: Ordenar los datos de manera ascendente. Paso 2: Calculamos el Lp ( ) Paso 3: a) Si Lp no es entero, se redondea. El valor entero inmediato mayor que Lp indica la posición del p-ésimo percentil. b) Si Lp es entero, el p-ésimo persentil es el promedio de los valores de los datos ubicados en los lugares i e i+1

Por Ejemplo: Si tenemos 15 datos ordenados y que-remos localizar el primer cuartil (percentil 25) según la formula este estará ubicado en la posición 4 (por redondeo) y el tercer cuartil (percentil 75) estará ubicado en la posición 12 (por redondeo) Si tenemos 20 datos ordenados el primer cuartil estara en la posición intermedia entre el 5° y el 6° dato es decir si el 5° dato fuese 36 y el 6° 41 el P25=Q1=38,5

Asimetría Si los valores de la serie de datos presenta la misma forma a izquierda y derecha de un valor central (media aritmética) se dice que es simétrica de lo contrario será asimétrica. Para medir el nivel de asimetría se utiliza el llamado Coeficiente de Asimetría de Fisher, que viene definido:

Los resultados pueden ser los siguientes: g1 = 0 (distribución simétrica; existe la misma concentración de valores a la derecha y a la izquierda de la media) g1 > 0 (distribución asimétrica positiva; existe mayor concentración de valores a la derecha de la media que a su izquierda) g1 < 0 (distribución asimétrica negativa; existe mayor concentración de valores a la izquierda de la media que a su derecha)

Curtosis El Coeficiente de Curtosis analiza el grado de concentración que presentan los valores alrededor de la zona central de la distribución. Se definen 3 tipos de distribuciones según su grado de curtosis:

Distribución mesocúrtica: presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal). Distribución leptocúrtica: presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable. Distribución platicúrtica: presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

El Coeficiente de Curtosis viene definido por la siguiente fórmula:

Los resultados pueden ser los siguientes: g2 = 0 (distribución mesocúrtica). g2 > 0 (distribución leptocúrtica). g2 < 0 (distribución platicúrtica).