Números complejos 18 de Septiembre

Unidad imaginaria Al resolver algunas ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales como la siguiente, se obtienen raíces que no son números reales porque hay que hallar la raíz cuadrada de un número negativo. Para resolver estas ecuaciones se necesita ampliar el conjunto de los números reales.

Un número complejo es un par ordenado de números reales. La unidad imaginaria es    y se representa por i (i viene de imaginario) Utilizando esta definición de unidad imaginaria ya se pueden hallar las raíces cuadradas de los números negativos. Un número complejo es un par ordenado de números reales.

Conjunto números complejos A partir de los números reales se define el conjunto de los números complejos de la siguiente forma:

Forma binómica del número complejo La forma binómica de un número complejo es la expresión a+bi, a se llama la parte real y b la parte imaginaria. Si la parte imaginaria es nula, entonces el número es real. Por tanto, los números reales están contenidos en los números complejos. Se llaman números imaginarios puros a los que tienen parte real igual a cero.

Representación gráfica Los números complejos se representan en unos ejes coordenados en el plano, que se llama plano de Gauss. La parte real se representa en el eje de abcisas X, que se llama eje real y la parte imaginaria en el eje de ordenadas Y, que se llama eje imaginario. El afijo de un número complejo es el punto que se le hace corresponder en el plano. El afijo del número complejo z=a+bi es el punto P(a,b).

Complejos puros Los complejos de la forma (a; 0) reciben el nombre de complejos reales puros (CR ) y se encuentran situados en el eje real. Los complejos de la forma (0;b) se denominan complejos imaginarios puros y se ubican sobre el eje imaginario Opuesto y conjugado de un complejo Dado el complejo z = (a;b) su opuesto es: – z = ( - a;- b ) Dado el complejo z = (a;b) su conjugado es: z = ( a;- b )

Gráficamente, entre un complejo y su opuesto, existe una simetría puntual de centro en el origen y, entre un complejo y su conjugado existe una simetría axial de eje real.

Complejo nulo z = (a; b) el es complejo nulo, si y sólo si a = b = 0, anotándose z = (0; 0) = 0   Igualdad de complejos Dados los complejos z = (a; b) y w = ( c;d), resulta z = w si y sólo si a = c ∧ b = d.

Operaciones con números complejos Adición: Dados los complejos z1= (a; b) y z2 = (c; d), se define: z1 + z2 = (a; b)+(c; d) = (a+c; b+d) Observación: La sustracción entre números complejos se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. z1 - z2 = z1 +(- z2) = (a; b)+(- c; - d) = (a - c; b - d)

Propiedades Ley de composición interna ∀z1, ∀z2 ∈ C : (z1 + z2 ) ∈ C Conmutatividad ∀z1, ∀z2 ∈ C : z1 + z2 = z2 + z1 Existencia de elemento neutro: ∀z ∈ C, ∃ 0 = (0;0) ∈ C/ z + 0 = 0 + z = z Existencia de elemento puesto: ∀z ∈ C, ∃ (-z) ∈ C/ z + (-z) = (-z) + z = 0 Asociativa: ∀z1, ∀z2, ∀z3 ∈ C : (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 )

Producto por un escalar Dado el complejo z=(a;b) y α R , se define: α .z = α .(a;b)=( α .a; α .b) PROPIEDADES: Ley de composición externa: ∀α ∈ R, ∀z ∈ C : (α . z) ∈ C Distributividad con respecto a la adición de complejos: ∀α ∈ R, ∀z1, ∀z2 ∈ C : α . (z1 + z2 ) = α . z1 + α . z2

Distributividad con respecto a la adición de escalares: ∀α, ∀β ∈ R, ∀z ∈ C : (α + β) . z = α . z + β . Z Asociatividad mixta: ∀α, ∀β ∈ R, ∀z ∈ C : (α . β ) . z = α . (β . z) De la unidad: ∀z ∈ C, ∃ 1∈ R / 1. z = z Observación: Como el conjunto de los números complejos con las operaciones adición y producto por un escalar definidas, cumple con las propiedades enunciadas se dice que tiene estructura de Espacio vectorial.

Multiplicación de complejos: Dados los complejos z1= (a; b) y z2 = (c; d), se define:  z1 . z2 = (a; b).(c; d) = (a.c- b.d; a.d+b.c) PROPIEDADES: Ley de composición interna: ∀ z1 , ∀ z 2 ∈ C : (z1 • z 2 ) ∈ C Conmutatividad: ∀ z1 , ∀ z2 ∈ C : z1 • z2 = z2 • z1 Existencia de elemento neutro: ∀z = (a; b) ∈ C, ∃ e = (1;0) ∈ C / z • e = e • z = z

Existencia de elemento inverso: ∀z = (a; b) ≠ 0 ∈ C, ∃ z'∈ C / z • z' = z'•z = e = (1;0) Asociativa: ∀z1, ∀z2, ∀z3 ∈ C : (z1 • z2 ) • z3 = z1 • (z2 • z3 )

Potenciación La potenciación de un número complejo con potencia natural, se resuelve como una multiplicación reiterada: zn = (a; b)n = (a;b) • (a;b) • ... • (a;b) asociando de a dos los pares ordenados.  

UNIDAD IMAGINARIA Definición La unidad imaginaria, es el número complejo imaginario puro (0;1) y se lo representa con la letra i o j.  

ejercicios Hallar el valor de h y k reales para que los complejos z1= ( 3.h +1; h +2.k) y z2 = ( 7; k) sean iguales. Calcular : z = 1/2. ( 2 ;−1) + (−2;3).(0;−1) Calcular z = (2; -1)3 Verificar que i2 = -1.

Demostrar: El producto entre un complejo y su conjugado es igual a la suma de los cuadrados de sus respectivas partes reales y partes imaginarias

Potencias sucesivas i Se calculan algunas potencias n ∈ N0 de la unidad imaginaria i: i0 =1 i4 = i2.i2 = 1 i8 = i4.i4 = 1 i1 = i i5 = i. i4 = i … i2 =-1 i6 = (i2)3 =-1 i3 = i . i2 = -i i7 = i .i6 = -i   Se observa que, cada cuatro potencias sucesivas de la unidad imaginaria se repiten las soluciones, por lo tanto, cuando se desea elevar i a una potencia n ∈ N0 cualquiera, se puede proceder de la siguiente manera:

Cociente de números complejos El cociente de números complejos se hace racional izando el denominador ; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.

Números complejos en números polares El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z| .

Argumento de un complejo