LA CIRCUNFERENCIA UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 5 Departamento de Ciencias Formales Cursos de Nivelación Matemáticas IV LA CIRCUNFERENCIA Ing. Jaime Acosta Vélez

Las Cónicas Se obtienen haciendo diferentes cortes un Cono, estas figuras pueden ser: 1.- La Circunferencia 2.- La Elipse 3.- La Parábola 4.- La Hipérbola

Las Cónicas 1.- Cuando el corte se hace paralelo a la base del cono entonces la figura que resulta será Una Circunferencia.

Las Cónicas 2.- Si el Corte se realiza con un ángulo diferente a 0° o 180° con respecto a la base del cono, entonces la figura que resulta será una Elipse.

Las Cónicas 3.- Si el corte es paralelo a una de las Generatrices entonces la figura será una Parábola

Las Cónicas 3.- Si el corte es paralelo al eje que pasa por el vértice del cono entonces la figura será una Hipérbola.

En esta ocasión, solo estudiaremos a la Circunferencia Las Cónicas En esta ocasión, solo estudiaremos a la Circunferencia

LA CIRCUNFERENCIA Múltiples figuras se relacionan con la Circunferencia

LA CIRCUNFERENCIA

LA CIRCUNFERENCIA Centro Radio Línea Curva cerrada formada por un Conjunto de puntos colocados a una misma distancia (llamada Radio) de un punto interior (llamado Centro)

Cuando cambia el Radio cambia el tamaño de la Circunferencia

Cuando cambia el Centro cambia la Posición de la Circunferencia

Cuando cambia el Centro cambia la Posición de la Circunferencia

Cuando cambia el Centro cambia la Posición de la Circunferencia

LA CIRCUNFERENCIA Centro: Cambia de posición Parámetros de la Circunferencia Radio: Cambia de Tamaño

LA CIRCUNFERENCIA Posiciones de la Circunferencia en el Plano Cartesiano Ecuación en su Forma General Centro fuera del origen y de los ejes: Ecuación Canónica Ecuación Homogénea Ecuación en su Forma Particular Centro sobre alguno de los Ejes: En la parte Positiva del eje “X” En la parte Negativa del eje “X” En la parte Positiva del eje “Y” En la Parte Negativa del eje “Y” Centro sobre el origen del Sistema Cartesiano:

LA CIRCUNFERENCIA Forma Canónica: (X – h)² + (Y – k)² = R²

LA CIRCUNFERENCIA X² + Y² + DX + EY + F = 0 Forma Homogénea: (X – h)² + (Y – k)² = R² Si se elevan los cuadrados de la ecuación anterior se obtiene: (X² - 2hX + h²) + (Y² - 2kY + k²) = R² Separando y reagrupando términos e igualando a cero: X² + Y² - 2hX - 2kY + h² + k² - R² = 0 Considerando: -2h = D -2k = E y h² + k² - R² = F X² + Y² + DX + EY + F = 0

LA CIRCUNFERENCIA X² + Y² + DX + F = 0 Ecuación de la Circunferencia con centro en la parte positiva del eje “X”: Si la Circunferencia tiene su centro en la parte positiva del eje “X” entonces: C(h, 0) Y de la ecuación: (X – h)² + (Y – k)² = R² Se obtiene: (X – h)² + (Y – 0)² = R² (X – h)² + Y² = R² Elevando cuadrados y reagrupando: (X² - 2hX + h²) + Y² = R² X² + Y²- 2hX + h² - R² = 0 como: -2h = D y h² - R² = F porque k = 0 Se obtiene la Ecuación: X² + Y² + DX + F = 0

LA CIRCUNFERENCIA X² + Y² + EY + F = 0 Ecuación de la Circunferencia con centro en la parte positiva del eje “Y”: Si la Circunferencia tiene su centro en la parte positiva del eje “Y” entonces: C(0, k) Y de la ecuación: (X – h)² + (Y – k)² = R² Se obtiene: (X – 0)² + (Y – k)² = R² X² + (Y – k)² = R² Elevando cuadrados y reagrupando: X² + Y² - 2kY + k² = R² X² + Y²- 2kY + k² - R² = 0 como: -2k = E y k² - R² = F porque h = 0 Se obtiene la Ecuación: X² + Y² + EY + F = 0

LA CIRCUNFERENCIA X² + Y² + DX + F = 0 Ecuación de la Circunferencia con centro en la parte negativa del eje “X”: Si la Circunferencia tiene su centro en la parte Negativa del eje “X” entonces: C(-h, 0) Y de la ecuación: (X – h)² + (Y – k)² = R² Se obtiene: (X – h))² + (Y – 0)² = R² (X - h)² + Y² = R² elevando cuadrados y reagrupando: X² + Y² - 2hX + h² = R² X² + Y² - 2hX + h² - R² = 0 como: -2h = D y h² - R² = F porque k = 0 Se obtiene la Ecuación: X² + Y² + DX + F = 0

LA CIRCUNFERENCIA X² + Y² + EY + F = 0 Ecuación de la Circunferencia con centro en la parte negativa del eje “Y”: Si la Circunferencia tiene su centro en la parte Negativa del eje “Y” entonces: C(0, - k) Y de la ecuación: (X – h)² + (Y – k)² = R² Se obtiene: (X – 0))² + (Y – k)² = R² X² + (Y – k)² = R² Elevando cuadrados y reagrupando: X² + Y² - 2kY + k² = R² X² + Y² - 2kY + k² - R² = 0 como: -2k = E y k² - R² = F porque h = 0 Se obtiene la Ecuación: X² + Y² + EY + F = 0

LA CIRCUNFERENCIA X² + Y² = R² Ecuación de la Circunferencia con centro en el Origen: Si la Circunferencia tiene su centro en el Origen del Sistema Cartesiano entonces: C(0, 0) Y de la ecuación: (X – h)² + (Y – k)² = R² Se obtiene: (X – 0))² + (Y – 0)² = R² Se obtiene la Ecuación: X² + Y² = R²

LA CIRCUNFERENCIA Ejemplos: Dados los puntos A(-1,3) y B(3,3) correspondientes a los extremos del diámetro de una circunferencia. ¿Cuál es la ecuación de dicha circunferencia? Punto medio de AB: Por lo tanto el Centro es: C( 1, 3) de donde h = 1 y k = 3 De la formula de distancia entre dos puntos: Por lo Tanto Desarrollando cuadrados y ordenando: X² - 2X + 1 + Y² - 6Y + 9 = 4 X² + Y² - 2X -6Y + 1 + 9 – 4 = 0 Por lo tanto: X² + Y² - 2X -6Y + 6 = 0 será la ecuación de la circunferencia. Sustituyendo en la ecuación: (X – h)² + (Y – k)² = r² (X – 1)² + (Y – 3)² = 2²

LA CIRCUNFERENCIA Ejemplos: X² + Y² - 6X -2Y = 0 2.- Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el punto de intersección de las rectas:  x – 2y – 1 = 0, y x + 3y – 6 = 0 Por simultáneas se obtiene: x – 2y – 1 = 0 (x + 3y – 6 = 0)-1 0 – 5y + 5 = 0 x + 3y – 6 = 0 y = 1 Por lo tanto el centro se encuentra en: C(3, 1) de ahí que h =3 y k = 1 De la formula de distancia entre dos puntos: - x - 3y + 6 = 0 de la ecuación: (X – h)² + (Y – k)² = r² (X – 3)² + (Y – 1)² = 3.16² X² - 6X + 9 + Y² - 2Y + 1 = 10 X² + Y²- 6X - 2Y + 9 + 1 = 10 X² + Y²- 6X - 2Y + 9 + 1 - 10 = 0 Por lo tanto: X² + Y² - 6X -2Y = 0 será la ecuación de la circunferencia. x = 3

LA CIRCUNFERENCIA Ejemplos: x² + y² + 2x + 4y - 2 = 0 3.- Determinar si la ecuación 2x² + 2y² + 4x + 8y - 4 = 0, pertenece a una circunferencia y si es, obtener su centro y su radio. La llevamos a la forma general X² + Y² + DX + EY + F = 0 dividiendo entre 2 y obtenemos: x² + y² + 2x + 4y - 2 = 0 Agrupamos términos los valores de X y de Y: (x² + 2x )+ (y² + 4y) - 2 = 0 Completamos cuadrados y restamos para no alterar: (x² + 2x + 1 )+ (y² + 4y + 4) - 1 - 4 - 2 = 0 Factorizamos y reducimos: (x + 1)² +(y + 2)² - 7 = 0 La llevamos a su forma canónica y comparamos término a termino: (x + 1)² +(y + 2)² = 7 (x + h)² +(y + k)² = r² de donde se obtiene que: C(h, k) es C(-1, -2) y el radio es

LA CIRCUNFERENCIA Como el radio es positivo y mayor que cero entonces si se trata de una circunferencia Cuyo radio es R = 2.64 y el centro es C(-1, -2)