Graficación de Funciones en R3 Unidad I Graficación de Funciones en R3 Presentado Por: Ing. Julio Cubillán Msc

Plataforma Temática Objetivos. Sistema de Coordenadas Tridimensionales. Ubicación de un punto en el espacio. Planos perpendiculares a los Ejes. Planos. Superficies Cilíndricas. Superficies Cuadráticas. Elipsoide /Esfera. Hiperboloide de una Hoja Hiperboloide de dos Hojas Cono. Paraboloide. Paraboloide Hiperbólico (Silla de Montar) Bibliografía y Webgrafía.

Objetivos Objetivo de la Unidad Resolver problemas matemáticos relativos a límites, continuidad y cálculo diferencial de una función de varias variables. Objetivo de la Clase. Dada la ecuación respectiva, graficar en un sistema de ejes cartesiano de tres dimensiones, puntos, planos, rectas y superficies cuadráticas

Sistema de Coordenadas Tridimensionales. Z Z Ejes Perpendiculares Origen Y Y El sistema de ejes coordenado está formado por tres ejes perpendiculares entre sí que se cruzan en un punto denominado origen. X

Sistema de Coordenadas Tridimensionales. Z VI V II I III Los tres ejes delimitan tres planos, también perperndiculares entre sí, cuya intersección es el Origen. Estos planos son: el XY(azul-gris), el XZ (fucsia) y el YZ (amarillo). Y VII X IV Gráfico 3D generado en Archim V. 2.1

Ubicación de un punto en el espacio. Z Z0 (X0 Y0 Z0) Y0 Y Para ubicar un punto en el espacio formado por una tríada de números, donde el primero representa la coordenada X, el segundo la coordenada Y y el tercero la coordenada Z. Se trazan perpendiculares desde las coordenadas X y Y , luego, en la intersección de estas, se traza una paralela al eje Z y perpendicular al plano XY, sobre esta última se mide la coordenada Z para encontrar el punto. X0 X

Ubicación de un punto en el espacio. (1,6,0) (3,3,-2) (-2,5,4) (2,-5,4) Ejemplos. Fuente: Larson Vol 2

Ubicación de un punto en el espacio. (1,6,0) (3,3,-2) (-2,5,4) (2,-5,4) Ejemplos. Fuente: Larson Vol 2

Ubicación de un punto en el espacio. (1,6,0) (3,3,-2) (-2,5,4) (2,-5,4) Ejemplos. Fuente: Larson Vol 2

Ubicación de un punto en el espacio. (1,6,0) (3,3,-2) (-2,5,4) (2,-5,4) Ejemplos. Fuente: Larson Vol 2

Ubicación de un punto en el espacio. (1,6,0) (3,3,-2) (-2,5,4) (2,-5,4) Ejemplos. Fuente: Larson Vol 2

Planos Perpendicularles a los Ejes. Z X Y Ecuación: Z=3 Z=3 es // XY Z=3 es ┴ Z 3 Un plano perpendicular al eje Z, se representa con la Ecuación Z=Z0, donde Z0 es el punto en Z donde corta el plano con el Eje. El plano resultante es paralelo al plano XY. -3 Ecuación: Z=-3

Planos Perpendicularles a los Ejes. Z Ecuación: X=-2 X=-2 // YZ X=-2 ┴ X Traza -2 Y Un plano perpendicular al eje X, se representa con la Ecuación X=X0, donde X0 es el punto en X donde corta el plano con el Eje. Un plano perpendicular al eje Y, se representa con la Ecuación Y=Y0, donde Y0 es el punto en Y donde corta el plano con el Eje. Se denomina “Traza” al corte de una superficie con otra. Ecuación:y=3 Y=3 // ZX Y=3 ┴Y X

Planos. Z Ecuación General: c b Y a X Traza con YZ Traza con XZ Esta es la ecuación canónica general del plano. Los valores “a”, “b” y ”c” son los cortes del plano con los ejes X Y y Z, respectivamente. La ecuación de la traza con el plano XY se determina haciendo Z=0 La ecuación de la traza con el plano XZ se determina haciendo Y=0 La ecuación de la traza con el plano YZ se determina haciendo X=0. Traza con XY a X

Planos. Ejemplo 1: Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica. Ecuación: Solucion: Cortes Con X (Y=0, Z=0) 10x=30  x=3// Con Y (X=0, Z=0) 0=30+6y  y=-5// Con Z (X=0, Y=0) 15z=30  z=2// Z X Y 2 -5 3 Trazas Con XY ( Z=0) 10x=30+6y  10x-6y=30// Con YZ (X=0) 15z=30+6y  15z-6y=30// Con XZ (Y=0) 10x+15z=30// Para calcular los CORTES: Corte con X se hace Y=0 y Z=0. Corte con Y se hace X=0 y Z=0. Corte con Z se hace X=0 y Y=0.

Superficies Cilíndricas. Un plano perpendicular al eje Z, se representa con la Ecuación Z=Z0, donde Z0 es el punto en Z donde corta el plano con el Eje. Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cilíndricas. Ejemplo 2: Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica. X Z Y Ecuación: Solución: La curva directriz está en el plano XZ Las rectas generatrices son // Y Análisis de la directriz: Cortes con Z (x=0) Cortes con X (z=0) Vértice: La curva directriz está en el plano XZ ya que son las únicas variables que forman la ecuación, las rectas generatrices son paralelas a Y, ya que es la única variable que no está en la ecuación. Gráfico 3D generado en Archim V. 2.1

Superficies Cilíndricas. Ejemplo 2: Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica. Z Ecuación: Solución: La curva directriz está en el plano XZ Las rectas generatrices son // Y Análisis de la directriz: Cortes con Z (x=0) Cortes con X (z=0) Vértice: La curva directriz está en el plano XZ ya que son las únicas variables que forman la ecuación, las rectas generatrices son paralelas a Y, ya que es la única variable que no está en la ecuación. X Y Gráfico 3D generado en Archim V. 2.1

Superficies Cuadráticas. Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cuadráticas. Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cuadráticas. Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cuadráticas. Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cuadráticas. Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cuadráticas. Fuente: Larson Vol 2

Superficies Cuadráticas. Fuente: Larson Vol 2

Bibliografía / Webgrafía. Larson, R. Hostetler, R. Cálculo y Geometría Analítica.Volumen 2. Sexta Edición. McGrawHill. Larson, R. Hostetler, R. Cálculo y Geometría Analítica.Volumen 1. Sexta Edición. McGrawHill. Leithold L (1989). El Cálculo. Séptima Edición. Oxford University Press.

Puntos Notables Ecuación General Fórmulas 6. Las Funciones Cuadráticas Puntos Notables Cortes con X (Y=0) Cortes con Y (X=0) (c) Máximos y Mínimos (Y’ =0) Ecuación General Fórmulas Gráfico generado en Graphmatica V20f