1/14/2019 SISTEMAS LINEALES ALGEBRA MATRICIAL

Norma vectorial y matricial Una norma vectorial en ℝ 𝑛 es una función es una función . de ℝ 𝑛 en ℝ con las siguientes propiedades: En particular definimos: La norma 2 es la que se denomina norma euclídea 1/14/2019

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Desigualdad de Cauchy- Schwarz Para todo 𝑥= 𝑥 1 ,…, 𝑥 𝑛 e 𝑦= 𝑦 1 ,…, 𝑦 𝑛 ∈ ℝ 𝑛 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎: Distancia Dados dos vectores de ℝ 𝑛 se define la distancia entre ellos como la norma de la diferencia. Así tenemos: Definición Se dice que una sucesión 𝑥 𝑘 𝑘≥1 de vectores de ℝ 𝑛 converge a x respecto de la norma . si ∀𝜺>𝟎 ∃ 𝑵 𝜺 tal que: 1/14/2019

Teorema Para todo 𝑥∈ ℝ 𝑛 se verifica: Demostración (en clase). La siguiente figura muestra el resultado anterior cuando n=2 1/14/2019

Definición Una norma matricial sobre el conjunto de las matrices de nxn es una función de valor real . que satisface: La distancia entre dos matrices se define como : 𝑨−𝑩 . Propiedad Si . es una norma vectorial en ℝ 𝑛 entonces: Es una norma matricial. A esta norma se la llama norma natural o inducida por la norma vectorial 1/14/2019

Las normas que veremos son: Corolario Para todo vector 𝑧≠0 , 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 . 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: Las normas que veremos son: 1/14/2019

Para el caso n=2 y la matriz igual a: Tenemos la siguiente interpretación gráfica: 1/14/2019

Si 𝐴= 𝑎 𝑖𝑗 es una matriz nxn, entonces: Teorema Si 𝐴= 𝑎 𝑖𝑗 es una matriz nxn, entonces: Ejemplo Calcular 𝐴 ∞ siendo : Autovalores de una matriz Si A es una matriz cuadrada el polinomio definido por: Se denomina polinomio característico de A y los ceros de éste son los Autovalores o valores propios de la matriz A 1/14/2019

Si A es una matriz nxn entonces: Definición Si 𝜆 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐴 𝑦 𝑠𝑖 𝑥≠0 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑: 𝐴−𝜆𝐼 𝑥=0 entonces x se denomina autovector o vector propio de A, asociado al autovalor 𝜆 Radio espectral El radio espectral de una matriz A se define como: Teorema Si A es una matriz nxn entonces: 1/14/2019

Ejemplo Calcule: El radio espectral de A Calcule 𝐴 2 Verifique que: 𝜌 𝐴 ≤ 𝐴 ∞ Siendo 1/14/2019

Métodos iterativos para resolver sistemas lineales Veremos los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel, que datan de fines del siglo XVIII. Un método iterativo con el cual se resuelve el sistema lineal A.x=b comienza con una aproximación lineal 𝑥 0 y genera una sucesión de vectores 𝑥 𝑘 𝑘≥0 que converge a x, siendo x la solución del sistema. Básicamente consisten en convertir el sistema A.x=b en otro equivalente de la forma x=T.x+c para alguna matriz fija T y un vector fijo c. Luego de seleccionar el vector inicial 𝑥 0 , la sucesión de los vectores de la solución aproximada se genera calculando: 𝑥 𝑘+1 =𝑇 𝑥 𝑘 +c Ejemplo: Resolver por el método de Jacobi el siguiente sistema, iterar hasta Que: 1/14/2019

La siguiente tabla muestra los resultados de las sucesivas iteraciones Podemos observar que: Y además: Siendo 𝑥= 1 2 −1 1 la solución real del sistema 1/14/2019

Ejemplo Resolver por el método de Gauss-Seidel el sistema, del ejercicio anterior. ¿Cuántas iteraciones son necesarias para obtener la misma precisión? La siguiente tabla muestra las cinco primeras iteraciones del método tomando como semilla el vector nulo. Observamos que: Esto quiere decir que el método de Gauss- Seidel requirió la mitad de las iteraciones que Jacobi para obtener la misma precisión!!!! 1/14/2019

Convergencia de los métodos iterativos El método de Jacobi se puede escribir de la forma Escribiendo la matriz De la forma: 1/14/2019

La ecuación A.x=b se puede reescribir como: Luego: La ecuación A.x=b se puede reescribir como: Si existe 𝐷 −1 (es decir si 𝑎 𝑖𝑖 ≠0) tenemos: Luego el método de Jacobi se puede escribir como: Si llamamos: Tenemos: 1/14/2019

En el ejemplo anterior tenemos: Para el método de Gauss-Seidel dado que actualizamos los valores, tenemos: 1/14/2019

Siguiendo la notación anterior tenemos: Y Llamando El método de Gauss-Seidel se puede escribir como: Para que exista 𝐷−𝐿 −1 𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑖𝑖 ≠0 1/14/2019

Teorema Corolario Dado que ambos métodos se han escrito de la forma: para 𝑥 0 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 Veremos las condiciones que debe cumplir la matriz T para asegurar la convergencia del método. Teorema Para cualquier 𝑥 0 ∈ ℝ 𝑛 , la sucesión 𝑥 𝑘 𝑘≥0 definida por Converge a la única solución de si y solo si 𝜌 𝑇 <1 Corolario Si 𝑇 <1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑦 𝑐 es un vector cualquiera, entonces la sucesión 𝑥 𝑘 𝑘≥0 definida por Converge a la única solución de y las siguientes cotas son válidas: 1/14/2019

Otras propiedades interesantes para investigar la convergencia: Definición previa. Se dice que la matriz A de n x n es estrictamente diagonal dominante por filas cuando se satisface: Se dice que la matriz A de n x n es estrictamente diagonal dominante por columnas cuando se satisface: 𝑎 𝑖,𝑖 > 𝑖=1,𝑖≠𝑗 𝑛 𝑎 𝑖,𝑗 , ∀𝑖= 1,…,𝑛 Una matriz es estrictamente diagonal dominante, cuando lo es por filas o por columnas. 1/14/2019

Teorema Si A es estrictamente diagonal dominante, entonces para cualquier elección de 𝒙 𝟎 el método de Jacobi y Gauss-Seidel generan una sucesión 𝑥 𝑘 𝑘≥0 que converge a la única solución del sistema A.x=b. Si 𝒂 𝒊𝒋 ≤𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒊≠𝒋 𝒚 𝒂 𝒊𝒊 >𝟎 ∀𝒊=𝟏,𝟐….,𝒏, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒔𝒆𝒓á 𝒗á𝒍𝒊𝒅𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒚 𝒔ó𝒍𝒐 𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒂𝒇𝒊𝒓𝒎𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔: La parte i) indica que cuando un método da convergencia entonces ambos la dan y el método de Gauss-Seidel converge mas rápidamente que el de Jacobi. La parte ii) indica que, cuando un método diverge, entonces ambos divergen y la divergencia es más rápida en el método de Gauss-Seidel. 1/14/2019