Teoría Axiomática General de Agregados (I) Jorge Baralt-Torrijos Universidad Simón Bolívar Octubre 2003 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Contenido Plataforma formal Relación de pertenencia Concepto de agregado Concepto de conjunto 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Plataforma formal 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Plataforma formal Lógica de predicados de primer orden con identidad El predicado diádico primitivo EsMbr El predicado monádico primitivo EsClsP 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Relación de Pertenencia 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Interp. EsMbr EsMbr(y)(x) =a x es miembro de y x Î y =a EsMbr(y)(x) y x 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Df. Cont Cont(y)(x) =a EsMbr(x)(y) Cont(y)(x) =s x contiene a y y Î x =a Cont(y)(x) x y 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Df. NoEsMbr NoEsMbr(y)(x) =a ¬ EsMbr(y)(x) NoEsMbr(y)(x) =s x no es miembro de y x Ï y =a NoEsMbr(y)(x) y x 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Df. EsIntegrante EsIntegrante(x) =a $y x Î y EsIntegrante(x) =s x es un integrante y x 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Integrantes Integrantes 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Df. EsMaximal EsMaximal(x) =a ¬ EsIntegrante(x) EsMaximal(x) =s x es maximal x 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ts. EsMaximal $x EsMaximal(x) Û ¬ "x EsIntegrante(x) "x EsIntegrante(x) Û ¬ $x EsMaximal(x) "x EsMaximal(x) Û ¬ $x EsIntegrante(x) $x EsIntegrante(x) Û ¬ "x EsMaximal(x) 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Maximales Maximales Integrantes 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Df. EsAgrupacion EsAgrupacion(x) =a $y y Î x EsAgrupacion(x) =s x es una agrupación x y 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ts. EsAgrupacion $x EsAgrupacion(x) Û $x EsIntegrante(x) 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Agrupaciones Agrupaciones Maximales Integrantes 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Df. EsMinimal EsMinimal(x) =a ¬ EsAgrupacion(x) EsMinimal(x) =s x es minimal x 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ts. EsMinimal $x EsMinimal(x) Û ¬ "x EsAgrupacion(x) "x EsAgrupacion(x) Û ¬ $x EsMinimal(x) "x EsMinimal(x) Û ¬ $x EsAgrupacion(x) $x EsAgrupacion(x) Û ¬ "x EsMinimal(x) ¬ "x EsMaximal(x) Û ¬ "x EsMinimal(x) 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Minimales Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Df. EsAgrupante EsAgrupante(x) =a EsAgrupacion(x) Ù EsIntegrante(x) EsAgrupante(x) =s x es un agrupante x z y 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Agrupantes Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Concepto de agregado 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Interp. EsClsP EsClsP(x) =a x es una clase primitiva 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Clases Primitivas Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes Clases Primitivas 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Df. EsElemento EsElemento(x) =a $y (EsClsP(y) Ù x Î y) EsElemento(x) =s x es un elemento 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Variables de Elementos "a j(a) =a "x (EsElemento(x) Þ j(x)) $a j(a) =a $x (EsElemento(x) Ù j(x)) $!a j(a) =a $!x (EsElemento(x) Ù j(x)) /*para a,b,c,d,a1,... 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ts. EsElemento EsElemento(x) Þ EsIntegrante(x) EsIntegrante(a) ¬ $a EsMaximal(a) EsClsP(x) Þ "y (y Î x Þ EsElemento(y)) $x EsElemento(x) Þ $x EsClsP(x) 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Elementos Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes Elementos Clases Primitivas 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Df. EsIntNoElem EsIntNoElem(x) =a EsIntegrante(x) Ù ¬ EsElemento(x) EsIntNoElem(x) =s x es un integrante no elemental 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Integrantes no elementales Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes Elementos Clases Primitivas 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Df. EsClsX EsClsX(x) =a EsAgrupacion(x) Ù "y (y Î x Þ EsElemento(y)) EsClsX(x) =s x es una clase por extensión 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ts. EsClsX EsClsX(x) Þ EsAgrupacion(x) EsClsX(x) Þ "y (y Î x Þ EsElemento(y)) EsClsP(x) Ù EsAgrupacion(x) Þ EsClsX(x) $x EsElemento(x) Û $x EsClsX(x) 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Clases por extensión Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes Elementos Clases Primitivas Clases por Extensión 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Df. EsClase EsClase(x) =a EsClsP(x) Ú EsClsX(x) EsClase(x) =s x es una clase 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Variables de Clase "X j(X) =a "x (EsClase(x) Þ j(x)) $X j(X) =a $x (EsClase(x) Ù j(x)) $!X j(X) =a $!x (EsClase(x) Ù j(x)) /*para X,Y,Z,X1,... 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ts. EsClase EsClsP(x) Þ EsClase(x) EsClsX(x) Þ EsClase(x) EsClase(x) Þ "y (y Î x Þ EsElemento(y)) EsAgrupacion(x) Þ (EsClase(x) Û "y (y Î x Þ EsElemento(y))) EsClase(x) Ù EsAgrupacion(x) Û EsClsX(x) EsAgrupacion(X) Û EsClsX(X) 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Clases Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes Elementos Clases 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Df. EsAgregado EsAgregado(x) =a EsAgrupacion(x) Ú EsClase(x) EsAgregado(x) =s x es un agregado 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ts. Agregados EsAgrupacion(x) Þ EsAgregado(x) EsClase(x) Þ EsAgregado(x) EsAgregado(X) EsAgregado(x) Û EsAgrupacion(x) Ú EsClsP(x) 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Agregados Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes Elementos Clases Agregados 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Df. EsAgregante EsAgregante(x) =a EsAgregado(x) Ù EsIntegrante(x) EsAgregante(x) =s x es un agregante 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Agregantes Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Df. EsIndividuo EsIndividuo(x) =a ¬ EsAgregado(x) EsIndividuo(x) =s x es un individuo 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ts. Individuos EsIndividuo(x) Þ EsMinimal(x)  ¬ EsClase(x) 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Individuos Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Df. EsVacio EsVacio(x) =a EsAgregado(x)  EsMinimal(x) EsVacio(x) =s x es vacío 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ts. EsVacio EsVacio(x) Þ EsClase(x) EsVacio(x) Þ EsMinimal(x) EsVacio(x) Þ EsClsP(x) EsAgregado(x) Û EsAgrupacion(x) Ú EsVacio(x) EsAgregado(x) Þ (EsClase(x) Û "y (y Î x Þ EsElemento(y))) EsVacio(x) Û EsAgregado(x)  "y (y Î x Û $z (y Î z  y Ï z)) 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Vacíos Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Df. EsAgrNoCls EsAgrNoCls(x) =a EsAgregado(x) Ù ¬ EsClase(x) EsAgrNoCls(x) =s x es un agregado no clásico 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Agregados no clásicos Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ts. EsAgrNoCls EsAgrNoCls(x) Þ EsAgrupacion(x) "x (EsAgrupacion(x) Þ EsClase(x)) Þ ¬ $x EsAgrNoCls(x) Ù "x (EsAgregado(x) Û EsClase(x)) Ù "x (EsIntegrante(x) Û EsElemento(x)) Ù ¬ $x EsIntNoElem(x) 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Si todo agregado es clase Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Concepto de Conjunto 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Df. EsConjunto EsConjunto(x) =a EsClase(x) Ù EsElemento(x) EsConjunto(x) =s x es un conjunto 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Variables de Conjuntos "A j(A) =a "x (EsConjunto(x) Þ j(x)) $A j(A) =a $x (Conjunto(x) Ù j(x)) $!A j(A) =a $!x (Conjunto(x) Ù j(x)) /*para A,B,C,D,A1,... 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ts. EsConjunto EsConjunto(x) Þ EsClase(x) EsClase(A) EsAgregado(A) EsConjunto(x) Þ EsElemento(x) EsElemento(A) EsIntegrante(A) EsAgregante(A) 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Conjuntos Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Df. EsClasePrp EsClasePrp(x) =a EsClase(x) Ù ¬ EsConjunto(x) EsClasePrp(x) =s x es una clase propia 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Clases Propias Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ts. EsClasePrp "x (EsAgrupacion(x) Þ EsClase(x)) Þ "x (EsClasePrp(x) Þ EsMaximal(x)) 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Si todo agregado es clase Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Mapa conceptual EsIntegrante EsMaximal EsMbr EsAgrupacion EsMinimal EsElemento EsClsX EsVacio EsAgregado EsClsP EsClase EsConjunto EsIndividuo 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ejemplos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ejemplos varios Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ejemplos varios Minimales Agrupaciones Maximales a a Integrantes Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ejemplos varios Minimales Agrupaciones Maximales a a Integrantes Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ejemplos varios Minimales Agrupaciones Maximales b a b a Integrantes Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ejemplos varios Minimales Agrupaciones Maximales a b b a Integrantes Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ejemplos varios Minimales Agrupaciones c Maximales c a b b a Integrantes Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ejemplos varios Minimales Agrupaciones c Maximales c a b b a Integrantes Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ejemplos varios Minimales Agrupaciones c Maximales d c a b b a Integrantes d Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ejemplos varios Minimales Agrupaciones c Maximales c a b d a b Integrantes d Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ejemplos varios Minimales Agrupaciones Clases Primitivas c Maximales c a b d Integrantes a b d Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ejemplos varios Minimales Agrupaciones Clases Primitivas c Maximales c a b Integrantes d ab d Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ejemplos varios Minimales Agrupaciones Clases Primitivas c Maximales c a b Integrantes d ab d Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ejemplos varios Minimales Agrupaciones Clases Primitivas c Maximales c a b Integrantes d ab d Elementos Clases Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos

Jorge Baralt-Torrijos Ejemplo modelo Clases Primitivas Minimales Agrupaciones a b c e d a b c d e f g h i j m h o k l m n o n i j Clases l g k f Agregados Individuos 09/10/03 Jorge Baralt-Torrijos