Ingeniería Económica Universidad Simón Bolívar Departamento de Ciencias Económicas y Administrativas Coordinación de Carrera de Ingeniería de Producción Ingeniería Económica Prof. César Ríos Ingeniería Económica Sartenejas 2009

2) Factores: ¿Cómo el tiempo y el interés afectan al dinero? Universidad Simón Bolívar Departamento de Ciencias Económicas y Administrativas Ingeniería Económica Prof. César Ríos 2) Factores: ¿Cómo el tiempo y el interés afectan al dinero? Sartenejas 2009

Factores de pago único (F/P y P/F) Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.1 : De los objetivos Deducir y usar los factores de la ingeniería económica para explicar el valor del dinero en el tiempo, y relativos con: Factores de pago único (F/P y P/F) Serie uniforme de factor de valor presente y recuperación de capital (P/A y A/P) Factor de fondo de amortización y serie uniforme del factor de capitalización compuesta (A/F y F/A) Interpolación en tablas de interés Factores de gradiente aritmético (P/G y A/G) Factores de serie de gradiente geométrico Determinación de una tasa de interés desconocida Determinación del número de años desconocidos

2.1 Factores de pago único (F/P y P/F) Universidad Simón Bolívar Departamento de Ciencias Económicas y Administrativas Ingeniería Económica Prof. César Ríos 2.1 Factores de pago único (F/P y P/F) Sartenejas 2009

Tema 2.1 : Factores de pago único F/P y P/F: Notación y ecuaciones Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.1 : Factores de pago único F/P y P/F: Notación y ecuaciones El factor clave en I.E. es el que determina la cantidad de dinero F que se acumula después de n años (o períodos), a partir de un valor único presente P con interés compuesto una vez por año (o por período) Año 1 Año 2 Año 3

Tema 2.1 : Factores de pago único F/P y P/F: Notación y ecuaciones Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.1 : Factores de pago único F/P y P/F: Notación y ecuaciones …luego: Año n …donde (1+i)n se conoce como “ factor de cantidad compuesta de pago único (FCCPU), o factor F/D ” …donde [1/(1+i)n] se conoce como “ factor de valor presente de pago único (FVPPU), o factor P/F ” Año n

Cantidad compuesta pago único F/P F=P (F/P,i,n) F=P(1+i)n FV(i%,n,P) Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.1 : Factores de pago único F/P y P/F: Notación y ecuaciones En resumen: Notación Nombre Encontrar/dado Ecuación en notación estándar Ecuación con formula de factor Funciones Excel (F/P,i,n) Cantidad compuesta pago único F/P F=P (F/P,i,n) F=P(1+i)n FV(i%,n,P) (P/I,i,n) Valor presente pago único P/F P=F (P/F,i,n) P=F[1/(1+i)n] PV(i%,n,P) Nota: Leer ejemplos en Sección 2.1 del texto Blank & Tarquin

(P/F, i%, n) (F/P, i%, n) Ejemplo: Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.1 : Para el uso de las tablas Las notaciones estándar para estos dos factores son: (P/F, i%, n) (F/P, i%, n) Ejemplo: Si i% = 5% y n = 10 años, ¿Cuál será el factor (P/F, i%, n)? Solución: El factor (P/F, 5%, 10), de la tabla 10, sugiere que (P/F, 5%, 10) = 0,6139 Con este factor encontraremos el valor presente equivalente a 5% anual, para cualquier cantidad F que ocurra de manera uniforme desde el año 1 hasta el 10 Nota: Ver Tablas del 1 al 19 en el anexo del texto Blank & Tarquin

2.2 Factores de pago único (P/A y A/P) Universidad Simón Bolívar Departamento de Ciencias Económicas y Administrativas Ingeniería Económica Prof. César Ríos 2.2 Factores de pago único (P/A y A/P) Sartenejas 2009

Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.2 : Valor presente y de recuperación de capital en series uniformes El valor presente, P, equivalente a una serie uniforme de flujo de efectivo al final del período, A, se representa en el esquema siguiente: i = Dada 1 2 3 n-2 n-1 n A = Dada

A para un valor presente i = Dada P = ? Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.2 : Valor presente y de recuperación de capital en series uniformes Casos de diagrama de flujo de efectivo: P de una serie uniforme A para un valor presente i = Dada P = ? 1 2 3 n-2 n-1 n A = Dada P = Dada i = Dada 1 2 3 n-2 n-1 n A = ?

Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.2 : Valor presente y de recuperación de capital en series uniformes El valor presente, P, equivalente a una serie uniforme de flujo de efectivo al final del período, A, se representa en el esquema siguiente: i = Dada 1 2 3 n-2 n-1 n A = Dada Aplicando el “ factor de valor presente de pago único (FVPPU), en cada período, derivamos el factor P/A”

… reagrupando, nos queda: Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.2 : Valor presente y de recuperación de capital en series uniformes … reagrupando, nos queda: … al multiplicar ambos miembros de la ecuación por (1+i)n , “factor de cantidad compuesta de pago único” A fin de hallar una expresión general, precedemos a construir una progresión geométrica. Recordemos…

Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 1: Recordemos la progresión geométrica Caso 5: Se llama progresión geométrica a toda sucesión de términos en la cual la razón o cociente entre un término cualquiera y el anterior a éste es constante. Esta definición equivale a decir que una sucesión de términos constituye una progresión geométrica, si cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija Ejemplo: Dado un primer término a y una razón r, la progresión geométrica correspondiente para los primeros n primeros términos estará dada por:

… reagrupando, nos queda: Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.2 : Valor presente y de recuperación de capital en series uniformes … reagrupando, nos queda: … y análogamente,

(P/A,i,n) P/A P=A(P/A,i,n) PV(i%,n,A) (A/P,i,n) A/P A=P(A/P,i,n) Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.2 : Factores de pago único P/A y A/P: Notación y ecuaciones En resumen: Los factores y su uso para encontrar P y A se resumen a continuación Notación Nombre Encontrar/dado Ecuación en notación estándar Ecuación con formula de factor Funciones Excel (P/A,i,n) Series uniformes de valor presente P/A P=A(P/A,i,n) PV(i%,n,A) (A/P,i,n) Recuperación de capital A/P A=P(A/P,i,n) PMT(i%,n,P) Nota: Leer ejemplos en Sección 2.1 del texto Blank & Tarquin

(P/A, i%, n) (A/P, i%, n) Ejemplo: Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.2 : Para el uso de las tablas Las notaciones estándar para estos dos factores son: (P/A, i%, n) (A/P, i%, n) Ejemplo: Si i% = 15% y n = 25 años, ¿Cuál será el factor (P/A, i%, n)? Solución: El factor (P/A, 15%, 25), de la tabla 19, sugiere que (P/A, 15%, 25) = 6.4641 Con este factor encontraremos el valor presente equivalente a 15% anual, para cualquier cantidad A que ocurra de manera uniforme desde el año 1 hasta el 25 Nota: Ver Tablas del 1 al 19 en el anexo del texto Blank & Tarquin

2.3 Derivación del factor de fondo de amortización y el Universidad Simón Bolívar Departamento de Ciencias Económicas y Administrativas Ingeniería Económica Prof. César Ríos 2.3 Derivación del factor de fondo de amortización y el factor de cantidad compuesta serie uniforme (A/F y F/A) Sartenejas 2009

i = Dada F = Dado A = Desconocida Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.3: Factor de fondo de amortización y el factor de cantidad compuesta Dado el valor futuro, F, se desea buscar la equivalencia relativa a una serie uniforme de flujo de efectivo al final de cada período, A, y representada en el esquema siguiente: i = Dada F = Dado 1 2 3 n-2 n-1 n A = Desconocida

Determinar A dado F Determinar F dado A i = Dada F = Dada A = ? Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.3 : Valor presente y de recuperación de capital en series uniformes Casos de diagrama de flujo de efectivo: Determinar A dado F Determinar F dado A i = Dada F = Dada 1 2 3 n-2 n-1 n A = ? i = Dada F = ? 1 2 3 n-2 n-1 n A = Dada

i = Dada F = Dado A = Desconocida Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.3: Factor de fondo de amortización y el factor de cantidad compuesta Dado el valor futuro, F, se desea buscar la equivalencia relativa a una serie uniforme de flujo de efectivo al final de cada período, A, y representada en el esquema siguiente: i = Dada F = Dado 1 2 3 n-2 n-1 n A = Desconocida Aplicando el “ factor de fondo de amortización, (FFA), en cada período, o factor A/F”, calculamos la serie uniforme A, que se inicia al final del período 1 y continúa a lo largo del período del valor futuro F. … y análogamente,

Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.3: Factor de fondo de amortización y el factor de cantidad compuesta Asimismo, dado la anualidad, A, si se desea buscar la equivalencia relativa al valor futuro, F, y representada en el esquema siguiente: i = Dada F = ? 1 2 3 n-2 n-1 n A = Dada Aplicando el “ factor de cantidad compuesta para serie uniforme (FCCSU), en cada período, o factor F/A”, donde la serie uniforme A se inicia al final del período 1 y continúa a lo largo del período hasta F.

Ecuación con formula de factor Cantidad compuesta serie uniforme Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.3: Factor de fondo de amortización y el factor de cantidad compuesta En resumen: Notación Nombre Encontrar/dado Ecuación en notación estándar Ecuación con formula de factor Funciones Excel (F/A,i,n) Cantidad compuesta serie uniforme F/A F=A(F/A,i,n) VF(i%,n,A,P) (A/F,i,n) Fondo de amortización A/F A=F(A/F,i,n) PAGO(i%,n,P,F) Nota: Leer ejemplos en Sección 2.1 del texto Blank & Tarquin

Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.3: Factor de fondo de amortización y el factor de cantidad compuesta Los factores de series uniformes se determinan simbólicamente mediante el uso de una forma de factor abreviada. Así, …luego, dado que …entonces, Demostrarlo

2.4 Interpolación en tablas de interés Universidad Simón Bolívar Departamento de Ciencias Económicas y Administrativas Ingeniería Económica Prof. César Ríos 2.4 Interpolación en tablas de interés Sartenejas 2009

Arreglo para la interpolación lineal Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.4: Interpolación de tablas de interés Cuando es necesario localizar el valor de un factor i o n que no se encuentra en las tablas de interés, el valor deseado puede obtenerse en una de dos formas: 1. Utilizando las formulas derivadas anteriormente o 2. Interpolando linealmente entre los valores tabulados. Arreglo para la interpolación lineal Tabulado Deseado Valor 1 X Valor 2 Nota: Realizar ejercicios prácticos del texto de Blank y Tarquin

2.5 Factores de gradiente aritmético (P/G y A/G) Universidad Simón Bolívar Departamento de Ciencias Económicas y Administrativas Ingeniería Económica Prof. César Ríos 2.5 Factores de gradiente aritmético (P/G y A/G) Sartenejas 2009

Tema 2.5: Factores gradiente aritmético (P/G y A/G) Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.5: Factores gradiente aritmético (P/G y A/G) Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. Es decir, el flujo de efectivo (ingresos o egresos) formulación: Diagrama de una serie gradiente aritmético con una cantidad base A, y un gradiente de G. Las formulas desarrolladas anteriormente para una serie A tienen cantidades al final del período de igual valor. En el caso de un gradiente G, el flujo de efectivo de cada final de año es diferente, de manera que se hace necesario derivar las formulas asociadas según sea el caso. Criterio: Suponemos que el flujo de efectivo al final del año 1 no forma parte de la serie del gradiente. Esto es conveniente porque en las aplicaciones reales la cantidad base en general es mayor o menor que el aumento o la disminución del gradiente.

i = Dada F = ? A = Dado G = Gradiente Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.5: Factores gradiente aritmético (P/G y A/G) Formulación: Diagrama de una serie gradiente aritmético con una cantidad base A, y un gradiente de G. i = Dada F = ? 1 2 3 n-2 n-1 n A = Dado G = Gradiente G=cambio aritmético constante en la magnitud de los ingresos o desembolsos de un período al siguiente

Tema 2.5: Factores gradiente aritmético (P/G y A/G) Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.5: Factores gradiente aritmético (P/G y A/G) … reagrupando, nos queda: … luego,

Tema 2.5: Factores gradiente aritmético (P/G y A/G) Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.5: Factores gradiente aritmético (P/G y A/G) … reagrupando, nos queda: … luego, Así, el factor de valor presente de gradiente aritmético, o factor P/G, se expresa como: De igual modo, si expresamos el valor presente como una relación de ingeniería económica, será:

Tema 2.5: Factores gradiente aritmético (P/G y A/G) Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.5: Factores gradiente aritmético (P/G y A/G) Diagrama de conversión de un gradiente aritmético a un valor presente: Clave: El gradiente comienza en el año 2 y P está ubicado en el año 0

Tema 2.5: Factores gradiente aritmético (P/G y A/G) Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.5: Factores gradiente aritmético (P/G y A/G) La serie anual uniforme equivalente (A) de un gradiente aritmético G se calcula multiplicando el valor presente de la ecuación por la expresión del factor . Veamos: … recordemos

Tema 2.5: Factores gradiente aritmético (P/G y A/G) Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.5: Factores gradiente aritmético (P/G y A/G) Así, tenemos que Asimismo, … luego, al sustituir en y despejando, nos queda que

Tema 2.5: Factores gradiente aritmético (P/G y A/G) Ingeniería Económica Prof. César Ríos Tema 2.5: Factores gradiente aritmético (P/G y A/G) Diagrama de conversión de un gradiente aritmético a un valor presente: Nota: Revisar tabla de los factores 1 a 29 en el texto de Blank y Tarquin