Teoría de juegos: Juegos repetidos Rafael Salas abril de 2005 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I Teoría de juegos: Juegos repetidos Rafael Salas abril de 2005

Juegos repetidos Son juegos estáticos que se juegan un número repetido de veces: A. Juegos infinitos B. Juegos finitos Es previsible que ello altere el comportamiento: al aumentar la probabilidad de que los agentes puedan coordinarse y evitar situaciones como el dilema de los presos De hecho, con los juegos repetidos se pueden justificar comportamientos colusivos en juegos estrictamente no-cooperativos. En otras palabras, podemos concluir en comportamientos eficientes en juegos como el dilema de los presos.

Juegos repetidos No obstante va a existir una diferencia cualitativa importante entre ambos tipos de juegos: A. Juegos infinitos B. Juegos finitos La coordinación en soluciones colusivas (o cooperativas) va a ser posible en los juegos infinitos. Por otra parte, va a ser imposible en algunos juegos finitos. Esta paradoja la veremos más en detalle...

Juegos repetidos: conceptos previos Un juego repetido G(T) consiste en un juego de etapa G: G={N,S,U} que se repite un número T de veces. Si T es finito, se trata de un juego finito y T es infinito, se trata de un juego repetido infinitas veces. El juego de etapa es normalmente un juego simultáneo, como el dilema de los presos...

Ejemplo: dilema de los presos Juego de etapa G en forma estratégica: Jug 2 N C 3 6 N 3 Jug 1 1 C 6 1 .

La tasa de descuento intertemporal  En valor presente VPi=t=1T  t-1 Ui (t) donde  es la tasa de descuento intertemporal =0 sólo se valora el presente. Máxima impaciencia =1 se valora a todos los periodos por igual Es como la “tasa de paciencia” Es igual a 1/(1+r), lo que hace que tenga una relación inversa con r, la tasa de descuento de la economía

G(T=2) Juego de etapa jugado dos periodos En forma extensiva =1: 1  C N   2 2   N C N C   1   1     1   1 (3, 3) (0, 6) (6, 0) (1, 1) N C N C N C N C   2   2   2   2   2   2   2   2 N C N C N C N C N C N C N C N C                     (6, 6) (3, 9) (9, 3) (4, 4) (3, 9) (0, 12) (6, 6) (1, 7) (9, 3) (6, 6) (12, 0) (7, 1) (4, 4) (1, 7) (7, 1) (2, 2) En valor presente VPi= t-1 Ui (t)

G(T=2) Juego de etapa jugado dos periodos En forma estratégica =1: Jug 2 NN NC CN CC 6 9 9 12 NN 6 3 3 3 4 6 7 Jug 1 NC 4 1 9 6 3 6 4 7 CN 9 6 4 1 1 1 2 CC 7 2 12 7 .

Valor presente medio VPM Normalizamos el valor presente VPi= t=1T  t-1 Ui (t) por  t=1T  t-1 VPMi= VPi/  t=1T  t-1 Si =1:  t=1T  t-1 = T para juegos finitos  :  t=1T  t-1 =1/1- para juegos infinitos Nótese que VPM es una transformación monótona positiva de VP, que no altera el orden de preferencias

G(T=2) Juego de etapa jugado dos periodos En forma estratégica =1 y en valores medios: Jug 2 NN NC CN CC 2 4,5 4,5 6 NN 2 1,5 1,5 1,5 2 3 3,5 Jug 1 NC 2 0,5 4,5 3 1,5 3 2 3,5 CN 4,5 3 2 0,5 0,5 0,5 1 CC 3,5 1 6 3,5 .

Juegos repetidos: ENPS Primer resultado: Todo EN en el juego de etapa G constituye un ENPS del juego repetido G(T) un númeto T de veces (finita o infinita). Selten (1963) Con ello, queda garantizada la existencia. La demostración se basa en que si Uit(st*)  Ui(sit, s-it*), t T iI entonces:  t-1 Ui (s*)   t-1 Ui (si, s-i*) Nótese que en este caso una estrategia pura es si=(si1,..., sit,..., siT) una secuencia de acciones en el tiempo

Práctica ¿Cuál sería el EN por inducción hacia atrás (ENPS) del juego repetido planteado anteriormente si T=2? .

Solución en VPM: Jug 2 Jug 1 . En forma estratégica =1 y en valores medios: Jug 2 NN NC CN CC 3 4,5 4,5 6 NN 3 1,5 1,5 1,5 2 3 3,5 Jug 1 NC 2 0,5 4,5 3 1,5 3 2 3,5 CN 4,5 3 2 0,5 0,5 0,5 1 CC 3,5 1 6 3,5 .

Solución equivalente en VP: En forma estratégica =1: Jug 2 NN NC CN CC 6 9 9 12 NN 6 3 3 3 4 6 7 Jug 1 NC 4 1 9 6 3 6 4 7 CN 9 6 4 1 1 1 2 CC 7 2 12 7 .

Solución por inducción hacia atrás: En forma extensiva =1: 1  C N   2 2   N C N C   1   1     1   1 (4, 4) (1, 7) (7, 1) (2, 2) N C N C N C N C   2   2   2   2   2   2   2   2 N C N C N C N C N C N C N C N C                     (6, 6) (3, 9) (9, 3) (4, 4) (3, 9) (0, 12) (6, 6) (1, 7) (9, 3) (6, 6) (12, 0) (7, 1) (4, 4) (1, 7) (7, 1) (2, 2) En valor presente

Juegos repetidos: Si sólo existe un EN en el juego de etapa G, éste es el único ENPS del juego repetido G(T) un númeto T finito. ¿Existe alguna otra estrategia (diferente del EN) que sea también ENPS? Nos interesan especialmente aquellas que supongan soluciones cooperativas, que sean más eficientes. La solución va a depender de varias cuestiones: juegos infinitos y finitos.

Juegos infinitos: Teorema Folk: Friedman 1971 Si el juego de etapa G tiene un EN ineficiente, por ejemplo s*. Siempre existe un  suficientemente alto para el que otro vector x factible y más eficiente, esto es que Ui (x)  Ui (s*), iI, es un ENPS del juego repetido infinitamente G(,). Va a ser posible bajo un sistema de estrategias condicionadas apropiadas. Por ejemplo la estartegia “gatillo”: se trata de jugar x si el otro jugador no se desvía y, si se desvía, pasar a jugar indefinidamente s* a partir de entonces.

Estrategia “gatillo”: Ocasiona un cambio permanente, si el otro se desvía, que llevaría a la imposibilidad de obtener un resultado más eficiente. (1) Sin embrago se puede demostrar, que bajo esa “amenaza”, nadie se desvía para un  alto. En otras palabras, siempre existe un  suficientemente alto, para el que nadie se desvía y se alcanza una solución más eficiente x. La amenaza nunca se realiza, pero sirve para alcanzar el resultado eficiente. (2) No obstante hay que demostrar que es una amenaza creible: si uno se desvía, el otro aplica la amenaza.

Estrategia “gatillo”: (2) Esto es así porque jugar el EN del juego de etapa (la solución ineficiente) es perfectamente creible por ser la mejor respuesta (es EN de hecho) (1) Siempre existe un  suficientemente alto, para el que nadie se desvía y se alcanza una solución más eficiente x. Hay que ver que esto es verdad y que es creible. Volvamos al dilema de los presos jugado un número infinito de veces..

Estrategia “gatillo”: (caso =1) Dilema de los presos jugado un número infinito de veces: si cooperan y se callan obtinen): VPi(CC,CC,CC,...)=3+3+3+... VPMi(CC,CC,CC,...)= VPi / T= 3 Si el jugador dos no coopera en un momento, el otro deja de cooperar en cuyo caso obtienen: VP2(CN,NN,NN,...)=6+1+1+... VPM2(CN,NN,NN,...)=(6+T-1)/T converge a 1 si T VP1(CN,NN,NN,...)=0+1+1+... VPM1(CN,NN,NN,...)= (0+T-1)/T converge a 1 si T Preferiría cooperar a partir de la tercera etapa ganan los dos

Estrategia “gatillo”: (caso =0) Dilema de los presos jugado un número infinito de veces: si cooperan y se callan obtinen): VPi(CC,CC,CC,...)=3 VPMi(CC,CC,CC,...)= VPi / T= 3/T Si el jugador dos no coopera en un momento, el otro deja de cooperar en cuyo caso obtienen: VP2(CN,NN,NN,...)=6 VP1(CN,NN,NN,...)=0 Sentiría deseos de desviarse si sólo valora el presente

Estrategia “gatillo”: Si para =1 los dos prefieren cooperar y para =0 prefienen no cooperar. Dada la continuidad de los pagos con , siempre existe un  suficientemente alto, para el decidan cooperar: VPi(CC,CC,CC,...)=3+3+32+...=3/(1-) VPMi(CC,CC,CC,...)= 3 Si el jugador dos no coopera en un momento, el otro deja de cooperar en cuyo caso obtiene: VP2(CN,NN,NN,...)=6++2+...=6+/(1-) En este caso preferiría cooperar a partir de >3/5

    VPM2 VPM1 Gráficamente... La amenaza gatillo se puede (6, 0) La amenaza gatillo se puede generalizar a todo x más eficiente que (1,1). El  requerido será menos exigente a medida que x se acerca al EN del juego (1,1)   (3, 3) x  (1, 1)  (0, 6) VPM1

Juegos finitos: Existen dos posibles soluciones: (1) Que existan más de un EN en el juego de etapa (2) Que exista una probabilidad de que el juego acabe en el periodo t

Juegos finitos (1): Proposición: Si el juego de etapa G tiene varios EN ineficientes, por ejemplo s*y s**, tales que uno sea más eficiente que el otro Ui (s*)  Ui (s**), iI . Existe otro vector x factible y más eficiente, esto es que Ui (x)  Ui (s*), iI, que es un ENPS del juego repetido finitamente G(T,), al menos en las primeras etapas del juego t<T. Va a ser posible bajo el sistema de estrategias condicionadas apropiadas siguiente: se trata de jugar cooperativamente x en t<T y s* en T y si amenazar con jugar s** a partir de que el otro jugador se desvíe. EL ENPS es x en t<T y s* en T (no se desviarán)

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