MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

¿Qué es el movimiento armónico simple? Un movimiento armónico simple es un movimiento periódico y oscilatorio, sin rozamiento, producido por una fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento y aplicada en la misma dirección pero en sentido contrario. Son movimientos vibratorios que se pueden expresar mediante funciones armónicas.

Conceptos previos Movimiento periódico: - Se repite a intervalos iguales de tiempo -Periodo T :  Tiempo transcurrido entre dos puntos equivalentes de la oscilación -Frecuencia F: número de oscilaciones que se realiza en un segundo Se mide en segundos (Se deducirá más adelante) Se mide en hertz o

Movimiento Vibratorio: -Producido por una fuerza que varía periódicamente y que en todo momento es directamente proporcional al desplazamiento -El movimiento vibratorio no es uniforme, es producido por una fuerza periódica lo que implica una aceleración variable: Ej: el péndulo -Oscilación o vibración completa o ciclo: Es el movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición central, o posición de equilibrio

Amplitud Es el valor máximo que puede tomar la elongación. Amplitud En el péndulo se escribe como A Amplitud

Posición de Equilibrio Resorte de Hooke LEY DE HOOKE: “ Fuerza es proporcional a la elongación” Constante de Hooke Constante de Hooke: K= Constante de Hooke ( ) F= Fuerza Externa (en Newton) x= Elongación (en metros) = K Posición de Equilibrio Elongación resorte= 2cm por masa 4 kg X X0

Fuerzas que actúan en el sistema Se considera que en el sistema no hay roce -Fuerza externa: Fuerza necesaria para sacar el sistema del punto de equilibrio -Fuerza restauradora: Aplicada por el resorte, necesaria para que el resorte vuelva a su posición de equilibrio Es contraria a Fext Suma de Fuerzas es 0 De lo anterior se desprende que: Entonces: F restauradora = -F externa X0 Fext = kx Fr= - Kx

Fr= - Kx Fext= 2000 * 2* 10-2 Fext = kx Ejemplo de lo estudiado: A un resorte de Hooke, que cuelga verticalmente, cuya posición de equilibrio es , se le adosa una masa de 4kg. Su elongación es 2cm ¿Cuál es la constante de Hooke? X0 Se considera Fext= m*g (actúa la gravedad) Fext= 4kg * 10 m/s Fext= 40 N X= 2 cm 2* 10-2 40 N = K 2* 10-2 K= 2000 b)¿Cuál es la fuerza de restauración? K= 2000 x= 2* 10-2 Fr= -2000 * 2* 10-2 Fr= - Kx Fr= -40 N c) ¿Cuál es la fuerza externa? K= 2000 x= 2* 10-2 Fext= 2000 * 2* 10-2 Fext = kx F ext= 40 N

Trabajo Método del gráfico W= ½ * Kx Si la fuerza es constante se tiene que: Método del gráfico Podemos determinar el trabajo realizado entre las posiciones x1 y x2 calculando el área sombreada, es decir: w= Fx x: distancia F: fuerza externa Se deduce la fórmula para M.A.S W= ½ * Kx

Aceleración Magnitud vectorial que nos indica el cambio de velocidad por unidad de tiempo. Su unidad en el Sistema Internacional es el m/s2. En M.A.S es siempre negativa Deducción fórmula: F= -Kx ma = -Kx Se considera que el resorte no tiene masa x: elongación cualquiera k: constante m: masa que mueve el sistema a= -Kx m

Energía de un M.A.S. Energía cinética En el m.a.s. la energía se transforma continuamente de potencial en cinética y viceversa. Energía cinética Es periódica, proporcional al cuadrado de la amplitud y depende de la posición, tiene un valor máximo en el centro y mínimo en los extremos.

Energía potencial elástica La energía potencial (Ep) almacenada en un resorte estirado o comprimido esta dada por: Energía mecánica No depende de la posición. Es constante

Velocidad V = La velocidad varía en el M.A.S: Al aplicarle una fuerza el punto de máxima velocidad es el punto de equilibrio En los extremos (de elongación y contracción) la velocidad es igual a 0. Deducción de la fórmula: Ep = ½ Kx0 2 ½ kx + ½ mv2 = ½ Kx0 2 /* 2 kx2 + mv2 = Kx0 2 mv2 = Kx0 - kx2 mv2 = K (x0 2- x2 ) V =

Periodo Es el tiempo que tarda el movimiento en repetirse o tiempo que tarda la partícula en realizar una vibración completa Aplicando las leyes de la dinámica y sabiendo que la aceleración de un movimiento armónico simple es a = - w2x (para M.A.S cinemática) tenemos:   Si sustituimos  por su valor en función del período y despejamos éste, nos queda:

Ejemplos MAS Oscilación de un resorte horizontal, masa adosada Oscilación de un resorte vertical, masa adosada Oscilación de un péndulo

Péndulo Es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y sin peso. Es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.

Ecuación del movimiento Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud,l Se tiene las siguiente fórmulas: Sólo si el ángulo es pequeño se trata de una M.A.S

Resorte Un operador elástico capaz de almacenar energía y desprenderse de ella sin sufrir deformación permanente cuando cesan las fuerzas o la tensión a las que es sometido

Tabla ejemplo resorte con masa adosada

Problemas de aplicación. 1.- un resorte realiza 12 oscilaciones en 12 segundos. Calcular el periodo y la frecuencia de oscilación. 2.- cuando una masa de 400 g se cuelga de un resorte se estira 35cm . ¿Cual es la constante del resorte? ¿Cual será el nuevo alargamiento si agregamos una masa de 400g a la que se colgó primero? 3.- una masa de 200 g oscila horizontalmente sin fricción en el extremo de un resorte horizontal para el cual la constante de Hooke es 7.0 N/m . La masa se desplaza 5cm de su posición de equilibrio y luego se suelta. Determine: Su máxima rapidez La energía mecánica del siste3ma La rapidez cuando se encuentra a 3cvm de la posición de equilibrio La aceleración en cada uno de los casos.

4. - Una masa de 5 gr sujeta al extremo de un resorte oscila con MAS 4.- Una masa de 5 gr sujeta al extremo de un resorte oscila con MAS . La amplitud del movimiento es 12cm y el periodo es de 1,7 s . Determinar La frecuencia La constante del resorte La máxima rapidez de la masa La aceleración máxima de esta+ La rapidez cuando el desplazamiento es de 6cm La aceleración para el desplazamiento anterior La energía mecánica cuando esta completamente comprimido. 5.- Cuando una masa m se cuelga de un resorte , este se estira 6cm . Determínese el periodo de oscilación cuando se tira del resorte hacia abajo un poco y después se suelta.

6. - una masa de 50 g cuelga de un resorte de Hooke 6.- una masa de 50 g cuelga de un resorte de Hooke . Cuando se añaden 20g al extremo del resorte , este se estira 7cm mas . Determinar: La constante del resorte Si los 20g se remueven ,¿Cuál es ahora el periodo de oscilación? 7.- Una varilla larga ,ligera y de acero esta fijo en su extremo inferior y tiene amarrada una pelota de 2kg en la parte superior, se requiere una fuerza de 8N para desplazar la pelota 20cm de su posición de equilibrio. Si el sistema entra en MAS cuando se libera. Determinar: El periodo de oscilación y la frecuencia del MAS.

7.- Un motor eléctrico se monta sobre cuatro resorte verticales , cada uno tiene una constante de Hooke de 30N/m . Determinar: El periodo y la frecuencia de oscilación vertical. 8.- Calcular la aceleración de la gravedad en un lugar donde un péndulo simple de 150,3 cm de longitud esfectua 100 ciclos en 246,7 s.

9. - Se vierte mercurio en un tubo de vidrio en U 9.- Se vierte mercurio en un tubo de vidrio en U . En equilibrio el mercurio se encuentra a la misma altura en ambas columnas , pero cuando es perturbado oscilara hacia arriba y hacia abajo a partir de la posición de equilibrio en ambos brazas. Un centímetro de la columna de mercurio tiene una masa de 15 g . Suponga que la columna se desplaza como se muestra en la figura , después se libera y oscila sin fricción . Determinar: La constante efectiva de Hooke El periodo y la frecuencia de oscilación del MAS.

10.- 11.- Un primer péndulo simple ejecuta 20 oscilaciones en 4 segundos y un segundo péndulo simple 60 oscilaciones en 5 segundos. Si ambos péndulos se encuentran en el mismo lugar. ¿Cuál es la razón de la longitud del segundo respecto a la longitud del primero? Un péndulo simple de 8 metros de longitud oscila con un período de 2 segundos. Si el período se duplica. ¿Cuál será la longitud del péndulo?

12. - Un cuerpo experimenta un MAS con período 4 segundos 12.- Un cuerpo experimenta un MAS con período 4 segundos. Si inicia su movimiento cuando el resorte esta alargado 20 cm. Determinar:         a)      Al cabo de que tiempo está a 10 cm y dirigido hacia el origen.         b)      La velocidad del cuerpo cuando ha transcurrido un segundo después de haberlo soltado.

13.- El período de oscilación de un péndulo es de 12 segundos; si la longitud se triplicara. ¿Cuál sería el nuevo período de oscilación? 14.- El período de oscilación de un péndulo es 12 segundos; si su longitud disminuye en un 10%. Determinar su nuevo período.

15.- ¿Qué longitud debe tener un péndulo simple para que su frecuencia sea de 150 osc/min? (g=PI2 m/s2 ) 16.- Un péndulo simple de 8 metros de longitud oscila con un periodo de 2 segundos. Si el periodo se duplica. ¿Cuál será la longitud del péndulo?

17.- El periodo de oscilación de un péndulo simple es  (sqrt 10)segundos. Si su longitud disminuye en un 10%, determinar su nuevo periodo. 18.- La frecuencia de un péndulo simple es de 6 Hertz, luego es llevado a la Luna, en donde la gravedad es la sexta parte que la tierra. ¿Cuál es el valor de la frecuencia en la Luna en Hertz?

19.- ¿Cuál es la constante de fase inicial  en la ecuación del movimiento x = A . Sen (ωt +φ)?.  si las posiciones iniciales de la partícula son:  a) x = 0 b) x = -A c) x = +A d) x = A/2

a fase inicial se produce cuando t =0 por lo que nos queda que x = A a fase inicial se produce cuando t =0 por lo que nos queda que x = A.sen φ :