Menú: Principio multiplicativo, aditivo y permutación Unidad 5: Combinatoria Menú: Principio multiplicativo, aditivo y permutación

Habilidad: Argumentar y comunicar Explicar procedimientos Justificar usando conocimientos matemáticos Convencer Reflexionar y corregir errores

Ejemplo Una persona que define viajar desde Santiago al Litoral Central puede hacerlo por Línea de Buses A o Línea de Buses B. La línea A tiene 2 buses y la línea B tiene 3.

Principio aditivo Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, donde A puede ocurrir de m maneras distintas, y B puede ocurrir de n maneras distintas, entonces existen m + n maneras de que ocurra A o B.

La clave está en buscar la o implícita La clave está en buscar la o implícita. En el ejemplo anterior, la persona tiene que escoger una de las opciones de buses, no puede utilizar dos buses a la vez. Tiene que escoger uno O el otro

Para pensar… Una tienda ofrece poleras de 4 tallas distintas: S, M, L y XL, cada una de ellas en cinco colores diferentes. ¿Cuántos tipos de poleras distintas tiene la tienda?

Técnicas de conteo: el principio multiplicativo Si un evento A puede ocurrir de m maneras distintas, y un evento B puede ocurrir de n maneras distintas, entonces existen m ∙ n maneras de que ocurra Ay a continuación ocurra B

La clave está en buscar la y implícita La clave está en buscar la y implícita. En el ejemplo anterior, la polera debe tener una talla y un color. Ambas características a la vez (una y la otra).

Y ahora… En el problema anterior, ¿cuántos tipos de poleras habría si, además, tuvieran las modalidades con y sin cuello?

Resuelve y Argumenta Un PIN de un celular consta de 4 dígitos del 0 al 9. ¿Cuántas combinaciones de PIN diferentes se puede introducir?

Utiliza el principio multiplicativo Para recordar una clave de cinco letras, Diego decide usar solo las vocales sin repetir ninguna de ellas. ¿Cuántas claves distintas podría crear?

Permutación (sin repetición) Una permutación (sin repetición) de n elementos es cada uno de los posibles órdenes de ellos, sin repetición. Se anota la cantidad total de los órdenes posibles como 𝑃 𝑛 . (Se lee “p sub ene”)

Factorial El total de permutaciones de n elementos sin repetición se calcula como 𝑃 𝑛 =𝑛∙ 𝑛−1 ∙ 𝑛−2 ∙…∙2∙1 Este producto, de todos los números naturales de 1 hasta n, se llama n factorial (y se escribe n!).

Ejemplo: Rosario tiene 12 libros de una colección que ha comenzado a formar. Si para guardarlos ha instalado una repisa en su pieza, ¿de cuántas maneras puede ordenarlos?

Ahora ustedes!! Miguel es profesor y en su curso hay 32 estudiantes. Si los quiere formar en fila, ¿de cuántas maneras puede hacerlo?

Menú: Permutación circular y con repetición Unidad 5: Combinatoria Menú: Permutación circular y con repetición

¿Cuántos ordenamientos diferentes se pueden realizar en la fila ¿Cuántos ordenamientos diferentes se pueden realizar en la fila? Y ¿Cuántos ordenamientos diferentes se pueden realizar en la mesa?

Permutación circular Son permutaciones en las cuales no existe una primera y una última posición (a diferencia de las permutaciones lineales). El número total de permutaciones de n elementos es 𝑃 𝑛 = 𝑛−1 !

Ejemplo: Existen (5 - 1)! (=4!) formas de ordenar a 5 personas alrededor de una mesa.

Para pensar… ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra “celular”?

Permutación con repetición Dado un conjunto de n elementos, el número total de permutaciones con repetición 𝑃𝑅 𝑛 que pueden realizarse de manera que el primer elemento se repita 𝒌 𝟏 veces, el segundo 𝒌 𝟐 veces … está dado por:

𝑷𝑹 𝒏,( 𝒌 𝟏 , 𝒌 𝟐 ,…, 𝒌 𝒏 ) = 𝒏! 𝒌 𝟏 ! 𝒌 𝟐 !… 𝒌 𝒏 !

Ejemplo: Con las cifras 5, 5, 5, 4, 4, 6, 6, 6 y 6, ¿Cuántos números de 9 dígitos se pueden formar?

Ejemplo: Obtenga todas las señales posibles que se pueden formar con 6 banderines de los cuales 2 son rojos, 3 morados y 1 verde.

Ejemplo: ¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3?. ¿Cuántas de las claves anteriores empiezan por un número uno seguido de un dos?.

Menú: Variación con y sin repetición Unidad 5: Combinatoria Menú: Variación con y sin repetición

Vamos a recordar:

¿Recuerdas este ejemplo? Un PIN de un celular consta de 4 dígitos del 0 al 9. ¿Cuántas combinaciones de PIN diferentes se puede introducir?

Variación (con repetición) Es cada una de las posibles ordenaciones de r elementos que se pueden obtener de un total de n elementos, en las cuales se puede repetir uno o más de ellos.

Variación (con repetición) El número total de ordenaciones está dado por: 𝑽𝑹 𝒓 𝒏 = 𝒏 𝒓

Ejemplo Dadas las letras A, B C y D, ¿cuál es el número de variaciones con repetición que pueden formarse tomando las letras de dos en dos?

Para pensar Un PIN de un celular consta de dígitos del 0 al 9. ¿Cuántas combinaciones de PIN diferentes se pueden introducir si no se puede repetir ningún dígito?

Variación (sin repetición) Dado un conjunto de n elementos, se denominan variaciones sin repetición a cada una de las posibles ordenaciones de r elementos que se pueden obtener sin repetir ninguno ( 𝐕 𝐫 𝐧 ).

Variación (sin repetición) El número total de ordenaciones está dado por: 𝑽 𝒓 𝒏 = 𝒏! 𝒏−𝒓 !

Ejemplo Camilo tiene una playlist en Spotify con 10 canciones. En el camino desde su casa al colegio solo alcanza a escuchar 3 de ellas. ¿Cuántas formas distintas podría arrojar el modo aleatorio de la playlist para las primeras 3 canciones?

Menú: Combinación con y sin repetición Unidad 5: Combinatoria Menú: Combinación con y sin repetición

Combinación Son los diferentes grupos de r elementos que se pueden formar de un total de n. En donde el orden de ellos no es relevante.

Ejemplo Alejandra tiene una playlist en Spotify con 8 canciones. En el camino desde su casa al colegio solo alcanza a escuchar 2 de ellas. ¿Cuánto pares distintos podría arrojar el modo aleatorio de la playlist para las primeras 2 canciones?

Combinación (sin repetición) Dado un conjunto de n elementos, son los combinaciones de r elementos que se pueden obtener sin repetir ninguno de ellos. 𝐶 𝑟 𝑛

𝐶 𝑟 𝑛 = 𝑛! 𝑛−𝑟 !∙𝑟!

Combinación (con repetición) Son las posibles combinaciones de r elementos que se obtienen de un total de n, cuando se admiten repeticiones de ellos. 𝐶𝑅 𝑟 𝑛

𝐶 𝑟 𝑛 = (𝑛+𝑟−1)! 𝑛−1 !∙𝑟!

Ejemplo Ignacia se saca 6 fotos con sus amigos en una fiesta. Quiere subir 2 de ellas a su historia de Instagram. ¿Cuántos pares de fotos distintos puede poner si consideramos que puede subir la misma foto dos veces?

Ejemplo En una pastelería hay cinco tipos de pasteles diferentes. Si se eligen 4 pasteles, ¿cuántas combinaciones posibles de pasteles podemos elegir?

5) ¿Cuántos cuadriláteros se pueden formar con los vértices de un pentágono regular?

¿Cuántas opciones tienes, si debes escoger tres asignaturas entre seis optativas?