Sumas de cuadrados en Anova Diseño experimental 2137 Juan C. Benavides Tomado en parte de: http://webspace.ship.edu/pgmarr/Geo441/Lectures/

Experimentos factoriales Las sumas de cuadrados en Anova es la manera en la cual se realiza la partición de la varianza En general Anova sigue el modelo

Sumas de cuadrados anova de una vía X n

Sumas de cuadrados anova de una vía-excel id Sitio1 Sitio2 Sitio3 1 13 12 7 2 17 8 19 3 6 15 4 11 16 14 5 20 10 18 9 Totales 150 111 135 Promedio tto 11.1 13.5 Promedio gral 13.2

Sumas de cuadrados anova de una vía-excel Sumas de cuadrados totales Cada valor menos el promedio general al cuadrado SSTTO=492.8 En Excel al usar el signo de pesos en la formula hace que el número de celda no cambie al desplazar la formula $A$1

Sumas de cuadrados anova de una vía-excel Sumas de cuadrados entre tratamientos Suma de promedio por tratamiento menos promedio general al cuadrado SSTTO=7.74x10=77.4

Sumas de cuadrados anova de una vía-excel Sumas de cuadrados error Suma de valores por tratamiento menos promedio por tratamiento al cuadrado SSE=415.4 En Excel al usar el signo de pesos en la formula hace que el número de celda no cambie al desplazar la formula A$1 (en este caso solo se fija la fila, no la columna)

Modelo Anova de dos vías Efecto factor A para cada nivel de B (interacción) Efecto factor A Cada valor de y Media total Efecto factor B Error con distribución normal

Pruebas de hipotesis Las sumas de cuadrados y los cuadrados medios son iguales en Anovas de una via y de Dos vias. Los cuadrados medios miden la variabilidad en los diferentes niveles del factor de interes. En una Anova de dos vias balanceada la variabilidad total esta determinada por:

Pruebas de hipotesis Sumas de cuadrados para el factor A Sumas de cuadrados para el factor B

Pruebas de hipotesis Suma de cuadrados de la interacción Mide la variación en la respuesta en la interacción entre lso factores A y B. Si el grafico de interacción son líneas paralelas el valor de SSAB es 0 Suma de cuadrados del Error o residual Variación en la respuesta al interior de las combinaciones de la interacción A x B

Pruebas de hipotesis Las sumas de cuadrados de la Anova de dos vias con interacción es: Así, la suma de cuadrados consiste de 4 elementos

Tabla Anova de dos vias Question 1: Hay un efecto de la interacción? Source of Variation Degrees of Freedom Sum of Squares Mean Square F-ratio P-value Factor A a - 1 SSA MSA FA = MSA / MSE Tail area Factor B b - 1 SSB MSB FB = MSB / MSE Interaction (a – 1)(b – 1) SSAB MSAB FAB = MSAB / MSE Error ab(n – 1) SSE MSE Total abn - 1 SST Question 1: Hay un efecto de la interacción?

Ejemplo clasico Consumo de alimento en ratas con dos tipos de grasas

Datos y promedios fresca rancia macho 709 592 679 538 699 476 hembra 657 508 594 505 677 539 promedio fresca 669.17 promedio rancia 526.33 Promedio macho 615.50 promedio hembra 580.00 prom fresca-macho 695.67 prom fresca-hembra 642.67 prom rancia-macho 535.33 prom ramcia-hembra 517.33

Dos variables independientes Tipo de grasa Sexo de ratones

Tabla anova e interacciones El efecto combinado de dos variables es diferente cuando estan en conjunto que cuando estan solas (interactuan)

Ejemplo dieta ratones

Calculo HSD Tukey fresca rancia macho 709 592 679 538 699 476 hembra 815 508 865 505 825 539 promedio 765.33 promedio fresca 526.33 promedio rancia 615.50 Promedio macho 676.17 promedio hembra 695.67 prom fresca-macho 835.00 prom fresca-hembra 535.33 prom rancia-macho 517.33 prom ramcia-hembra

Calculo HSD Tukey food<-c(709,679,699,657,594,677, 592,538,476,508,505,539) gender<-rep(rep(c("Male","Female"),each=3),2) fat<-rep(c("Fresh","Rancid"),each=6) diet<-data.frame(fat,gender,food) interaction.plot(diet$fat,diet$gender,diet$food) fit3<-aov(food~fat*gender,data=diet) diet$food2<-c(709,679,699,815,865,825, fit4<-aov(food2~fat*gender,data=diet) interaction.plot(diet$fat,diet$gender,diet$food2)

Tabla anova Datos originales Datos modificados

Plot de interacción Datos originales Datos modificados

Prueba Tukey HSD Ya que hay interacción buscamos diferencias entre los promedios de la interacción (sexo x grasa) Solo nos preocupa la variación del error (MSwithin) Dividida por el numero de replicas en ella q es el valor de rango estudentizado (tabla Tukey) con MSE y n grados de libertad

Pasos Organización de medias de menor a mayor prom ramcia-hembra 517.3 prom rancia-macho 535.3 prom fresca-macho 695.6 prom fresca-hembra 835

Pasos Calculo del error (MSE)

qtukey(0.95,8,3)=8.85 174.3 Pasos Calculo del estadístico HSD 8.85*sqrt(1164/3) 174.3