El camí més curt i estratègies per a trobar-lo Carlos D'Andrea 1 1 1 1

“Caminos” “cortos” 2 2 2

El Conector Mínimo 3 3 3

El Camino más Corto 4 4 4

El Problema del Viajante 5 5 5

¿Cómo se resuelve esto? Se podrían calcular todas las posibles opciones y quedarse con la más “corta” 6 6 6

Hay 15 “longitudes”, 215= 32.768 posibilidades ¿Cómo se resuelve esto? Se podrían calcular todas las posibles opciones y quedarse con la más “corta” Hay 15 “longitudes”, 215= 32.768 posibilidades 7 7 7

Hay 15 “longitudes”, 215= 32.768 posibilidades ¿Cómo se resuelve esto? Se podrían calcular todas las posibles opciones y quedarse con la más “corta” Hay 15 “longitudes”, 215= 32.768 posibilidades 8 8 8

¡Y podrían ser más!! 9 9 9

¿Es fácil para un ordenador? 10 10

¿Es fácil para un ordenador? 49 ciudades 1950 11 11

¿Es fácil para un ordenador? 49 ciudades 1950 2392 ciudades 1980 12 12

Un ordenador... lo hace? 49 ciudades 1950 2392 ciudades 1980 13 13

¿Es fácil para un ordenador? 49 ciudades 1950 2392 ciudades 1980 85900 ciudades 2006 .... Luego de 280 días de cálculo! 14 14

Time is Money! 15 15 15

¿Cómo calcular“rápido”? 16 16 16

El idioma del ordenador Un algoritmo es como una receta de cocina 17 17 17

El idioma del ordenador Un algoritmo es como una receta de cocina un conjunto de instrucciones que se sigue para resolver un problema 18 18 18

Algoritmo eficiente Los algoritmos eficientes son aquelllos que un ordenador puede realizar en tiempo razonable 19 19 19

¿"Razonable"? Si la cantidad de pasos a realizar es exponencial (como el factorial del número de vértices), el algoritmo NO es eficiente 20 20 20

Test de rapidez 316=3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3=43046721 21 21 21

Test de rapidez 15 operaciones 316=3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3=43046721 15 operaciones 22 22 22

Test de rapidez 15 operaciones 32=9 → 92=81→ 812=6561→ 65612=43046721 316=3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3=43046721 15 operaciones 32=9 → 92=81→ 812=6561→ 65612=43046721 23 23 23

Test de rapidez 15 operaciones 32=9 → 92=81→ 812=6561→ 65612=43046721 316=3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3=43046721 15 operaciones 32=9 → 92=81→ 812=6561→ 65612=43046721 4 operaciones 24 24 24

Iterativo vs recursivo 32^n=3x3x3x3x3x......x3x3x3 2n-1 productos ¡Exponencial! 25 25 25

Iterativo vs recursivo 32^n=3x3x3x3x3x......x3x3x3 2n-1 productos ¡Exponencial! 32=9 → 92=81→ .....→ (32^(n-1))2 n productos ¡Lineal! 26 26 26

En nuestro caso... ¿Es posible encontrar un algoritmo (recursivo, iterativo o...) que resuelva los tres problemas sin tener que hacer una cantidad exponencial de operaciones? 27 27 27

Hoy aprenderemos... 28 28 28

Hoy aprenderemos... Conector mínimo: Algoritmo de Prim 29 29 29

Hoy aprenderemos... Conector mínimo: Algoritmo de Prim Camino más corto: Algoritmo de Dijkstra 30 30 30

Hoy aprenderemos... Conector mínimo: Algoritmo de Prim Camino más corto: Algoritmo de Dijkstra Problema del Viajante: ??? 31 31 31

Un poco de lenguaje 32 32 32

Un poco de lenguaje Un grafo conexo tiene 33 33 33

Un poco de lenguaje Un grafo conexo tiene vértices o nodos 34 34 34

Un poco de lenguaje Un grafo conexo tiene vértices o nodos aristas o lados 35 35 35

Un poco de lenguaje Un grafo conexo tiene vértices o nodos aristas o lados las aristas tienen pesos o longitudes 36 36 36

Conector Mínimo (Algoritmo de Prim) Dado un grafo conexo, encuentra una red mínima o un conector mínimo entre todos sus vértices 37 37 37

Algoritmo de Prim: paso 0 Elegimos un vértice cualquiera (A1), y lo "separamos" de los otros V={A1} W={A2,A3,A4,A5,A6,A7} 38 38 38

Algoritmo de Prim: 1o paso Calculamos todas las longitudes de aristas que salen de V y llegan a W V={A1} W={A2,A3,A4,A5,A6,A7} 39 39 39

Algoritmo de Prim: 2o paso Nos quedamos con el lado de longitud más corta, agregamos el nuevo vértice a V, y lo quitamos de W V={A1,A4} W={A2,A3,A5,A6,A7} 40 40 40

Algoritmo de Prim: 3o paso Como en el 1er paso, volvemos a calcular todas las longitudes de lados que conectan puntos de V con puntos de W V={A1,A4} W={A2,A3,A5,A6,A7} 41 41 41

Algoritmo de Prim: 4o paso Como en el 2do paso, nos quedamos con el lado de menor longitud. Modificamos los conjuntos V y W V={A1,A4,A5} W={A2,A3,A6,A7} 42 42 42

Algoritmo de Prim: 5o paso Repetimos el 1er paso V={A1,A4,A5} W={A2,A3,A6,A7} 43 43 43

Algoritmo de Prim: 6o paso Repetimos el 2do paso V={A1,A4,A5,A7} W={A2,A3,A6} 44 44 44

Algoritmo de Prim: 7o paso Repetimos el 1er paso V={A1,A4,A5,A7} W={A2,A3,A6} 45 45 45

Algoritmo de Prim: 8o paso Repetimos el 2do paso V={A1,A4,A5,A7,A3} W={A2,A6} 46 46 46

Algoritmo de Prim: 9o paso Repetimos el 1er paso V={A1,A4,A5,A7,A3} W={A2,A6} 47 47 47

Algoritmo de Prim: 10o paso Repetimos el 2do paso V={A1,A4,A5,A7,A3,A2} W={A6} 48 48 48

Algoritmo de Prim: finale Repetimos el 1er paso V={A1,A4,A5,A7,A3,A2} W={A6} 49 49 49

Algoritmo de Prim: finale Repetimos el 1er paso V={A1,A4,A5,A7,A3,A2} W={A6} y el 2do una vez más 50 50 50

Y la red mínima es... 51 51 51

Análisis 52 52 52

Análisis Algoritmo recursivo: hay dos pasos que se repiten: 53 53 53

Análisis Algoritmo recursivo: hay dos pasos que se repiten: Calcular las longitudes desde un conjunto de vértices hacia el otro 54 54 54

Análisis Algoritmo recursivo: hay dos pasos que se repiten: Calcular las longitudes desde un conjunto de vértices hacia el otro Elegir el lado de longitud mínima e incrementar el conjunto de vértices de partida. 55 55 55

Análisis Algoritmo recursivo: hay dos pasos que se repiten: Calcular las longitudes desde un conjunto de vértices hacia el otro Elegir el lado de longitud mínima e incrementar el conjunto de vértices de partida. Cantidad de pasos: polinomial en # vértices 56 56 56

¿Cómo “ve” un grafo el ordenador? Matriz 57 57 57

Un ejemplo 58 58 58

(Algoritmo de Dijkstra) El Camino más corto (Algoritmo de Dijkstra) Dados un grafo conexo y dos de sus vértices, encuentra un camino de longitud mínima que los une 59 59 59

Algoritmo de Dijkstra: paso 0 Separamos los vértices en 2 conjuntos, uno de ellos solamente tendrá a uno de los extremos con una distancia asociada (= 0) V={(A5,0)} W={A1,A2,A3,A4,A5,A7} 60 60 60

Algoritmo de Dijkstra: 1o paso Calculamos todas las distancias posibles entre vértices de V y vértices de W V={(A5,0)} W={A1,A2,A3,A4,A6,A7} 61 61 61

Algoritmo de Dijkstra: 2o paso Nos quedamos con la menor distancia, incorporamos ese vértice a V y lo quitamos de W V={(A5,0),(A4,3)} W={A1,A2,A3,A5,A7} 62 62 62

Algoritmo de Dijkstra: 3o paso Repetimos el primer paso V={(A5,0),(A4,3)} W={A1,A2,A3,A5,A7} 63 63 63

V={(A5,0),(A4,3),(A1,4)} W={A2,A3,A5,A7} Algoritmo de Dijkstra: 4o paso Repetimos el segundo paso V={(A5,0),(A4,3),(A1,4)} W={A2,A3,A5,A7} 64 64 64

V={(A5,0),(A4,3),(A1,4)} W={A2,A3,A5,A7} Algoritmo de Dijkstra: 5o paso Repetimos el primer paso V={(A5,0),(A4,3),(A1,4)} W={A2,A3,A5,A7} 65 65 65

V={(A5,0),(A4,3),(A1,4),(A7,8)} W={A2,A3,A5} Algoritmo de Dijkstra: 6o paso Repetimos el segundo paso V={(A5,0),(A4,3),(A1,4),(A7,8)} W={A2,A3,A5} 66 66 66

¡Problema resuelto! 67 67 67

Camino más corto A6- A7 V={(A6,0)} W={A1,A2,A3,A4,A5,A7} 68 68 68

Camino más corto A6- A7 V={(A6,0),(A4,5)} W={A1,A2,A3,A5,A7} 69 69 69

Camino más corto A6- A7 V={(A6,0),(A4,5)} W={A1,A2,A3,A5,A7} 70 70 70

V={(A6,0),(A4,5),(A1,5)} W={A2,A3,A5,A7} Camino más corto A6- A7 V={(A6,0),(A4,5),(A1,5)} W={A2,A3,A5,A7} 71 71 71

V={(A6,0),(A4,5),(A1,5)} W={A2,A3,A5,A7} Camino más corto A6- A7 V={(A6,0),(A4,5),(A1,5)} W={A2,A3,A5,A7} 72 72 72

V={(A6,0),(A4,5),(A1,5),(A2,7)} W={A3,A5,A7} Camino más corto A6- A7 V={(A6,0),(A4,5),(A1,5),(A2,7)} W={A3,A5,A7} 73 73 73

V={(A6,0),(A4,5),(A1,5),(A2,7)} W={A3,A5,A7} Camino más corto A6- A7 V={(A6,0),(A4,5),(A1,5),(A2,7)} W={A3,A5,A7} 74 74 74

V={(A6,0),(A4,5),(A1,5),(A2,7),(A5,0)} W={A3,A7} Camino más corto A6- A7 V={(A6,0),(A4,5),(A1,5),(A2,7),(A5,0)} W={A3,A7} 75 75 75

V={(A6,0),(A4,5),(A1,5),(A2,7),(A5,0)} W={A3,A7} Camino más corto A6- A7 V={(A6,0),(A4,5),(A1,5),(A2,7),(A5,0)} W={A3,A7} 76 76 76

V={(A6,0),(A4,5),(A1,5),(A2,7),(A5,8)(A7,9)} W={A3} Camino más corto A6- A7 V={(A6,0),(A4,5),(A1,5),(A2,7),(A5,8)(A7,9)} W={A3} 77 77 77

V={(A6,0),(A4,5),(A1,5),(A2,7),(A5,8)(A7,9)} W={A3} Y el camino más corto es... V={(A6,0),(A4,5),(A1,5),(A2,7),(A5,8)(A7,9)} W={A3} 78 78 78

Análisis 79 79 79

Análisis Algoritmo recursivo: hay dos pasos que se repiten: 80 80 80

Análisis Algoritmo recursivo: hay dos pasos que se repiten: Calcular las distancias desde un conjunto de vértices hacia el otro 81 81 81

Análisis Algoritmo recursivo: hay dos pasos que se repiten: Calcular las distancias desde un conjunto de vértices hacia el otro Elegir la distancia mínima e incrementar el conjunto de vértices de partida hasta llegar al destino 82 82 82

Análisis Algoritmo recursivo: hay dos pasos que se repiten: Calcular las distancias desde un conjunto de vértices hacia el otro Elegir la distancia mínima e incrementar el conjunto de vértices de partida hasta llegar al destino Al llegar al destino hay que "desandar" el camino 83 83 83

El Problema del Viajante (????) 84 84 84

Y el paseo más corto es... A1→A7→A3→A2→A6→A4→A5→A4→A1= 31 85 85 85

Sin pasar 2 veces por el mismo lugar.. A1→A7→A3→A2→A6→A5→A1= 32 86 86 86

¿Algoritmo eficiente??? 87 87 87

¡No hay! 88 88 88

Mejor dicho... 89 89 89

Mejor dicho... No se sabe si hay un algoritmo o no 90 90 90

Mejor dicho... No se sabe si hay un algoritmo o no Desde el año 2000 hay una recompensa de 1.000.000 U$D para quien "resuelva" el problema 91 91 91

P vs NP? P = Polinomial (determinístico) NP = Polinomial (no determinístico) 92 92 92

P vs NP 93 93 93

Y mientras tanto qué??? 94 94 94

"Algoritmo" de Christofides Es polinomial, y encuentra un camino "razonable", a veces el más corto pero no siempre 95 95 95

Comenzamos calculando una red mínima Algoritmo: paso 0 Comenzamos calculando una red mínima 96 96 96

"Marcamos" los vértices a los que llega un número impar de aristas Algoritmo: 1º paso "Marcamos" los vértices a los que llega un número impar de aristas 97 97 97

"Marcamos" los vértices a los que llega un número impar de aristas Algoritmo: 1º paso "Marcamos" los vértices a los que llega un número impar de aristas 98 98 98

"Conectamos" pares de estos vértices Algoritmo: 2º paso "Conectamos" pares de estos vértices 99 99 99

"Conectamos" pares de estos vértices Algoritmo: 2º paso "Conectamos" pares de estos vértices 100 100 100

"Conectamos" pares de estos vértices Algoritmo: 2º paso "Conectamos" pares de estos vértices 101 101 101

"Conectamos" pares de estos vértices Algoritmo: 2º paso "Conectamos" pares de estos vértices 102 102 102

Intentamos "mejorar" los vértices que tienen más de 2 aristas Algoritmo: 3º paso Intentamos "mejorar" los vértices que tienen más de 2 aristas 103 103 103

Intentamos "mejorar" los vértices que tienen más de 2 aristas Algoritmo: 3º paso Intentamos "mejorar" los vértices que tienen más de 2 aristas A1→A7→A3→A2→A6→A5→A1= 32 104 104 104

Intentamos "mejorar" los vértices que tienen más de 2 aristas Algoritmo: 3º paso Intentamos "mejorar" los vértices que tienen más de 2 aristas A1→A7→A3→A2→A6→A4→A5→A4→A1= 31 105 105 105

Para entrenarse mejor.... 106 106

Para entrenarse mejor.... Demostrar que los algoritmos de Prim y Dijkstra calculan lo que dicen que calculan 107 107

Para entrenarse mejor.... Demostrar que los algoritmos de Prim y Dijkstra calculan lo que dicen que calculan Implementar (programar) estos algoritmos 108 108

Para entrenarse mejor.... Demostrar que los algoritmos de Prim y Dijkstra calculan lo que dicen que calculan Implementar (programar) estos algoritmos Estudiar la complejidad de estos algoritmos 109 109

Para entrenarse mejor.... Demostrar que los algoritmos de Prim y Dijkstra calculan lo que dicen que calculan Implementar (programar) estos algoritmos Estudiar la complejidad de estos algoritmos Aprender a diferenciar las clases de complejidad 110 110

Para entrenarse mejor.... Demostrar que los algoritmos de Prim y Dijkstra calculan lo que dicen que calculan Implementar (programar) estos algoritmos Estudiar la complejidad de estos algoritmos Aprender a diferenciar las clases de complejidad Tener ideas originales! 111 111

Y si os va este rollo... 112 112

Y si os va este rollo... Matemática Discreta 113 113

Y si os va este rollo... Matemática Discreta Lógica 114 114

Y si os va este rollo... Matemática Discreta Lógica Algoritmos 115 115

Y si os va este rollo... Matemática Discreta Lógica Algoritmos Programación 116 116

Y si os va este rollo... Matemática Discreta Lógica Algoritmos Programación Complejidad 117 117

Y si os va este rollo... Matemática Discreta Lógica Algoritmos Programación Complejidad ... 118 118

¡Al Taller! 119 119