2/17/2019 SISTEMAS LINEALES ALGEBRA MATRICIAL.

Norma vectorial y matricial Una norma vectorial en 𝑅 𝑛 es una función que cumple las siguientes propiedades: 𝑥 ≥0 ∀𝑥∈ 𝑅 𝑛 𝑥 =0⇔𝑥=𝕆 𝛼𝑥 = 𝛼 𝑥 ∀𝛼∈𝑅 ∀𝑥∈ 𝑅 𝑛 𝑥+𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 ∀𝑥,𝑦∈ 𝑅 𝑛 En particular definimos 𝑥 2 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 2 Y 𝑥 ∞ = max 1≤𝑖≤𝑛 𝑥 𝑖 La norma 2 es la que conocemos como norma euclídea. 2/17/2019

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Distancia 𝑥−𝑦 2 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑦 𝑖 2 𝑥−𝑦 ∞ = max 1≤𝑖≤𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑦 𝑖 Dados dos vectores de 𝑅 𝑛 se define la distancia entre ellos como la norma de la diferencia entre ellos. Así tenemos: 𝑥−𝑦 2 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑦 𝑖 2 Y 𝑥−𝑦 ∞ = max 1≤𝑖≤𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑦 𝑖 Convergencia Una sucesión 𝑥 𝑘 𝑘≥1 de vectores de 𝑅 𝑛 converge a x respecto de la norma . 𝑠𝑖 ∀𝜀>0 ∃ 𝑁 𝜀 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒: 𝑥 𝑘 −𝑥 <𝜀 ∀𝑘≥𝑁 𝜀 2/17/2019

Para todo 𝑥∈ 𝑅 𝑛 se verifica: 𝑥 ∞ ≤ 𝑥 2 ≤ 𝑛 𝑥 ∞ Demostrado en clase Teorema Para todo 𝑥∈ 𝑅 𝑛 se verifica: 𝑥 ∞ ≤ 𝑥 2 ≤ 𝑛 𝑥 ∞ Demostrado en clase La siguiente figura muestra el resultado anterior para el caso n=2 2/17/2019

Definición Una norma matricial sobre el conjunto de las matrices nxn es una función de valor real . que satisface: 𝐴 ≥0 𝐴 =0 ↔𝐴 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑢𝑙𝑎 𝛼𝐴 = 𝛼 𝐴 𝐴+𝐵 ≤ 𝐴 + 𝐵 𝐴𝐵 ≤ 𝐴 𝐵 La distancia entre dos matrices se define como: 𝐴−𝐵 Propiedad Si . es una norma vectorial en 𝑅 𝑛 entonces: 𝐴 = max 𝑥 =1 𝐴𝑥 Es una norma matricial. A esta norma se la llama norma natural o inducida por la norma vectorial 2/17/2019

Corolario Propiedad: 𝐴 ∞ = max 1≤𝑖≤𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑎 𝑖𝑗 Para todo vector 𝑧≠𝕆 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 Natural . se tiene: 𝐴𝑧 ≤ 𝐴 𝑧 Las normas que usaremos son: 𝐴 ∞ = max 𝑥 ∞ =1 𝐴𝑥 ∞ 𝐴 2 = max 𝑥 2 =1 𝐴𝑥 2 Propiedad: Sea 𝐴∈ 𝑅 𝑛𝑥𝑛 entonces: 𝐴 ∞ = max 1≤𝑖≤𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑎 𝑖𝑗 2/17/2019

Autovalores de una matriz Ejemplo Calcular 𝐴 ∞ siendo: 𝐴= 1 2 −1 0 3 −1 5 −1 1 Autovalores de una matriz Si A es una matriz cuadrada el polinomio definido por: 𝑝 𝜆 =𝑑𝑒𝑡 𝐴−𝜆𝐼 Se denomina polinomio característico de A y los ceros de éste son los autovalores o valores propios de la matriz A 2/17/2019

El radio espectral de una matriz A se define como: 𝜌 𝐴 =𝑚𝑎𝑥 𝜆 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜆 𝑒𝑠 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐴 Si 𝜆=𝛼+𝑖𝛽 entonces 𝜆 = 𝛼 2 + 𝛽 2 Teorema Si A es una matriz nxn entonces: 𝐴 2 = 𝜌 𝐴 𝑡 𝐴 𝜌 𝐴 ≤ 𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 . . Ejemplo Calcular: El radio espectral de A. Calcular 𝐴 2 Verificar que 𝜌 𝐴 ≤ 𝐴 ∞ 2/17/2019 𝐴= 1 1 0 1 2 1 −1 1 2